基于模態(tài)追蹤的地鐵車輛低頻橫向晃動分析

陳迪來,沈 鋼,宗聰聰

(同濟大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院， 上海 201804)

當(dāng)前，某型高速列車和部分地鐵車輛容易出現(xiàn)車體橫向晃動，而這種橫向低頻晃動可能惡化車體橫向平穩(wěn)性指標，影響旅客乘坐的舒適性[1-2]。產(chǎn)生軌道車輛車體低頻晃動的原因很多，但最根本的還是車體與轉(zhuǎn)向架之間的耦合振動[3]。轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率往往跟車輛的運行速度直接相關(guān)，其頻率隨著列車運動速度的提高而增大。然而，車體的下心滾擺、上心滾擺、搖頭等橫向運動的自振頻率不隨車輛運行速度的變化而變化，且自振頻率較低，可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)向架與車體發(fā)生共振[4]。

目前，大多數(shù)學(xué)者對轉(zhuǎn)向架蛇行進行了詳細研究，但是對于車體橫向低頻晃動研究較少。Huang等[5]建立反映車體和轉(zhuǎn)向架相互耦合關(guān)系的車輛系統(tǒng)多剛體動力學(xué)模型，分析車體蛇行的關(guān)鍵影響參數(shù)，借用線性分析方法，分析敏感參數(shù)對高速車輛橫向異常晃動的規(guī)律。Iwnicki[6]指出當(dāng)?shù)刃уF度較低時，容易出現(xiàn)車體不穩(wěn)定的蛇行運動；當(dāng)?shù)刃уF度較大時，容易出現(xiàn)轉(zhuǎn)向架蛇行振動。J?nsson等[7]指出車體蛇行運動在運行速度較低時，由車體固有的幾種模態(tài)共振引起，如車體的搖頭、對稱低頻擺動、非對稱低頻擺動。劉繼領(lǐng)[8]采用多體系統(tǒng)動力學(xué)仿真計算方法，研究CRH1E型動車組車體嚴重晃動的原因，并提出相對應(yīng)的衰減橫向晃動的解決方案。李然等[9]利用多體動力學(xué)軟件仿真分析在不同摩擦系數(shù)、等效錐度等工況下，車體橫向振動的加速度以及橫向平穩(wěn)性，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)刃уF度和摩擦系數(shù)均處于較小值時，容易出現(xiàn)車體的橫向晃動。王開云等[10]仿真分析了某型機車在實際線路上出現(xiàn)的橫向異常振動現(xiàn)象，為消除機車的異常晃動現(xiàn)象，提出兩種參數(shù)優(yōu)化方案，經(jīng)試驗驗證，優(yōu)化后機車的橫向晃動消失。葉一鳴等[11]針對機車異?；蝿蝇F(xiàn)象進行了研究，發(fā)現(xiàn)軌道狀態(tài)的不良容易引起車體異常振動，并針對這個現(xiàn)象提出了一些預(yù)防措施。

車輛剛體模態(tài)能清楚表達出車輛系統(tǒng)各自由度振動的頻率和振動的衰減程度，但從車輛剛體模態(tài)的角度對車體橫向低頻晃動的研究還很少。本文基于歐式貼近度對鐵道車輛剛體模態(tài)進行模態(tài)追蹤，得到剛體模態(tài)的頻率和阻尼比隨著運行速度變化的規(guī)律，分析了某地鐵車輛車體橫向低頻晃動的原因。在歐式貼近度的基礎(chǔ)上，提出模態(tài)間的耦合度這個概念，以減少耦合度和消除橫向低頻晃動為設(shè)計目標，對車輛系統(tǒng)的懸掛參數(shù)進行了優(yōu)化。

1 模態(tài)追蹤

1.1 歐式貼近度

為了在某模糊集合中，找出同一類型的子集，需對整個集合中的每個子集進行相似性分析，相似性越大，則屬于同一類集合，差異性越大，則不屬于同一類。常見的相似性分析方法是歐式距離，歐式距離越小，說明相似度越高；反之，歐式距離越大，說明差異性越大。E和F為兩個模糊集合，則歐式距離為[12-13]

(1)

式中：r為集合的基數(shù)；E={e1,e2,…,er}，ep∈E，ep≥0；F={f1,f2,…,fr}，fp∈F，fp≥0。

為了更好度量歐式距離，將計算數(shù)據(jù)進行預(yù)處理(歸一化處理)，即

(2)

