利用基本不等式求函數(shù)最值的四個(gè)策略

江蘇省無錫市第六高級中學(xué) 陳偉斌

江蘇省無錫市青山高級中學(xué) 張啟兆

基本不等式反映了兩個(gè)正數(shù)和與積之間的不等關(guān)系，所以在求積的最值、和的最值時(shí)，基本不等式煥發(fā)出強(qiáng)大的生命力，它是解決最值問題的強(qiáng)有力工具。利用基本不等式求最值也有下面一些需要注意的地方。

一、理解基本不等式的本質(zhì)

二、牢記三個(gè)題根

1.已知x＞0，求的最小值。

解析當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取“=”，故的最小值為6。

變式：已知x≥4，求的最小值。

解析：此時(shí)不能用基本不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解，答案為

2.已知x＞0，y＞0，若，求x+y的最小值。

解析：(解法1)x+y=（x+y）·=16，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=4，y=12時(shí)，x+y取得最小值16。

評注：屬“知和求和”型，使用“乘1 變換”。

3.已知x＞0，y＞0，若x+y=1，求的最小值。

解析：，當(dāng)且僅當(dāng)且x+y=1，即取得最小值16。

評注：屬“知和求和”型，使用“1 代換”。

三、掌握四個(gè)策略

1.乘“1”變換

例1如圖1，已知函數(shù)y=ax+b(b＞0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，則的最小值為____。

圖1

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax+b(b＞0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，所以a+b=3，且a＞1。

整理得(a-1)+b=2，且a-1＞0。

評注：在求和的最小值時(shí)，為了湊出積的定值，有時(shí)需要乘上“1”的等價(jià)式。本題也可以通過乘“1”代換的方法解決。

2.“1”代換

例2已知a，b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0，則的最小值為____。

解析：因?yàn)閍，b為正數(shù)，且ab-a-2b=0，所以因此1=7，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取“=”。

評注：1的代換是解決問題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基本不等式是代換的前提，不能盲目變形。首先要學(xué)會(huì)“結(jié)構(gòu)分析”，其次要熟悉不同結(jié)構(gòu)的變形策略，這是處理問題的關(guān)鍵，要思考如何變形才能簡化式子，進(jìn)而達(dá)到“和”或“積”為定值的效果。

3.換元法

例3已知a，b為正數(shù)，且a+b=2，則的最小值為____。

解析：設(shè)t=b+1(1＜t＜3)，則b=t-1，且a+t=3。，當(dāng)且僅當(dāng)且a+t=3，即時(shí)取“=”。

評注：條件不等式的最值問題，一般通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解。換元法是一種常用轉(zhuǎn)化方法，換元后能使用基本不等式是換元的前提。

4.利用不等式鏈

例4已知正實(shí)數(shù)a，b滿足9a2+b2=1，則的最大值為____。

解析：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足9a2+b2=1，所以當(dāng)且僅當(dāng)且9a2+b2=1，即時(shí)取“=”，故的最大值為

評注：(1)基本不等式鏈：若a，b都是正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立?；静坏仁芥溄沂玖藘蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系，是基本不等式的推廣，要熟記。

(2)此題直接平方后，也可利用不等式求解。1=9a2+b2≥6ab，當(dāng)且僅當(dāng)且9a2+b2=1，即時(shí)取“=”，故