(2+1)維廣義耗散Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的行波解分岔

周鈺謙, 范飛廷, 劉 倩

(1. 電子科技大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 611731； 2. 成都信息工程大學 應用數(shù)學學院, 四川 成都 610225； 3. 西南民族大學 計算機科學與技術(shù)學院, 四川 成都 610041)

在20世紀70年代早期,受非線性光學應用的推動,Ablowitz、Kaup、Newell和Segur在廣義Zakharov-Shabat譜問題的基礎(chǔ)上推導出了一組Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)方程[1-4].這組AKNS方程可以簡化為一些眾所周知的非線性演化方程,如KdV方程、mKdV方程、非線性薛定諤方程和sine-Gordon 方程等,因此它們在物理學和其他非線性科學上有著極其廣泛的應用.已經(jīng)開發(fā)了多種方法以獲得AKNS方程的顯示解,例如逆散射變換[4]、B?cklund 變換[5]、Darboux變換[6]和Lie群方法[7].

本文考慮如下(2+1)維廣義耗散AKNS方程[8]

λuxt+αuxuxy+βuxxuy+

uxxxy+μuxx=0,

(1)

其中λ、α和β均為非零實常數(shù),而系數(shù)μ≠0表示系統(tǒng)(1)具有耗散效應[9].事實上,當固定系統(tǒng)(1)中一個或多個系數(shù)時,現(xiàn)有文獻已經(jīng)使用了多種方法以獲得對應系統(tǒng)行波解的精確表達式,例如改進的tanh法[10]、 簡化的Hirota雙線性法[11]、修訂的擴展同宿測試法(mEHTA)[12]、 二元貝爾多項式法[13]、 擴展的輔助方程法[14]、Hirota雙線性法[15]、雙線性B?cklund變換[16]、ansatz 法[17]、(G′/G)擴展法[18]、 簡單方程法(SEM)和修正的簡單方程法(MSEM)[19].

本文的興趣在于采用動力系統(tǒng)分岔法獲得(2+1)維廣義耗散AKNS方程更具一般形式的行波解的精確表達式.所獲得的精確解不僅在物理科學中有著非常重要的作用,也有助于進一步了解該模型所描述的物理現(xiàn)象.據(jù)查文獻,在以前的工作中還沒有使用過該方法對系統(tǒng)(1)進行研究.不同于其他的直接方法,動力系統(tǒng)分岔方法可以清楚地解釋當參數(shù)發(fā)生改變時這些解是如何演化的.事實上,這種方法已經(jīng)被廣泛地運用到多種不同的方程中[20-24].

1 (2+1)維廣義耗散AKNS方程行波系統(tǒng)的分岔

令u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+ay-ct,系統(tǒng)(1)可化為如下相應的行波系統(tǒng)

(μ-cλ)u″+

(aα+aβ)u′u″+au″″=0,

(2)

其中e是積分常數(shù).令u′=v,則有

(3)

顯然(3)式中的第二個式子不含函數(shù)u,則可先從(3)式的第二個式子的流形開始分析,進而可將其重寫成如下等價的動力系統(tǒng)

(4)

通過計算可得它的能量函數(shù)為

(5)

接下來,研究系統(tǒng)(4)的平衡點的分類和性質(zhì).

定理 1若α+β≠0,當

(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0

時,系統(tǒng)(4)有2個平衡點

為中心，

為鞍點；當

(μ-cλ)2+2ae(α+β)=0

(μ-cλ)2+2ae(α+β)<0

a(μ-cλ)>0

時,B為中心；當

a(μ-cλ)<0

時,B為鞍點.

若α+β=0且μ-cλ=0,當且僅當e=0時系統(tǒng)(4)有且僅有一個退化的平衡點E(0,0),否則沒有平衡點.記M(v,y)是系統(tǒng)(4)在點(v,y)處的線性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣,則有

于是

根據(jù)Hamilton系統(tǒng)的理論[25]可知A是中心,B是鞍點.

