地鐵隧道施工引起鄰近埋地管道位移計(jì)算的傳遞矩陣法

王海濤,金 慧,2,張景元,何 永,閆 帥

(1.大連交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116028; 2.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；3.浙江鐵道建設(shè)工程有限公司，浙江 杭州 310020)

盾構(gòu)法隧道施工憑借施工擾動(dòng)小、不影響城市交通等優(yōu)點(diǎn)，成為城區(qū)內(nèi)修筑地鐵的主要建設(shè)方法之一。由于盾構(gòu)開挖洞體和盾構(gòu)襯砌結(jié)構(gòu)之間存在一定的建筑間隙，盡管可以采用壁后注漿手段進(jìn)行孔隙填充，但盾構(gòu)掘進(jìn)過程中仍會(huì)不可避免地?cái)_動(dòng)隧道周圍土體，誘發(fā)地面和隧道上覆土體產(chǎn)生沉降和變形，進(jìn)而引發(fā)鄰近管道等埋地構(gòu)筑物、建筑物受地層荷載作用而發(fā)生變形，嚴(yán)重時(shí)影響管道的正常使用功能，甚至爆裂誘發(fā)地層坍陷等嚴(yán)重事故。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)隧道施工，采用模型試驗(yàn)、理論分析、數(shù)值模型和經(jīng)驗(yàn)分析等方法對(duì)管道變形規(guī)律進(jìn)行了較廣泛的研究，并取得了一定的成果。理論研究的重點(diǎn)在于建立管道力學(xué)模型，研究隧道擾動(dòng)區(qū)內(nèi)地層外荷載與管道變形曲線的關(guān)系，研究成果可以較便捷地應(yīng)用于實(shí)際工程，為實(shí)際施工控制與防護(hù)提供指導(dǎo)性建議。文獻(xiàn)[1]在彈性地基梁模型基礎(chǔ)上，采用能量法推導(dǎo)隧道在管道下方穿越時(shí)管道豎向位移的理論解析式，并在此基礎(chǔ)上得到雙線隧道穿越時(shí)管道豎向位移的解析解。文獻(xiàn)[2]考慮地層中管道和土體的相互作用與彈性半空間上梁彈簧模型的差異，進(jìn)一步考慮地層中管道埋深的影響，修正Winkler地基基床模量的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[3]考慮地層地基基床系數(shù)沿管道的不均均分布特性，認(rèn)為管道沉降區(qū)和隆起區(qū)的地基基床模量存在一定差異，并給出參考取值，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出管道豎向變形的解析函數(shù)。文獻(xiàn)[4]采用邊界元思想，通過位移控制兩階段分析方法考慮具有不同土性的分層土體，研究隧道施工擾動(dòng)區(qū)地層中管道的變形規(guī)律。文獻(xiàn)[5]采用有限差分方法，在考慮土體分層效應(yīng)的基礎(chǔ)上，將柔性接口管道的接頭簡(jiǎn)化為塑性鉸，研究分層土體荷載作用下管道的力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)[6]采用Pasternak地基模型，考慮土彈簧間的剪切作用和埋深對(duì)地基反力模量的影響，修正水平受荷樁樁側(cè)位移的計(jì)算方法，認(rèn)為Pasternak地基模型在水平樁剪切模量較大土體側(cè)向位移的測(cè)量精度上有一定的提高。文獻(xiàn)[7]通過對(duì)管道變形規(guī)律的研究，同樣認(rèn)為Pasternak地基模型更適合應(yīng)用于土體剪切模量較大的地層。在進(jìn)行管道變形曲線微分方程求解時(shí)，往往求解規(guī)模大、過程繁瑣復(fù)雜、待定參數(shù)較多，因此Pasternak地基模型難以直接應(yīng)用于工程實(shí)際中。

針對(duì)以上不足，本文提出一種更為便捷且精確的管道豎向位移計(jì)算方法。將管道視為Winkler地基上的彈性地基梁，采用兩階段分析方法，分別對(duì)地層沉降函數(shù)和管道變形函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，推導(dǎo)出地層沉降和管道變形間的力學(xué)關(guān)系，并定義位移傳遞矩陣，提出基于地層沉降的管道位移預(yù)測(cè)公式；同時(shí)對(duì)影響管道位移的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行分析，建立綜合考慮多種影響因素的埋地管道最大位移預(yù)測(cè)公式，以期為地鐵隧道施工安全控制與防護(hù)提供參考。