為更好度量兩集合的貼近程度，計算兩集合間的歐式貼近度

(3)

式中:N(E,F)為歐式貼近度。從式(3)中可以看出，N(E,F)越大，集合E、F越接近，N(E,F)越小，說明集合E、F差異性越大。

1.2 車輛系統(tǒng)的特征值及特征向量

某地鐵車輛自由振動的線性化方程為[14]

(4)

式中：M、C、K分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；Cwr、Kwr均為與輪軌接觸參數(shù)有關(guān)的矩陣；q為n階(n個自由度)廣義位移向量；v為車輛運行的速度。

假設(shè)

(5)

將式(5)代入式(4)，可將其轉(zhuǎn)化為

(6)

式中：A為這個車輛系統(tǒng)的特征矩陣。

對特征矩陣A進行QR分解，得到系統(tǒng)的特征值λ和特征向量γ

q=γeλt

(7)

將式(5)、式(7)代入到式(6)中，可以得到

(A-λI)γ=0

(8)

式(8)有非零解的條件是

|A-λI|=0

(9)

由式(9)所得到的解λ就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，分別為λ1,λ2,λ3,…,λ2n，特征值λ的普通形式是一對共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)特征值共軛時，取一個即可。則特征值λj(j=1,2,…,n)對應(yīng)的特征向量γ也有2n個，分別為：γ1,γ2,…,γ2n，特征向量也是復(fù)特征矢量，取一個即可。計算得到車輛系統(tǒng)的特征值和特征向量之后，去掉特征值虛部為0的數(shù)據(jù)，得到m個n維共軛復(fù)數(shù)特征向量Xi，記為

(10)

對特征向量的幅值進行數(shù)據(jù)預(yù)處理，設(shè)

(11)

(12)

式中：xik為復(fù)數(shù)；|xik|為復(fù)數(shù)xik的模；Xi為復(fù)數(shù)矩陣；|Xi|為復(fù)數(shù)矩陣Xi的模。

不考慮相位角的超前或滯后，對特征向量Xi的相位角進行數(shù)據(jù)預(yù)處理

φik=θik-max(θik)

(13)

即系統(tǒng)所有模態(tài)相位角ψi=[|φi1| |φi2| … |φin|]T。

式中:θik為相位角；φin為復(fù)數(shù)，|φin|為復(fù)數(shù)φin的模。

表1為速度為V1工況下車輛各模態(tài)的特征向量。

表1 速度為V1時特征向量

1.3 車輛系統(tǒng)的模態(tài)追蹤

根據(jù)歐式貼近度，計算不同速度下各剛體模態(tài)的相似程度[15]

j=1,2,…,mi≠j

(14)

式中：NYij為兩個模態(tài)振幅的歐式貼近度；aik為第i個模態(tài)的第k個自由度的幅值；ajk為第j個模態(tài)的第k個自由度的幅值；α為振幅的權(quán)重。

(15)

式中：Nψ ij為兩個模態(tài)相位角的歐式貼近度；φik為第i個模態(tài)的第k個自由度的相位角；φjk為第j個模態(tài)的第k個自由度的相位角；β為相位角的權(quán)重。

Nij=ω×NYij+(1-ω)Nψ iji≠j

(16)

式中：Nij為兩個模態(tài)綜合歐式貼近度；ω為振幅在綜合歐式貼近度中所占的比例。

第j列中的第i個數(shù)值Nij最大，就說明：參數(shù)V1的第i個模態(tài)與參數(shù)V2的第j個模態(tài)最相似。根據(jù)歐式貼近度概念，參數(shù)V1的第i個模態(tài)與參數(shù)V2的第j個模態(tài)屬于同一類模態(tài)。

2 車體橫向晃動分析

2.1 車輛系統(tǒng)模型

為了研究車體橫向低頻晃動情況，建立整車多剛體線性化模型，見表2，模型共23個自由度。車輛參數(shù)見表3，假定輪對與鋼軌不分離、懸掛元件的特性參數(shù)均線性，將蠕滑系數(shù)視為常數(shù)[3]，將車輛系統(tǒng)的輪軌接觸幾何關(guān)系線性化處理。