即說明C是一個退化的平衡點.為了進一步判斷它的類型,做如下同胚變換

可將系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)化為它的一般形式

根據(jù)文獻[26]第二章第七節(jié)的相關(guān)結(jié)論可知,此時k=2,bn=0,即說明C是尖點.

當(μ-cλ)2+2ae(α+β)<0時,系統(tǒng)(4)沒有平衡點.

類似的分析可用來證明其余2種情況,這里為了簡潔,不再贅述.

基于上述對系統(tǒng)(4)的平衡點的分析,得到如下結(jié)果：

情形1考慮α+β≠0且

(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0.

此時存在一條連接著鞍點B的同宿軌γ,而中心A周圍有一簇周期軌

Γ(h)={H(u,y)=h,h∈(Q1,Q2)},

其中

當h→Q1時,Γ(h)趨向于中心A；當h→Q2時,Γ(h)趨向于同宿軌γ,如圖1(a).

情形2考慮α+β≠0且

(μ-cλ)2+2ae(α+β)=0,

情形3考慮α+β≠0且

(μ-cλ)2+2ae(α+β)<0,

系統(tǒng)(4)只存在無界軌道,如圖1(c).

情形4考慮α+β=0且μ-cλ≠0,若

a(μ-cλ)>0,

則系統(tǒng)(4)全是周期軌(如圖2(a))；若

a(μ-cλ)<0,

則系統(tǒng)(4)不存在有界軌道,如圖2(b).

情形5考慮α+β=0且μ-cλ=0,方程(4)全為無界軌道(如圖3).

2 (2+1)維廣義耗散AKNS方程的精確行波解

根據(jù)在第一節(jié)中的分析,下面考察系統(tǒng)(4)的所有有界行波,主要存在于情形1(如圖1(a))和情形4(如圖3(a))中.通過計算橢圓積分,最終給出系統(tǒng)(1)所對應的行波解的精確表達式.

(I) 首先考察情形1中的所有有界軌道,如圖1(a)中的軌道γ和Γ,其中γ是系統(tǒng)(4)的同宿軌,Γ是系統(tǒng)(4)中的任一條周期軌.此時α+β>0且(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0,則由(5)式可將同宿軌如下表出:

其中

且滿足關(guān)系r1

通過直接計算可得系統(tǒng)(4)的孤波解為

v1(ξ)=r1+

-∞<ξ<+∞.

注意到,當ξ<0時,

這說明v1(ξ)在ξ<0時和ξ>0時有著相同的表達式,于是可以將v1(ξ)簡化成

v1(ξ)=r1+

-∞<ξ<+∞.

進而,可以由(3)式得到系統(tǒng)(1)的第一個精確行波解

u1(ξ)=r1ξ-

-∞<ξ<+∞,

其中C1是積分常數(shù).特別地,當r1=0時,系統(tǒng)(1)的這類行波將退化成扭波.

同理可由(5)式將圖1(a)中的任一條閉軌統(tǒng)一表示為

其中實數(shù)r3、r4和r5滿足關(guān)系r3

0<ξ

通過計算復雜的橢圓積分得系統(tǒng)(4)的周期波解

v2(ξ)=r3+

-T<ξ

v2(ξ)=r3+

-T<ξ

于是由(3)式的第一個表達式,系統(tǒng)(1)的第二個行波解的精確表達式為

-T<ξ

此外,當α+β<0且(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0時,對系統(tǒng)(4)所對應的有界軌道的討論類似,為了簡潔,這里不再贅述.

(II) 考察情形4中的所有有界軌道,如圖2(a),此時α+β=0且a(μ-cλ)>0,行波系統(tǒng)(4)全為周期軌，則其中任一條軌道可被統(tǒng)一表示成

其中實數(shù)r6和r7滿足關(guān)系r6

假設(shè)閉軌的周期為2T,并令v(0)=r6,則有

0<ξ

-T<ξ<0.

通過計算得系統(tǒng)(4)的周期波解

v3(ξ)=

-T<ξ

由余弦函數(shù)的奇偶性可得

-T<ξ

進而,由(3)式可計算出系統(tǒng)(1)的第三個行波解

其中C2是積分常數(shù).