1 位移傳遞矩陣法

1.1 計(jì)算模型

隧道下穿管道計(jì)算模型如圖1所示。假定地層為均一土性地層，隧道垂直下穿既有管道，地層中管道埋深為zp，隧道開挖半徑為R，隧道軸線位置埋深為h，地層中未埋設(shè)管道時(shí)管道埋深處地層受隧道開挖擾動(dòng)產(chǎn)生的最大沉降為Smax(x)，管道變形范圍計(jì)算長(zhǎng)度的一半設(shè)為l，經(jīng)計(jì)算，當(dāng)l取20R時(shí)可以滿足計(jì)算精度要求。本文僅就土體豎向沉降對(duì)管道豎向變形的影響進(jìn)行研究，忽略管道接頭處剛度的折減效應(yīng)，認(rèn)為埋地管道為剛度連續(xù)的地基梁結(jié)構(gòu)。

圖1 隧道下穿管道計(jì)算模型

1.2 地層沉降和管道位移傅里葉變換

通過傅里葉變換可將任意地層沉降函數(shù)表示為三角函數(shù)疊加的形式，通過求解三角函數(shù)形式地層荷載作用下的管道變形，即可將隧道施工時(shí)復(fù)雜模式的地層沉降作用下管道變形問題轉(zhuǎn)化為可求解問題。文獻(xiàn)[8]通過理論分析推導(dǎo)出隧道開挖擾動(dòng)下周圍土體的豎向位移解析公式，見式(1) ，本文將式(1)作為盾構(gòu)施工擾動(dòng)產(chǎn)生的地層沉降函數(shù)進(jìn)行管道變形的求解。

(1)

式中：S(x)為地表以下深度z處的地層沉降函數(shù)，m；x為計(jì)算點(diǎn)與隧道軸線間的水平距離，m；μ為地層內(nèi)土體泊松比；ε為隧道施工產(chǎn)生的地層損失率。

設(shè)管道位移函數(shù)為Sp(x)，對(duì)地層沉降函數(shù)和管道位移函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，并分別表示成向量相乘的形式，即

S(x)=XTb

(2)

Sp(x)=XTa

(3)

式中：向量X中的各個(gè)元素為傅里葉級(jí)數(shù)展開式的基函數(shù)；向量b和a中各個(gè)元素為對(duì)應(yīng)基函數(shù)的常系數(shù)。

bn(n取0～20)可通過式(4)進(jìn)行計(jì)算求取，當(dāng)展開項(xiàng)數(shù)n值達(dá)到10時(shí)，第n項(xiàng)基函數(shù)所對(duì)應(yīng)的常系數(shù)已經(jīng)非常小，但為了保證計(jì)算精度要求文章中n取值為20。

(4)

1.3 管道位移的傳遞矩陣法求解

兩階段分析方法是目前解析隧道施工對(duì)埋地管道變形影響的主要方法之一，其研究思路分為兩步：第一步，不考慮地層中埋設(shè)的管道，直接計(jì)算未埋設(shè)管道土體在隧道施工擾動(dòng)下的地層沉降S(x)；第二步，把地層假設(shè)為地基彈簧，通過地基基床反力模量，把上述地層沉降轉(zhuǎn)化為地層荷載并作用于管道上，在上述地層荷載和地層反力作用下，管道完成與土體的變形協(xié)調(diào)，即實(shí)際上管道和土體發(fā)生的共同位移Sp(x)。基于上述管道和土體的相互作用過程，通過Winkler地基模型構(gòu)建管道變形平衡微分方程

(5)

(6)

式中：λ為埋地管道相對(duì)于土體的柔度系數(shù)；k為隧道周圍土體地基基床反力模量，kN/m2；Ep為管道的彈性模量；Ip為管道的截面慣性矩。

考慮到管道在地層中有一定的埋深，與彈性半空間上的梁彈簧模型存在差異，故本文采用文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)出的考慮管道埋深影響的Winkler地基基床反力模量的修正公式

(7)

式中：ν為管道所在位置土體的泊松比；E為管道所在位置土體的彈性模量；d為管道直徑；η為管道埋深修正系數(shù)。

將式(2)、式(3)代入式(5)，整理得

X(4)T+λXTa=λXTb

(8)

通過計(jì)算整理得

(9)

要保證式(9)成立，等號(hào)兩側(cè)各項(xiàng)基函數(shù)的常系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等，則可以整理得到一組方程，見式(10)，將該方程組用矩陣形式表示得式(11)。

(10)

(11)

為描述土體位移與管道位移之間的相互作用和傳遞關(guān)系，定義式(11)中的對(duì)角矩陣為位移傳遞矩陣K，則式(11)可進(jìn)一步表示為式(12)。在地層沉降常系數(shù)向量b和傳遞矩陣K已知的情況下，可直接求解得到管道位移常系數(shù)向量a。將式(12)代入式(3)，進(jìn)行矩陣運(yùn)算可得到近似的管道位移函數(shù)，見式(13)。

