一題多變 突破遺傳學(xué)計(jì)算難題

安徽 陳永輝

關(guān)于遺傳學(xué)概率計(jì)算很多同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中感覺困難，其主要原因是分不清各種交配方式的計(jì)算方法、看不出不同問題的異同、理解不了致死和不育的區(qū)別。針對(duì)這些問題，筆者在教學(xué)中通過一道簡單的遺傳試題及其多個(gè)變式的講解，幫助學(xué)生解決上述難點(diǎn)。

【例1】小麥的抗銹對(duì)感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續(xù)自交，F(xiàn)5播種后長出的植株中抗銹病純合體占（ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【參考答案】C

【類推法】

親本雜合子Aa 自交，學(xué)生根據(jù)分離定律能直接得出F1中AA、Aa、aa 的概率分別為1/4、1/2、1/4。那么F1個(gè)體自交，F(xiàn)2中AA、Aa、aa 的概率怎樣計(jì)算呢?

F1中AA 自交、Aa 自交產(chǎn)生的F2中會(huì)出現(xiàn)AA，其概率是AA=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8。

同理，可以計(jì)算出F2中Aa、aa 的概率是Aa=1/2×1×1/2=1/4，aa=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8，根據(jù)題意“長出的植株中抗銹病純合體占”的比例可得出數(shù)學(xué)表達(dá)式：A A=，結(jié)合前面的計(jì)算方法可以算出F5：AA==31/64，Aa=1/32，故選C。

用類推法解決這類題目可訓(xùn)練學(xué)生對(duì)自交計(jì)算的掌握程度，同時(shí)筆者要求學(xué)生在審題時(shí)看清問題的數(shù)學(xué)含義，然后進(jìn)行計(jì)算，這樣解題思路清晰、方法得當(dāng)。

【公式法】

此題還可以用公式法計(jì)算。

根據(jù)已知公式Aa=（1/2）n，AA=aa=；可以計(jì)算出F5中AA==31/64，得出結(jié)果。

此方法要求學(xué)生熟練記憶關(guān)于雜合子連續(xù)自交的公式，并能準(zhǔn)確地加以應(yīng)用，同時(shí)知道所求數(shù)據(jù)代表的數(shù)學(xué)含義。

1.自交的計(jì)算

【變式1】小麥的抗銹對(duì)感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續(xù)自交，F(xiàn)5播種后淘汰感銹病類型的小麥，則長出的抗銹病植株中純合體占 （ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【參考答案】A

根據(jù)題意可知，aa（感銹病類型）被淘汰，所以“抗銹病植株中純合體占”的比例用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為AA=，根據(jù)前面例1 中計(jì)算結(jié)果可得AA==31/33，故選A。

同理，筆者要求學(xué)生先根據(jù)問題構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)表達(dá)式，利用例1 中的公式計(jì)算出結(jié)果，然后根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式帶入數(shù)據(jù)，得出正確結(jié)果。

在變式1 中這兩種解法的主要目的是為了通過與例1 中問題的比較，幫助學(xué)生在審題時(shí)看清問題，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)表達(dá)式來準(zhǔn)確表示問題，將問題數(shù)學(xué)化。

2.自由交配的計(jì)算

【變式2】小麥的抗銹對(duì)感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續(xù)自由交配，F(xiàn)5播種后淘汰感銹病類型的小麥，則長出的抗銹病植株中純合體占 （ ）

A.1/3 B.1/4 C.31/33 D.31/64

【參考答案】A

2.1 類推法

以F2中AA 的計(jì)算為例，雌雄個(gè)體中AA、Aa、aa 的概率分別為1/4、1/2、1/4；由于是自由交配，所以可以用棋盤法進(jìn)行計(jì)算分析，F(xiàn)1中AA、Aa 與aa 相互交配得到的F2中AA 的計(jì)算如下：

F2中：AA=1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2+1/4×1/2×1/2+1/2×1/2×1/4=1/4，Aa=1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2+1/2×1/2×1/2+1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2=1/2，aa=1/2×1/2×1/4+1/2×1/4×1/2+1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1=1/4。同理，可以計(jì)算出自由交配情況下F5中AA=1/4，Aa=1/2，aa=1/4。由于淘汰了感銹病類型，即aa，所以“抗銹病植株中純合體”的數(shù)學(xué)表達(dá)式為=1/3，故選A。

在變式2 中的類推法主要是訓(xùn)練學(xué)生關(guān)于自由交配的計(jì)算，并通過與例1 的對(duì)比體會(huì)自交和自由交配在計(jì)算方法上的區(qū)別，同時(shí)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生看清問題，并形成將問題數(shù)學(xué)化的意識(shí)。

2.2 理想種群法

由于個(gè)體間是自由交配且沒有致死現(xiàn)象，所以可按照理想種群用遺傳平衡規(guī)律進(jìn)行分析計(jì)算。過程如下：由于是理想種群，每一代基因頻率不變，基因型頻率從F2開始保持不變，所以只要計(jì)算出F2的基因型頻率就可以了。

