空溝隔振對瑞利波傳播影響的理論研究

姚錦寶,胡敬梁

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 北京 100044)

軌道交通對環(huán)境的影響主要表現(xiàn)為噪聲和沿地基傳播的振動(dòng)，其已被列為七大環(huán)境公害之一[1]。地鐵列車運(yùn)行持續(xù)時(shí)間長且頻繁，運(yùn)行期間引起的地面及建筑物的振動(dòng)所持續(xù)時(shí)間可達(dá)到地鐵每天總運(yùn)營時(shí)間的15%～20%[2]；試驗(yàn)研究表明：振動(dòng)強(qiáng)度越高，對人們的影響也就越大[3]。

對列車引起環(huán)境振動(dòng)的隔振研究中，常以采取屏障隔振措施后的地表振動(dòng)問題研究為主。比較常見的傳播路徑上隔振措施有空溝、填充溝及隔振屏障。Woods[4]通過試驗(yàn)手段，研究了空溝的隔振效果；Tulika等[5]采用3D有限元模型，分析了空溝和填充溝關(guān)鍵參數(shù)的隔振效率，得到溝槽幾何和材料特性的最佳值；Adam等[6]采用數(shù)值方法，分析了空溝及填充溝的隔振特性；高廣運(yùn)等[7]理論分析了多排樁隔振屏障對Rayleigh波的多層驅(qū)散問題；馮牧等[8]將實(shí)測和數(shù)值模擬相結(jié)合, 分析了隔振溝對地鐵周邊建筑物的隔振效果；Coulier[9]采用實(shí)測和數(shù)值分析相結(jié)合的方法，研究了土體中的剛性介質(zhì)對波的傳播影響；Yang等[10]運(yùn)用2.5維方法，分析了開放式和填充式溝槽對鐵路沿線建筑物的隔振效果。此外，馮桂帥等[11]采用實(shí)測與模型試驗(yàn)方法，比較了典型的隔振屏障，如填充溝、空溝及排樁等的隔振效果。

運(yùn)行列車引發(fā)的土體振動(dòng)中，相對于瑞利波而言，體波衰減較快，未衰減的瑞利波占比仍然很大。研究表明，環(huán)境振動(dòng)中，瑞利波占比達(dá)67%[10]，因此，研究屏障隔振對瑞利波的衰減規(guī)律較有實(shí)際意義。對于空溝的隔振效果，過去多采用數(shù)值分析和現(xiàn)場試驗(yàn)的研究方法，鮮有采用理論解析的方法。本文采用理論解析方法，研究了空溝對瑞利波的隔振效果。

1 空溝對土體振動(dòng)隔振理論研究

振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播過程稱為彈性波。振動(dòng)會(huì)在彈性體界面產(chǎn)生表面波，瑞利波是最常見的表面波。列車引起土體的振動(dòng)，常以瑞利波形式在地表面上向遠(yuǎn)處傳播。

1.1 瑞利波的傳播與衰減

瑞利波主要位于土體自由表面下0.15λ～0.2λ(λ為波長)深度處，在水平及豎向兩個(gè)方向產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，并有明顯的振動(dòng)軌跡分界線，分界線上部質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呈后退橢圓形，豎向運(yùn)動(dòng)一般滯后于水平運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。

在均勻各向同性的自由半空間中，可以計(jì)算瑞利波的豎向和水平向位移振幅歸一化值。

作用于原點(diǎn)的集中簡諧荷載為f(t)=Peiωt(P為幅值)，當(dāng)拾振點(diǎn)與振源相距較大時(shí)，瑞利波對波場豎向位移和水平位移貢獻(xiàn)[12]可表示為

(1)

1.2 彈性波在變截面區(qū)域的反射與透射

簡諧集中荷載作用在土體自由表面時(shí)，其表現(xiàn)形式為柱面波；傳播距離較大時(shí)，波陣面接近于水平面。

在頻域內(nèi)，土體的振動(dòng)響應(yīng)雖為3維，但由于在垂直于軌道方向上，任意兩截面的動(dòng)力響應(yīng)，會(huì)因?yàn)槲恢貌煌嬖谝粋€(gè)相位差。由此，可將3維響應(yīng)問題減少為2.5維問題，對任一截面的動(dòng)力響應(yīng)，進(jìn)行離散求解。

遠(yuǎn)場的空溝隔振示意見圖2，其截面為矩形，主要參數(shù)有溝深、溝寬、振源與溝內(nèi)側(cè)邊緣距離。

圖2 空溝隔振示意

波動(dòng)在兩種介質(zhì)分界面上的反射和透射見圖3。兩個(gè)均勻、各向同性彈性半空間在分界面上相互連結(jié)。假定平面波自下向上入射，設(shè)入射波為剪切波，根據(jù)分界面連續(xù)條件，可以確定反射波與透射波。

圖3 介質(zhì)分界面的反射與透射

位移的入射、反射和透射系數(shù)分別為

(2)