Ka=b

(12)

Sp(x)=XTK-1b

(13)

可利用Matlab軟件進(jìn)行編程，快速計(jì)算求解。

2 算例驗(yàn)證

2.1 現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)

文獻(xiàn)[9]經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)對(duì)某沿海城市軟土地區(qū)地鐵隧道工程引起地層及管道的變形情況進(jìn)行深入研究，隧道參數(shù)如下：隧道外徑為6.2 m，內(nèi)徑為5.5 m，埋深為15.12 m；地下有多種管道密布，將球墨鑄鐵材質(zhì)煤氣管道作為分析對(duì)象，其直徑為0.3 m，埋深為0.9 m，抗彎剛度為15.2 MN·m2，管軸線與隧道軸線的相交角約為88°，可以近似認(rèn)為管道與隧道正交。經(jīng)勘測(cè)，地層主要由飽和黏性土、粉性土和砂性土組成，管道所在土層的參數(shù)：土體彈性模量取上覆土層的加權(quán)平均值4.44 MPa，泊松比為0.3，文獻(xiàn)[10]對(duì)此類工程進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果顯示類似工程的地層損失率通常小于5‰，故本文選取地層損失率為5‰進(jìn)行計(jì)算。

圖2為本文計(jì)算方法與實(shí)測(cè)結(jié)果的對(duì)比。從圖2可以看出，雖然本文方法的最大下沉位移較實(shí)測(cè)結(jié)果偏大，管道的上升位移較實(shí)測(cè)偏小，但管道沉降槽形狀較接近實(shí)測(cè)，二者變形特性基本相符。差異的可能原因是：管線所在土層為人工素填土，土質(zhì)情況較差，計(jì)算時(shí)高估了土質(zhì)條件，導(dǎo)致管道相對(duì)于土體的柔度系數(shù)偏大，抗彎能力較差，因此出現(xiàn)管道下沉位移值偏大，沒有明顯上升變形的現(xiàn)象。

圖2 本文計(jì)算方法與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)對(duì)比

2.2 模型試驗(yàn)

文獻(xiàn)[11]通過開展離心模型試驗(yàn)，監(jiān)測(cè)加速度取75g時(shí)幾種不同地層損失率管道的變形規(guī)律。選取地層損失率為2%時(shí)的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。通過相似比換算得到原型試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)：砂土彈性模量為19.52 MPa，砂土泊松比為0.3；隧道直徑為4.5 m，隧道軸線埋深為11.25 m；管道直徑為1.19 m，管道截面剛度為3 363 MN·m2，管道埋深為4.165 m。

圖3為本文方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖。從圖3可以看出，本文方法可以精確地反映試驗(yàn)中管道的變形規(guī)律，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的可靠性。

圖3 本文計(jì)算方法與試驗(yàn)對(duì)比

3 因素分析

3.1 管道埋深

基于2.1節(jié)實(shí)例，對(duì)不同埋深對(duì)管道位移的影響情況進(jìn)行分析，見圖4。從圖4中可以看出，管道埋深對(duì)管道位移和管道沉降槽寬度的影響并不明顯，原因可能有以下兩點(diǎn)：其一，通過對(duì)管線所在地層位移的計(jì)算發(fā)現(xiàn)地層位移隨埋深增加而產(chǎn)生的增量較??；其二，隨著管道埋深的增加，土質(zhì)條件變好，管道相對(duì)土體的剛度減小，柔度增大，抗彎能力減弱。為描述這一特征，基于本文理論，對(duì)管道最大位移Sp,max與管道埋深的關(guān)系進(jìn)行曲線擬合，見圖5，可以看出擬合曲線斜率較小。

圖4 管道埋深對(duì)管道位移的影響

圖5 管道最大位移與管道埋深的關(guān)系

3.2 管道剛度

基于2.1節(jié)實(shí)例，假設(shè)管道截面直徑不變，以鋼管、混凝土管道、PVC-U管道等為模型基礎(chǔ)，對(duì)不同截面剛度的管道進(jìn)行分析研究，見圖6。從圖6可以看出：管道最大位移隨管道截面剛度的增加而減小，管道沉降槽寬度隨管道截面剛度的增加而增大，同時(shí)，隨著截面剛度的增加，沉降槽開口位置處管道的上拱現(xiàn)象更加明顯，且上拱范圍明顯增大。通過對(duì)管道最大位移理論計(jì)算值與管道截面剛度的相關(guān)性進(jìn)行擬合，得到管道最大位移關(guān)于管道截面剛度的預(yù)測(cè)曲線，見圖7。實(shí)際工程中，不同用途的管道其材質(zhì)、直徑、管壁厚度等參數(shù)均有所不同，本文僅對(duì)直徑0.3 m管道進(jìn)行了說明，借助本文方法，可以對(duì)不同截面尺寸、相同材質(zhì)管道進(jìn)行規(guī)律性分析研究，以便對(duì)地鐵隧道施工進(jìn)行設(shè)計(jì)指導(dǎo)。