根據(jù)題意可以求出A、a 的基因頻率都是1/2，F(xiàn)2中AA=aa=p2（或q2）=（1/2）2=1/4，Aa=2pq=2×1/2×1/2=1/2，即F5中AA=aa=1/4，Aa=1/2。根據(jù)題意，結(jié)合“抗銹病植株中純合體占”的比例的數(shù)學(xué)表達(dá)式可求出結(jié)果。

理想種群法主要是幫助學(xué)生掌握遺傳平衡規(guī)律在自由交配題目計(jì)算中的應(yīng)用。

3.aa 致死或淘汰情況下的計(jì)算

【變式3】小麥的抗銹對(duì)感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續(xù)自交，且基因型為aa 的小麥致死，則F5長出的抗銹病植株中純合體占 （ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【參考答案】A

3.1 類推法

雜合子連續(xù)自交但aa 致死或逐代淘汰的情況下，親本自交得到F1時(shí)，F(xiàn)1中AA、Aa 的概率學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以直接得出AA=1/3，Aa=2/3。那么F1自交得到F2中AA、Aa 的概率又怎樣計(jì)算呢？

在計(jì)算時(shí)有兩種方法。第一種方法：因?yàn)閍a 致死導(dǎo)致AA 占1/3，Aa 占2/3，所以得出Aa=2/3×1×2/3=4/9，AA 的計(jì)算同理。第二種方法：先按照aa 正常生長計(jì)算出AA、Aa、aa 的概率，然后重組比值，計(jì)算出aa 死亡的情況下AA=3/5、Aa=2/5。

經(jīng)比較可知第一種方法錯(cuò)誤，因?yàn)閍a 死亡，導(dǎo)致AA 自交產(chǎn)生后代的數(shù)量與Aa 自交產(chǎn)生后代的數(shù)量不同，而在概率計(jì)算中要求所有個(gè)體的繁殖能力相同。所以要按照第二種方法先計(jì)算出AA、Aa、aa 的比例，然后構(gòu)建數(shù)學(xué)表達(dá)式AA=，重組比值，計(jì)算出aa 死亡的情況下AA、Aa 的概率。以此類推，計(jì)算出F5中AA==31/33，故選A。

在變式3 中通過類推法對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行比較，幫助學(xué)生理解aa 致死情況下的計(jì)算方法。讓學(xué)生知道一定要先計(jì)算出aa 正常情況下的數(shù)據(jù)，然后結(jié)合問題建構(gòu)數(shù)學(xué)表達(dá)式重組比值，得出結(jié)果。

3.2 公式法

學(xué)生可以根據(jù)已知公式Aa=2/（2n+1），在aa 致死或逐代淘汰的情況下進(jìn)行計(jì)算Aa=2/（2n+1）=2/33，因此AA=31/33。

在變式3 中公式法與例1 中公式法的作用相同，主要是幫助學(xué)生熟練記憶關(guān)于aa 致死情況下雜合子連續(xù)自交的公式，并能準(zhǔn)確地加以應(yīng)用，同時(shí)知道所求數(shù)據(jù)代表的數(shù)學(xué)含義。

3.3 規(guī)律法

圖1

圖2

表1

通過圖1 和圖2 比較可以得出表1 所示結(jié)果，即在aa 致死與aa 正常情況下，AA/Aa 的比值不變。原因是aa 自交既不能產(chǎn)生AA 也不能產(chǎn)生Aa，所以aa 是否致死不會(huì)影響AA/Aa 的比值。結(jié)合這一規(guī)律，就可以利用前面aa 正常情況下得出的公式進(jìn)行aa 致死情況下的計(jì)算。以計(jì)算aa 致死情況下F5的AA、Aa 的概率為例：先利用公式計(jì)算出aa 正常情況下AA、Aa 的概率AA==31/ 64，Aa=（1/ 2）n=1/32，然后得出AA/Aa=31/2，結(jié)合前面得出的規(guī)律可知，aa 致死情況下AA/Aa 也等于31/2，再結(jié)合數(shù)學(xué)表達(dá)式AA=，重組比值可得出aa 致死情況下AA=31/33，Aa=2/33。

在變式3 中，筆者通過規(guī)律法比較aa 正常情況下和aa 致死情況下的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，并能解釋原因。再根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果。該方法的優(yōu)點(diǎn)主要是不需要學(xué)生記憶太多的公式，學(xué)生只要記住aa 正常情況下雜合子連續(xù)自交的公式，計(jì)算出數(shù)據(jù)，再根據(jù)規(guī)律就可解答這類問題了。

4.aa 不育情況下的計(jì)算

【變式4】小麥的抗銹對(duì)感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續(xù)自交，但感銹病類型的小麥不育，則F5長出的植株中抗銹病純合體占 （ ）