(3)

式中：KI、KR、KT分別為入射系數(shù)、反射系數(shù)、透射系數(shù)；α為上部介質(zhì)波阻抗與下部介質(zhì)波阻抗的比值；uI、uR、uT分別為入射波、反射波、透射波位移。

式(2)、式(3)中，界面兩側(cè)的面積相同；當(dāng)空溝存在時(shí)，空溝底部犄角處界面兩側(cè)的截面不同，阻抗計(jì)算需考慮面積的影響。

瑞利波沿自由表面?zhèn)鞑?，振?dòng)隨深度快速衰減，在無窮深處，位移趨于零，即大部分振動(dòng)能量分布在地表以下大約1.5λR深度范圍內(nèi)(λR為瑞利波波長)，1.5λR深度以外的振動(dòng)響應(yīng)很小，本文忽略不計(jì)?？諟系撞筷鹘翘幍脑O(shè)置見圖4，圖4中：h、w分別為溝深、溝寬，溝長取單位長度；I1、I2分別為不同界面的入射波。

圖4 溝底犄角處反射與透射

考慮截面面積，阻抗α=ρ2c2A2/ρ1c1A1，ρcA在不同文獻(xiàn)中有不同的解釋。楊桂通等[13]研究了桿性質(zhì)突變處的反射和透射；黎在良等[14]對兩種介質(zhì)內(nèi)界面的反射和透射做了闡述；王從約等[15]在研究應(yīng)力波在非均質(zhì)變截面桿中傳播問題中，定義ρcA為聲阻抗。

1.3 空溝傳播路徑的公式推導(dǎo)

圖5 瑞利波沿地基及空溝傳播二維示意圖

(4)

式中：cR、λRj分別為瑞利波的波速與波長。

在二維平面內(nèi)，瑞利波沿空溝和空溝外側(cè)土體自由表面位移的推演過程如下：

(1)OA段

OA段的位移包括兩部分，一部分為來自振源的入射波，另一部分為入射波經(jīng)左側(cè)空溝壁反射產(chǎn)生的反射波。對于地表上空溝內(nèi)側(cè)任意點(diǎn)，反射波相對于入射波，需要考慮時(shí)間和傳播距離引起的相位差。反射波引起的位移為

(5)

當(dāng)時(shí)間t≥(2dR-y)/cR時(shí)，OA段地表總位移等于入射波與反射波疊加響應(yīng)，轉(zhuǎn)角A點(diǎn)的位移為

(6)

當(dāng)空溝的埋置深度足夠大，入射波遇空溝內(nèi)側(cè)壁反射，振動(dòng)的絕大部分沿原路返回，OA段入射波與反射波疊加時(shí)，產(chǎn)生的響應(yīng)接近于入射波在無空溝時(shí)相同位置相應(yīng)的2倍。

(2)AB段

振動(dòng)通過邊緣A沿AB段往下傳播相對于交界面BE的入射波包括兩部分：瑞利波沿AB段傳播引起的位移和在z=h水平方向上向右傳播在AB上引起的位移；兩者考慮因時(shí)間和距離產(chǎn)生相位的條件下進(jìn)行疊加計(jì)算，即得到相對于交界面BE的入射波，即

(7)

(3)BC段

在分界面BE處，根據(jù)式(3)得到的連續(xù)條件，瑞利波過點(diǎn)B后，沿空溝底部自由表面?zhèn)鞑?，對于分界面CF而言是入射波，根據(jù)分界面的反射與透射得出

(8)

(4)CD段

根據(jù)分界面CF處的連續(xù)條件，采用與界面BE相同的處理方法，得出CD段上相對于界面CF的入射波，即

(9)

(5)DG段

沿空溝外側(cè)溝壁豎向段CD傳播的瑞利波，位移隨深度的增大而衰減；同時(shí)，沿垂直于空溝外側(cè)溝壁CD以下某一深度的水平和豎向位移在該水平位置沿z軸負(fù)方向傳播，與土體自由面上DG段相遇后產(chǎn)生反射波的同時(shí)，沿DG段傳播，引起空溝外側(cè)土體自由表面的振動(dòng)。

粘液腺囊腫被視為口腔科疾病之一，它是一種口腔粘液腺導(dǎo)管因受到外傷后發(fā)生破裂，涎粘蛋白分泌物潴留于腺體組織內(nèi)，所引起的腺泡逐漸膨脹而形成的囊腫。囊腫多發(fā)生于下唇，其次是舌尖、舌腹部以及頰粘膜等處。癥狀為局部腫脹，患處有淡紫藍(lán)色半透明且質(zhì)地柔軟的囊性腫塊，易破潰，破潰排出液體數(shù)日后會(huì)反復(fù)發(fā)作，病程可數(shù)天到數(shù)月。本文在梳理腺上皮和粘液腺的組織細(xì)胞學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，綜合分析了粘液腺囊腫這種疾病的治療方法以及各種方法的優(yōu)點(diǎn)和不足。