表2 模型的自由度

2.2 車體橫向低頻晃車原因分析

利用MATLAB軟件根據(jù)歐式貼近度對23自由度車輛的剛體模態(tài)進行了追蹤，仿真速度從2 km/h依次遞增至120 km/h，速度步長不宜過大，否則將導(dǎo)致識別不準確。轉(zhuǎn)向架蛇行運動、車體上心滾擺和車體搖頭這三種模態(tài)對車輛橫向振動影響較大，因此主要針對這三種模態(tài)進行分析[4]。

對等效錐度為0.1、0.2、0.3三種工況分別進行仿真分析，結(jié)果見圖1。轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率與車輛運行速度有關(guān)，且呈線性增大，但是車體上心滾擺頻率和搖頭頻率基本不隨速度的變化而變化?？梢娎媚：龜?shù)學(xué)的模態(tài)追蹤方法能實現(xiàn)對剛體模態(tài)的自動識別和歸類。在某一個速度段內(nèi)，轉(zhuǎn)向架蛇行運動的頻率(同相或者反相)可能和車體固有的上心滾擺或搖頭振動頻率相接近，此時，這兩個模態(tài)的歐式貼近度接近于1，即轉(zhuǎn)向架蛇行運動與車體橫向運動的振動形式極為相似，導(dǎo)致兩種振動發(fā)生共振，引起車體的橫向振動加劇。此時，車體上心滾擺的阻尼較小，車體橫向出現(xiàn)低頻晃動現(xiàn)象。從圖1中還可以看出，車體固有的上心滾擺的阻尼比隨著速度增大先增大后急劇下降，并且在與轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率(同相)相接近的速度區(qū)間時，阻尼比的數(shù)值下降到最小。阻尼比的劇烈下降，可能引起相應(yīng)振型的不穩(wěn)定，導(dǎo)致不穩(wěn)定振動出現(xiàn)。如果轉(zhuǎn)向架蛇行運動(同相)與車體上心滾擺、轉(zhuǎn)向架蛇行運動(反相)與車體搖頭運動分別發(fā)生共振的速度區(qū)間大致相同時，將進一步加劇車體在這個速度區(qū)間的橫向晃動。從圖1(a)、圖1(b)中可以看出：轉(zhuǎn)向架蛇行運動與車體上心滾擺和搖頭發(fā)生耦合的速度區(qū)間為50～60 km/h，在此區(qū)間內(nèi)，車體上心滾擺的阻尼比最低下降到13%左右，阻尼比越小，耗能越慢，說明此時車體的上心滾擺振型有可能導(dǎo)致不穩(wěn)定振動。對比三種等效錐度下的頻率和阻尼比曲線可以看出，雖然在不同的等效錐度下，發(fā)生共振的速度區(qū)間不同，但是發(fā)生共振的頻率基本相同，約為0.85 Hz；隨著等效錐度的增大，車體上心滾擺的阻尼比也逐漸增大，說明了等效錐度越小，車體越容易發(fā)生低頻晃動。

由于鐵道車輛存在特殊的輪軌關(guān)系，在不同運行速度下，車體的某些模態(tài)的振動特征可能發(fā)生變化。等效錐度為0.1，在不同運行速度下，車體上心滾擺和轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)運動模態(tài)的車輛系統(tǒng)23自由度振動的幅值見圖2、圖3。車體上心滾擺模態(tài)各自由度的振幅基本不隨速度的變化而變化；但轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)模態(tài)各自由度的幅值在不同速度下差異較大。在運行速度為50 km/h時，車體上心滾擺模態(tài)各自由度的幅值與轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)模態(tài)各自由度的幅值相接近，說明此時兩振型非常相似。結(jié)合圖1分析得，在此速度下，車體上心滾擺的頻率與轉(zhuǎn)向架蛇行運動(同相)的頻率相接近時，兩個模態(tài)的振型非常相似，導(dǎo)致這兩種振動發(fā)生耦合共振。此時，車體上心滾擺的阻尼比又較小，車體橫向出現(xiàn)異常的低頻振動。

圖3 仿真速度為70 km/h的模態(tài)振幅

3 耦合度分析

3.1 耦合度定義

耦合是指多個振動相互影響，并且彼此相互作用的一種現(xiàn)象。車輛系統(tǒng)的耦合度是指車輛系統(tǒng)中多個振型間的耦合程度[16]