圖6 管道截面剛度對(duì)管道位移的影響

圖7 管道最大位移與管道截面剛度的關(guān)系

3.3 土體損失率

基于2.1節(jié)實(shí)例，對(duì)不同地層損失率時(shí)的管道位移進(jìn)行分析研究，見圖8、圖9。從圖8、圖9可以看出：地層損失率對(duì)管道位移的影響較明顯，在隧道埋深和半徑不變的情況下，管道最大位移與地層損失率近似呈正比例增長(zhǎng)關(guān)系。其原因可能是實(shí)例中管道的剛度較小，管道位移模式主要受地層位移模式控制，在地層位移較大時(shí)，管道表現(xiàn)出較弱的抗彎能力，因此控制隧道施工誘發(fā)的地層損失對(duì)控制管道位移是至關(guān)重要的。

圖8 管道位移與地層損失率的關(guān)系

圖9 管道最大位移與地層損失率的關(guān)系

3.4 管道最大位移值與管道相對(duì)柔度系數(shù)的關(guān)系

管道位移規(guī)律是多種影響因素綜合作用的結(jié)果，因此某單一因素引起的變化規(guī)律在工程應(yīng)用中有一定的局限性。由以上分析可知管道相對(duì)柔度是管道截面剛度、截面尺寸、管道埋深、土體彈性模量、泊松比等因素在管道相對(duì)抗彎剛度上的綜合反映，管道埋深處地層位移是隧道埋深、隧道半徑、地層損失率等因素在管道附加荷載大小上的綜合反映，為全面考慮多因素影響下的管道位移變化規(guī)律，定義最大位移傳遞系數(shù)Kmax，見式(14)，同時(shí)，通過對(duì)理論計(jì)算值λ與Kmax的統(tǒng)計(jì)分析，建立最大位移傳遞系數(shù)關(guān)于管道柔度系數(shù)的預(yù)測(cè)式，見式(15)、圖10?？芍?dāng)λ→0時(shí)，管道剛度趨于無窮大，管道位移趨于0，Kmax→0；當(dāng)λ→∞時(shí)，管道與土體協(xié)調(diào)變形，不存在相互作用，管道位移趨于地層位移，Kmax→1；當(dāng)λ∈(0，∞)時(shí)，Kmax呈對(duì)數(shù)分布，事實(shí)上，當(dāng)λ→0.84時(shí)，就有Kmax→1。

Kmax=Sp,max/Smax

(14)

Kmax=1.012+0.068ln(λ-0.001)

(15)

圖10 Kmax與λ關(guān)系

為進(jìn)一步驗(yàn)證式(15)的可靠性，對(duì)2.2節(jié)實(shí)例中最大位移傳遞系數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，見圖10中紅點(diǎn)，計(jì)算值基本與理論值吻合。本文提出的預(yù)測(cè)公式可以綜合反映不同地質(zhì)條件、隧道埋深及直徑、管道材料及截面特性等多種因素影響下，管土相互作用強(qiáng)弱對(duì)管道位移與地層位移傳遞關(guān)系的影響，實(shí)現(xiàn)了地鐵隧道施工引起鄰近埋地管道最大位移的超前預(yù)測(cè)。

4 結(jié)論

(1)本文考慮管道埋深對(duì)地基基床反力模量的影響，修正了Winkler地基模型，采用兩階段分析法和傅里葉變換，推導(dǎo)出地層沉降與管道變形間的力學(xué)關(guān)系，并定義了位移傳遞矩陣，提出了基于地層沉降的管道位移預(yù)測(cè)公式。

(2)通過算例分析，將本文理論計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)和模型試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，理論計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)和模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，證實(shí)了本文方法具有較高的精度。

(3)通過對(duì)管道埋深、管道截面剛度和地層損失率對(duì)管道位移影響的分析，認(rèn)為在一定范圍內(nèi)，管道位移與管道埋深和地層損失率線性正相關(guān)，與管道截面剛度呈斜率逐漸減小直至趨于零的指數(shù)函數(shù)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，定義了最大位移傳遞系數(shù)，建立了綜合考慮多因素影響的管道最大位移預(yù)測(cè)公式。