A.31/33 B.31/34 C.31/64 D.31/66

【參考答案】B

4.1 類推法

在aa 不育的情況下雜合子連續(xù)自交時(shí)，親本自交得到F1時(shí)，F(xiàn)1中AA、Aa 的概率根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以直接得出AA=1/4，Aa=1/2，aa=1/4，F(xiàn)1自交得到F2時(shí)學(xué)生的計(jì)算會(huì)出現(xiàn)兩種情況。第一種計(jì)算方法：F1自交產(chǎn)生AA 時(shí)，因?yàn)锳A 占1/4，Aa 占1/2，所 以AA=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8；Aa、aa 的計(jì)算同理。第二種方法：F1中aa 不育，所以F1具有繁殖能力的個(gè)體中AA 占1/3，Aa 占2/3，而F2是由具有繁殖能力的AA、Aa 繁殖的，所以在計(jì)算F2時(shí)AA 用1/3，Aa 用2/3。

經(jīng)分析可知第一種方法是錯(cuò)誤的，當(dāng)aa 不育時(shí)，要先重新計(jì)算出親代中AA、Aa 的概率，然后根據(jù)新概率再分別計(jì)算出aa 不育情況下子代AA、Aa、aa 的概率。按照正確方法可以計(jì)算出F5中AA=31/34，Aa=1/17，aa=1/34。根據(jù)題意“長出的植株中抗銹病純合體占”的比例的數(shù)學(xué)表達(dá)式為AA=，所以AA的概率為31/34，故選B。

在變式4 中通過類推法對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行比較，可幫助學(xué)生正確理解aa不育情況下的計(jì)算方法。由于aa不育，每一代個(gè)體在作為親本計(jì)算下一代時(shí)，都要將aa 排除出去，重組比值，利用重組后的數(shù)值再進(jìn)行計(jì)算。

4.2 規(guī)律法

圖3

圖4

表2

通過對(duì)圖3 和圖4 比較可以得出如表2 所示結(jié)果，即aa 不育與aa 正常情況下，AA/Aa 的比值相同。原因是aa 自交既不能產(chǎn)生AA 也不能產(chǎn)生Aa，所以AA/Aa 的比值不變。同時(shí)在aa 不育的情況下每一代aa 的概率始終占一份，即每一代AA∶Aa∶aa 都是M∶N∶1。結(jié)合以上規(guī)律，就可以利用aa 正常情況下得出的公式進(jìn)行aa 不育情況下的計(jì)算。以計(jì)算F5中aa 不育情況下AA、Aa 的概率為例：首先利用公式計(jì)算出aa 正常情 況 下AA==31/64，Aa=（1/ 2）n=1/32，然后得出aa 正常情況下AA/Aa=31/2，結(jié)合上面得出的規(guī)律可知，aa 不育情況下AA/Aa 也等于31/2，且每一代aa 始終占一份。所以進(jìn)一步可以得出AA∶Aa∶aa=31∶2∶1，根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式重組比值可得出在aa 不育的情況下AA=31/34，Aa=2/34=1/17，aa=1/34，結(jié)合題意“長出的植株中抗銹病純合體占”的比例構(gòu)建數(shù)學(xué)表達(dá)式AA=，可得結(jié)果。

在變式4 中，通過規(guī)律法比較aa 正常和aa 不育情況下的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，并解釋原因。再根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果。該方法的優(yōu)點(diǎn)同樣是不需要學(xué)生記憶太多的公式。

5.應(yīng)用

【例2】小麥的抗銹對(duì)感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續(xù)自交并逐代淘汰感銹病類型的小麥，F(xiàn)5播種后長出的抗銹病植株中純合植株所占比例為 （ ）

A.31/33 B.31/34

C.31/64 D.31/66

【參考答案】A

【解析】題目中“逐代淘汰感銹病類型aa”，實(shí)際上相當(dāng)于aa 致死，并且問題是F5“抗銹病植株中純合植株所占比例”，也沒有包括aa，所以本題可以按照aa 致死的情況計(jì)算。結(jié)合前面給出的規(guī)律可以先計(jì)算出Aa 正常情況下F5中AA==31/64，Aa=（1/2）n=1/32，從而得出AA/Aa=31/2，根據(jù)前面的規(guī)律可以直接得出：在逐代淘汰感誘?。╝a 致死）情況下，AA∶Aa=31∶2，重組比值可知AA=31/33，故選A。

經(jīng)過對(duì)一道簡單的遺傳學(xué)計(jì)算題及其多個(gè)變式的對(duì)比、計(jì)算，幫助學(xué)生理解和掌握自交和自由交配計(jì)算的差別及其不同的解題方法。使學(xué)生同時(shí)理解和掌握aa 致死和aa 不育的計(jì)算方法及出錯(cuò)原因，提醒學(xué)生在審題時(shí)找準(zhǔn)關(guān)鍵、看清問題、學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)表達(dá)式理解和分析題目，突破遺傳學(xué)計(jì)算難題。