四種條件的判斷與應(yīng)用

河南省平頂山一高 劉鄧輝

一、利用定義判斷

例1設(shè)x∈R，則是“x3＜1”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由得0＜x＜1，則0＜x3＜1，即

由x3＜1，得x＜1，但 當(dāng)x≤0 時(shí)，

點(diǎn)評：直接判斷“若p，則q”、“若q，則p”的真假時(shí)，要確定條件是什么、結(jié)論是什么。

練習(xí)1：“a=0”是“函數(shù)f(x)=sinx-為奇函數(shù)”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱。當(dāng)，故f(x)為奇函數(shù)。

二、利用集合間的關(guān)系進(jìn)行判斷

例2設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足(x-1)2+(y-1)2≤2，q：實(shí)數(shù)x，y滿足則p是q的( )。

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：如圖1，作出p，q表示的區(qū)域，其中☉M及其內(nèi)部為p表示的區(qū)域，△ABC及其內(nèi)部(陰影部分)為q表示的區(qū)域，故p是q的必要不充分條件。

圖1

點(diǎn)評：利用集合中的包含思想，抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題。

練習(xí)2：已知m∈R，“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”是“函數(shù)y=logmx在(0，+∞)上是減函數(shù)”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由y=2x+m-1=0，得m=1-2x，則m＜1，即A={m|m＜1}。

由于函數(shù)y=logmx在(0，+∞)上是減函數(shù)，故0＜m＜1，即B={m|0＜m＜1}。

因?yàn)锽?A，所以“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”是“函數(shù)y=logmx在(0，+∞)上是減函數(shù)”的必要不充分條件。

三、利用互為逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷

由于互為逆否命題是相互等價(jià)的，當(dāng)我們對原命題判斷較為困難時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為逆否命題來判斷。

例3已 知p：|3x-4|＞2；q：，問：?p是?q的什么條件?

解析：由|3x-4|＞2，得x＞2或也即p：x＞2或，得x＞2或x＜-1，即q：x＞2或x＜-1。容易判斷q是p的充分不必要條件，從而?p是?q的充分不必要條件。

點(diǎn)評：條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷真假。

練習(xí)3：p：x≠3且y≠2，q：x+y≠5，說明p是q的什么條件。

解析：原命題等價(jià)于判斷?q：x+y=5是?p：x=3或y=2的什么條件。

顯然?q?/?p，?p?/?q，所以p是q的既不充分也不必要條件。

四、充分條件、必要條件的探究

例4命題“?x∈[1，3]，x2-a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是( )。

A.a≥9 B.a≤9

C.a≥10 D.a≤10

解析：命題“?x∈[1，3]，x2-a≤0”?“?x∈[1，3]，x2≤a”，9≤a。則a≥10是命題“?x∈[1，3]，x2-a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件。

點(diǎn)評：充分條件、必要條件的探究，關(guān)鍵是正確化簡條件，尋求問題成立的充要條件。

練習(xí)4：圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是( )。

解析：若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心(0，0)到直線kx-y-3=0的距離≤1，即，k2+1≥9，k2≥8，k≥所以圓x2+y2=1 與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是，選B。

五、充分條件、必要條件的應(yīng)用

例5已知p：|2x-3|＜m，q：x(x-3)＜0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

解析：設(shè)|2x-3|＜m和x(x-3)＜0的解集分別為A，B。易知B={x|0＜x＜3}，當(dāng)m≤0時(shí)A=?，符合題意；當(dāng)m＞0時(shí)，A要使p是q的充分不必要條件，則AB，應(yīng)有

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜3。

點(diǎn)評：根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點(diǎn)：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解。

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)。尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象。

練習(xí)5：設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2＜0，a∈R；q：實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0 或x2+2x-8＞0。若a＜0且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：由p得(x-3a)(x-a)＜0，當(dāng)a＜0時(shí)，3a＜x＜a。

由q得x2-x-6≤0或x2+2x-8＞0，解得x＜-4或x≥-2。

設(shè)A=(3a，a)，B=(-∞，-4)∪[-2，+∞)。

由p是q的充分不必要條件，可知AB，故a≤-4或3a≥-2，即a≤-4或a≥

又因?yàn)閍＜0，所以a≤-4或≤a＜0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，-4]∪