(17)

耦合度D越接近100，說明整個車輛系統(tǒng)各模態(tài)間耦合程度越大，發(fā)生共振的可能性也越大。

3.2 耦合度計算

從圖4中可以看出，當(dāng)?shù)刃уF度為0.1、速度為50～60 km/h時，耦合度的數(shù)值很大，這與圖1中頻率圖得到的共振速度區(qū)間相同；其余等效錐度下，計算得到耦合度較大的速度區(qū)間與圖1中共振的速度區(qū)間也相同。這說明利用耦合度能很好地描述共振區(qū)間，并且等效錐度越小，耦合度的數(shù)值越大，這與等效錐度越小時，越容易發(fā)生車體的低頻晃動相吻合[3]。

圖4 幾種不同等效錐度下的耦合度

4 參數(shù)優(yōu)化

本文根據(jù)耦合度的概念，以降低系統(tǒng)各模態(tài)之間的耦合度為優(yōu)化目標，對車輛系統(tǒng)的懸掛參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計。

將初始車輛的抗側(cè)滾扭桿由原來的1.5 MN/rad，減少到0.5 MN/rad，將二系垂向減振器阻尼由原來的40 kN/(m/s)增大到70 kN/(m/s)，將二系橫向減振器阻尼由原來的58 kN/(m/s)增大到90 kN/(m/s)，其余參數(shù)不變。假設(shè)車輪的等效錐度為0.1，仿真速度為2～120 km/h，優(yōu)化后仿真結(jié)果見圖5。

圖5 優(yōu)化后的模態(tài)隨速度變化曲線

從圖1(a)和圖5中可以看出，雖然在速度35 km/h左右時，轉(zhuǎn)向架蛇行運動的頻率與車體的上心滾擺和搖頭頻率相接近，但沒有發(fā)生耦合現(xiàn)象，此時轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)運動模態(tài)和車體上心滾擺模態(tài)的歐式貼近度約為0.8。并且車體的上心滾擺的阻尼比并沒有出現(xiàn)明顯下降的過程，車體上心滾擺的阻尼比也由原來的25%上升到45%，車體搖頭運動的阻尼比由原來的45%提升到80%，同時有效提高了車體橫向振動的穩(wěn)定性。因此，為消除車體橫向晃動現(xiàn)象，可以增大車體橫向振型的阻尼比。

優(yōu)化前后的耦合度-速度曲線見圖6，優(yōu)化前后系統(tǒng)的最大耦合度分別為88.4、71.7，優(yōu)化后系統(tǒng)的最大耦合度下降了18.9%。有效降低了系統(tǒng)耦合振動的可能。

圖6 優(yōu)化前后的耦合度

5 結(jié)論

(1) 基于歐式貼近度準則，能快速、準確計算出車輛系統(tǒng)在不同速度條件下各剛體模態(tài)的相似度，得到不同速度下各剛體模態(tài)的頻率和阻尼比的變化規(guī)律。

(2) 在某速度區(qū)間，轉(zhuǎn)向架蛇行運動(同相)的頻率與車體固有的上心滾擺頻率相接近時，此時兩個模態(tài)的貼近度接近于1，說明這兩個振型的振動形式極為相似。并且在此區(qū)間內(nèi)，上心滾擺的阻尼比下降，阻尼比越小，系統(tǒng)的耗能越慢，易導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定的振動。此時轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)引起的車體上心滾擺與車體固有的上心滾擺振動將發(fā)生共振。同理，轉(zhuǎn)向架蛇行運動(反相)與車體搖頭運動發(fā)生共振，可能導(dǎo)致車體橫向晃動。

(3) 通過優(yōu)化設(shè)計車輛的懸掛參數(shù)，使轉(zhuǎn)向架蛇行運動與車體固有振型發(fā)生耦合的程度降低，增大車體橫向振型的阻尼比，使車體橫向振動的穩(wěn)定性增強，從而消除車體的橫向異?；蝿蝇F(xiàn)象。

(4) 利用耦合度為分析車體橫向低頻晃動問題提供可優(yōu)化的目標函數(shù)，耦合度數(shù)值越大，說明車體系統(tǒng)發(fā)生耦合振動現(xiàn)象越嚴重，發(fā)生共振的可能越大。