波在過D點(diǎn)沿DG傳播過程中，CD上質(zhì)點(diǎn)的豎向振動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)镈G的水平振動(dòng)，CD上質(zhì)點(diǎn)的水平振動(dòng)轉(zhuǎn)化為DG段的豎向振動(dòng)。O點(diǎn)簡諧荷載在DG段引起的豎向位移和水平位移為

(10)

瑞利波隨深度的增加快速衰減；當(dāng)溝深大于1.5λR波長時(shí)，式(10)中的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比可忽略。

1.4 多點(diǎn)激勵(lì)下位移計(jì)算

如圖6所示，地表上任一拾振點(diǎn)P的振動(dòng)響應(yīng)，可認(rèn)為是由多個(gè)集中簡諧荷載的疊加，需要同時(shí)考慮時(shí)間和位置兩個(gè)因素引起的相位變化，圖中d為荷載列的距離[17]。

圖6 多個(gè)豎向簡諧荷載疊加示意

若激振點(diǎn)處的作用力時(shí)程曲線f(t)呈非周期性變化，可以對其進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，得到的一系列周期性集中簡諧荷載的疊加。

振源列中除O點(diǎn)以外其他位置的激振點(diǎn)fk(t)在DG段引起的豎向位移uz和水平位移uy為

(11)

2 有無空溝時(shí)遠(yuǎn)場土體地表響應(yīng)的對比

根據(jù)以上理論推導(dǎo)，討論在有無空溝的工況下，土體表面上任一點(diǎn)(空溝外側(cè)，無溝時(shí)為相應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn))的振動(dòng)響應(yīng)對比。

地基表面瑞利波速為75 m/s，空溝內(nèi)側(cè)邊緣與O點(diǎn)處激振點(diǎn)的距離dR=25 m，空溝埋深h=4 m，溝寬w=1 m，拾振點(diǎn)距離空溝外側(cè)邊緣的距離分別為l=2、4、6、8、10 m(分別對應(yīng)無空溝地基上與振源的距離d=28、30、32、34、36 m)。施加的豎向荷載為周期性簡諧荷載，P=8 kN，頻率ω變化設(shè)定為1、5、10、…、35、40 Hz，此次計(jì)算不考慮相位變化?？諟系募虞d模型見圖7。

圖7 含空溝的土體表面加載示意

作用在振源處土體上豎向荷載的時(shí)程曲線如圖8所示。

圖8 振源處的豎向荷載時(shí)程曲線

圖10為距離空溝外側(cè)邊緣l分別為2、4、6、8、10 m處土體的豎向和水平向振動(dòng)加速度的頻譜分析圖；土體表面各點(diǎn)的豎向加速度振級見表1。

從圖9、圖10和表1中可以看出：

(1) 同一位置處，土體豎向加速度的幅值大于相對應(yīng)水平向加速度的幅值；有溝狀況下土體振動(dòng)幅值大于無溝下的振動(dòng)幅值。

圖9 有無空溝時(shí)土體加速度時(shí)程對比分析 (dR=28 m)

圖10 有無空溝時(shí)土體振動(dòng)加速度頻譜對比

工況l=2 ml=4 ml=6 ml=8 ml=10 m豎向無溝64.9864.2963.1561.5062.43有溝52.7552.5253.4453.6252.10水平無溝58.8659.1359.7560.3059.23有溝48.0447.6045.3144.5345.82

(2) 振動(dòng)頻率相同時(shí)，不同位置處的豎向加速度頻譜幅值均高于水平向加速度的頻譜幅值。

(3) 空溝外側(cè)拾振點(diǎn)隨與溝外側(cè)邊緣距離逐漸增大，加速度幅值總變化趨勢是降低的，但在空溝外側(cè)邊緣附近區(qū)域會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)加強(qiáng)現(xiàn)象。

(4) 隨距空溝外側(cè)距離的不斷增加，土體振動(dòng)的加速度振級總體走勢不斷降低；有空溝時(shí)，相應(yīng)各點(diǎn)的加速度振級均小于無空溝時(shí)的振級。

3 結(jié)論

本文推導(dǎo)出瑞利波在空溝狀況下的土體振動(dòng)位移計(jì)算公式，并通過有無空溝的計(jì)算對比，得出以下結(jié)論：

(1) 空溝的埋置深度對空溝隔振效果的影響明顯，隨著空溝深度的增加，空溝外側(cè)的土體振動(dòng)衰減越多。

(2) 在同樣的隔振效果條件下，隨著頻率的減小，空溝的深度應(yīng)越來越深。

(3) 空溝外側(cè)拾振點(diǎn)隨與溝外側(cè)邊緣距離逐漸增大時(shí)，加速度幅值總的趨勢是降低的。

(4) 有空溝的狀況下，相應(yīng)各點(diǎn)的土體豎向加速度振級、加速度頻譜幅值及位移時(shí)程幅值均小于無空溝狀況下的振級。