例談數(shù)列求和的求解策略

安徽省利辛高級中學(xué) 胡 彬

數(shù)列求和是數(shù)列知識的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是高考的高頻考點(diǎn)。求解數(shù)列求和問題的基本方法是根據(jù)數(shù)列的通項特征(除等差數(shù)列、等比數(shù)列可直接由公式求解外)，可通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題，或轉(zhuǎn)化為其他已知公式的數(shù)列問題。常用的方法有：錯位相減法，裂項相消法，分組轉(zhuǎn)化求和法，倒序求和法，并項轉(zhuǎn)化求和法，以及特殊數(shù)列求和法等。

一、錯位相減求和法

例1已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1。

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；

解析：(1)由題意知，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=6n+5。當(dāng)n=1時，a1=S1=11，滿足上式，所以an=6n+5。

設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d。

(2)由(1)知：

由Tn=c1+c2+c3+…+cn，得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1]。

則2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]。

兩式作差，得：

評注：當(dāng)一個數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成時，求和可用錯位相減法。應(yīng)用時應(yīng)注意：(1)若等比數(shù)列的公比為變量，需對變量分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)是變量與1 的關(guān)系；(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)將兩式錯項對齊，便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式；(3)由于求解過程的復(fù)雜性，為提高準(zhǔn)確性，在求出結(jié)果后，應(yīng)令n=1，2，結(jié)合a1，a1+a2的值進(jìn)行驗(yàn)證。

二、裂項相消求和法

例2Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知

(1)求{an}的通項公式；

解析：(1)由可知

(2)由an=2n+1 可知

設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則：

評注：裂項求和法是將數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的某些項可以相互抵消，從而求和。如求和時，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，且未被消去的項有前后對稱的特點(diǎn)，也正是此法解題的目的。

三、分組轉(zhuǎn)化求和法

例3(2019 年福建質(zhì)檢)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an-n。

(1)求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求an的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3=a2，b7=a3，求數(shù)列{anbn}的前n項和。

解析：(1)當(dāng)n=1 時，S1=2a1-1，所以a1=1。因?yàn)镾n=2an-n①，所以當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-(n-1)②。

①-②得an=2an-2an-1-1，所以an=2an-1+1。

整理得，{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。所以an+1=2·2n-1，an=2n-1。

(2)由(1)知，a2=3，a3=7，所以b3=a2=3，b7=a3=7。設(shè){bn}的公差為d，則b7=b3+(7-3)·d，d=1。所以bn=b3+(n-3)·d=n，anbn=n(2n-1)=n·2n-n。設(shè)數(shù)列{n·2n}的前n項和為Kn，數(shù)列{n}的前n項和為Tn，則Kn=2+2×22+3×23+…+n·2n。③

2Kn=22+2×23+3×24+…+n·2n+1。④

③-④得：

-Kn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=

所以Kn=(n-1)·2n+1+2。

{anbn}的前n項和為(n-1)·2n+1-

評注：一個數(shù)列的通項公式由不同類型且可求和的數(shù)列組成，求和時可用分組轉(zhuǎn)化求和法，即分別求和然后相加減，求和時應(yīng)對其通項的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行具體分析，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而獲解。

四、倒序求和法

例4設(shè)函數(shù)定義，其中n∈N*，且n≥2，則

評注：如果一個數(shù)列｛an｝的前n項和中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，使用該法時要注意相加后求出的和是所求和的兩倍，得出結(jié)果后不要忘了除以2，此類問題常與函數(shù)有關(guān)，發(fā)現(xiàn)自變量的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。

五、并項轉(zhuǎn)化求和法

例5(湖南卷)已知數(shù)列{an}的前n項和

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

解析：(1)當(dāng)n=1時，a1=S1=1；

當(dāng)n≥2 時

故數(shù)列{an}的通項公式為an=n。

(2)由(1)知an=n，故bn=2n+(-1)nn，記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則：

T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)。

記A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，則B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n。故數(shù)列{bn}的前2n項和：

T2n=A+B=22n+1+n-2。

評注：一般地，形如an=(-1)nf(n)或周期性數(shù)列可采用此法。一個數(shù)列的前n項和中，若部分項的和具有明顯的規(guī)律性，則可以先求出該部分項的和，然后再由數(shù)列的通項特征求和。特別地，對于一些各項正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列，求和時可采用兩項合并的方法求解。

六、特殊數(shù)列求和法

1.放縮法(與不等式綜合)。

例6證明

證明：要證，即證

因?yàn)閚2＞n(n-1)，所以

評注：把n2放縮為n(n-1)，取倒數(shù)便可以用裂項相消求和，觀察，前面的項比較大時，則放縮時往往是首項或者前n項保留不變，這樣能得到比較精確的上(下)界。該方法主要將不可求和問題通過恰當(dāng)放縮轉(zhuǎn)化為熟知的可求和類型，從而考查了同學(xué)們的轉(zhuǎn)化與化歸能力。

2.通項中含絕對值類型。

例7(2019 年武漢調(diào)研)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S2+4S4=S6，a1=1。

(1)求數(shù)列{an}的公比q；

(2)令bn=an-15，求T=|b1|+|b2|+…+|b10|的值。

解析：(1){an}是正項等比數(shù)列，若q=1，則Sn=na1=n，S2=2，4S4=4×4，S6=6，不合題意，故q≠1。

由S2+4S4=S6可知：

(2)由(1)知an=2n-1，則{an}的前n項和。當(dāng)n≥5時，bn=2n-1-15＞0；n≤4時，bn=2n-1-15＜0。

故T=-(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+…+b10)=-(a1+a2+a3+a4-15×4)+(a5+a6+…+a10-15×6)=-S4+S10-S4+60-90=S10-2S4-30=(210-1)-2×(24-1)-30=210-25-29=1 024-32-29=963。

評注：對于通項中含有絕對值符號的數(shù)列，通常先確定滿足bn≥0(或bn≤0)時n的范圍，再由絕對值的定義進(jìn)行化簡，從而轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的前n項和求解。數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項及其和的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化與化歸。