數(shù)學(xué)基本不等式問題求解策略

河南省新密市第二高級(jí)中學(xué) 王紅娟

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而運(yùn)用基本不等式求最值以及利用均值不等式證明是本章的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)又是高考考查的熱點(diǎn)。運(yùn)用基本不等式有很大的靈活性及較高的解題技巧，本文旨在幫助同學(xué)們掌握這些技巧，從而輕松解決基本不等式問題。

一、基本不等式的基礎(chǔ)形式

1.a2+b2≥2ab，其中a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

3.常用不等式：，其中a，b∈(0，+∞)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

二、應(yīng)用

(一)基本不等式與最值

(1)積定，和最小：若ab是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，(a+b)min=，其中a，b∈(0，+∞)。

(2)和定，積最大：若a+b是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，(ab)max=其中a，b∈(0，+∞)。

利用基本不等式求最值的問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，是高考的熱點(diǎn)之一，下面將通過一些例題對(duì)高考中利用基本不等式解題的基本特征和基本類型進(jìn)行分類解析。

1.應(yīng)用基本不等式解題，一定要注意應(yīng)用的前提：一正、二定、三相等?！耙徽笔侵妇鶠檎龜?shù)；“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件。

2.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積或和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式解題。

3.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值。

解題技巧1：湊項(xiàng)

例1已知x＞-2，則的最小值為____。

解析：由題意可知x+2＞0，(x+2)×，明顯積為定值。根據(jù)和定積最大法則，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)可得

變式：已知求函數(shù)y=4x-2+的最大值。

解析：因?yàn)?x-5＜0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)。又因?yàn)椴皇浅?shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)。

故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1。

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。

例2若實(shí)數(shù)a，b滿足2a+2b=1，則a+b的最大值是____。

變式：函數(shù)y=ax-1(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny=1上，則mn的最大值為____。

解析：由題意可知函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)A(1，1)，將點(diǎn)A(1，1)代入直線方程mx+ny=1可得m+n=1。明顯和為定值，根據(jù)和定積最大法則，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

故mn的最大值為

例3若對(duì)任意恒成立，則a的取值范圍是_____。

解析：觀察題中的不等式，可以考慮采用常數(shù)分離的方法。

解法 1：將化簡(jiǎn)可得觀察分母，很明顯可以得到積為定值的形式，根據(jù)積定和最小的法則，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故可得分式的分母

解法 2：將化簡(jiǎn)可得，這是一個(gè)對(duì)勾函數(shù)，故f(x)而分母f(x)+3≥5，代入分式函數(shù)取倒數(shù)可得0＜

解題技巧2：湊系數(shù)

例4當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y=x(8-2x)的最大值。

解析：由0＜x＜4 知，8-2x＞0。利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8 為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

故x=2時(shí)，y=x(8-2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值的形式，從而可利用基本不等式求最大值(當(dāng)然，此題也可直接利用二次函數(shù)求最值)。

變式：設(shè)，求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值。

(二)已知條件求最值

例8求x+y的最小值。

解析：要求x+y的最小值，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。

解法1：利用“1”的代換。

解法3：由，得y+9x=xy。

故(x-1)(y-9)=9。

因此，x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時(shí)取得等號(hào)。

故當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y取得最小值16。

評(píng)注：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，同學(xué)們要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形。另外解法2，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響。

變式：已知正數(shù)a，b，x，y滿足a+b=10，=1，x+y的最小值為18，求a，b的值。

解析：本題屬于“1”的代換問題。

因?yàn)閤，y＞0，a，b＞0，所以x+y≥10+

結(jié)合a+b=10，解得

例9若實(shí)數(shù)滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是____。

解析：3a和3b都是正數(shù)，故3a+3b≥，當(dāng)且僅當(dāng)3a=3b時(shí)等號(hào)成立。

由a+b=2及3a=3b，得a=b=1，即當(dāng)a=b=1時(shí)，3a+3b的最小值是6。

變式：若log4x+log4y=2，求的最小值，并求x，y的值。

解答略。

例10已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10，求函數(shù)的最值。

解法1：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，解答很簡(jiǎn)單。

解法2：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”的條件靠攏。

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正、二定、三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。

例11已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，求函數(shù)的最小值。

解析：這是一道二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑。一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，故不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。

解法2：由已知得30-ab=a+2b。因?yàn)?，所?/p>

變式：已知a＞0，b＞0，ab-(a+b)=1，求a+b的最小值。

解答略。

(三)不等式與其他問題結(jié)合

1.不等式與恒成立。

例12已知x＞0，y＞0且求使不等式x+y≥m恒成立時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解得k≥16，故m∈(-∞，16]。

2.不等式與向量。

例13已知b＞0)，且A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，則的最小值為_____。

解析：由三點(diǎn)共線可得a+b=1，觀察形式采用“1”的代換，故等式右側(cè)積為定值，可利用積定和最小法則得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

3.不等式與解析幾何。

例14若直線ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值為_____。

解析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x+1)2+(y-2)2=4，根據(jù)弦長(zhǎng)為4 可得直線經(jīng)過圓心。將圓心(-1，2)代入直線方程可得a+2b=2。觀察求解形式可得采用“1”的代換方法，即化簡(jiǎn)可得，很明顯積為定值，根據(jù)積定和最小法則，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故

4.不等式與解三角形。

例15△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2-bc=0。

(1)求角A的大?。?/p>

解析：(1)由題意與余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，解得cosA=

(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-bc=3，故bc+3=b2+c2。由基本不等式≥ab可得bc+3=b2+c2≥2bc?bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)。

(3)由余弦定理可得a2=b2+c2-bc=3，故bc=b2+c2-3，b2+c2+2bc-3=3bc?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)。故三角形的周長(zhǎng)C△ABC=a+b+c≤