基于改進OMP的非正側視MIMO-STAP 算法

何 團，唐 波，張 進，張 玉

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing，STAP)是用于強雜波背景中運動目標檢測的關鍵技術。在STAP中，需要精確估計待檢測距離單元的雜波協(xié)方差矩陣(Clutter Covariance Matrix，CCM)。傳統(tǒng)的STAP方法使用待檢測距離單元附近距離單元的訓練樣本來估計CCM。根據STAP理論[1]，要使估計雜波協(xié)方差矩陣帶來的雜波抑制性能損失小于3 dB，訓練樣本數至少為2倍系統(tǒng)自由度。然而，實際環(huán)境中雜波分布往往是非均勻的，尤其是在非正側視條件下非均勻性更加嚴重，這就使得用于估計CCM的訓練樣本數很難滿足要求，從而導致估計的CCM不準確，雜波抑制性能嚴重下降。

作為機載雷達最有效的雜波抑制手段，STAP技術已由單輸入多輸出(Single-Input Multiple-Output，SIMO)雷達拓展到了多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)雷達[2]。相比SIMO-STAP，MIMO-STAP可以實現(xiàn)更窄的雜波凹口，更優(yōu)的最小可探測速度性能，更高的多普勒分辨率，且更能降低雜波水平[3-4]。近年來，稀疏恢復技術被應用到SIMO-STAP中，與傳統(tǒng)的STAP算法相比，稀疏恢復技術能夠在訓練樣本數較少的情況下較為精確地估計出雜波譜[5]?，F(xiàn)在稀疏恢復技術也慢慢擴展到了MIMO-STAP中。

基于貝葉斯學習的稀疏恢復算法[6]在雜波滿足一定概率分布的前提下可恢復出精確的雜波譜，但如果雜波實際的概率分布模型與假設的概率分布模型存在偏差，該方法的性能就會嚴重下降。正則化FOCUSS[7]等眾多需要引入正則化參數的算法也可用于雜波譜的稀疏恢復，但這些算法都需要設定恰當的超參數，才能獲得較好的性能，而實際上超參數的設定往往不易把握。OMP[8]等貪婪算法通過不斷挑選與殘差矢量相關性最大的原子進入支撐集，從而不斷減小殘差，直到殘差小于門限值。但如果原子間相關性較強，其恢復性能就會嚴重下降。以上算法應用于MIMO-STAP都會存在相應不足，因此亟需尋求一種能彌補以上不足的稀疏方法來求解非正側視條件下的雜波譜。

貪婪算法中OMP算法不需考慮雜波的先驗分布模型，且不需設置任何超參數，具有簡單、高效的特點，但由于MIMO-STAP中原子間相關性較強使得OMP并不適用于恢復雜波譜。但如果能將OMP算法因原子間相關性強而帶來性能損失這一缺點進行改善，就可以得到一種優(yōu)秀的雜波譜求解算法。因此，針對MIMO-STAP在非正側視條件下雜波抑制性能嚴重下降的問題，本文提出了一種改進OMP算法用于雜波譜的稀疏恢復。

1 雜波譜稀疏恢復問題建模

1.1 MIMO雷達雜波信號模型

考慮機載MIMO雷達在非正側視條件下的雜波模型[9]。

圖1為機載MIMO雷達幾何模型，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角(為方便建模，設θ∈[-π,π]，從y軸正軸開始逆時針旋轉半圈，θ取值變化為0→π，從y軸正軸開始順時針旋轉半圈θ取值變化為0→-π)，Φ為線陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角，Δ為偏航角；V為載機速度(V方向位于x、y軸正方向之間，且平行于xoy平面)，h為載機距離地面的高度。

圖1 機載MIMO雷達幾何模型Fig.1 Geometric model of airborne MIMO radar

設陣列天線中發(fā)射陣元個數為M，接收陣元個數為N，1個相干處理間隔內發(fā)射K個脈沖，脈沖重復頻率為fr，發(fā)射波長為λ，發(fā)射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問題，取dr=λ/2)。

天線陣列在平臺上的具體安裝布局如圖2所示。

圖2 機載MIMO雷達陣列配置圖Fig.2 Array configuration diagram of airborne MIMO radar

天線為均勻線陣，發(fā)射陣元和接收陣元都為線性排列，兩線陣方向一致。各發(fā)射陣元間距均為dt，接收陣元間距均為dr。

MIMO雷達各發(fā)射陣元發(fā)射的信號為碼分正交信號[10]，各信號間滿足正交關系。且發(fā)射陣元都為全向發(fā)射，其能量覆蓋沒有方向性，在所有方向增益相同。通過匹配濾波,可以在接收端分離出各個正交的發(fā)射陣元信號。

設第l個距離環(huán)俯仰角為φl，將其均勻切分為Nc個雜波塊，其中第p個雜波塊的方位角為θp。設fs表示雜波塊的空間頻率，fd表示雜波塊的多普勒頻率，則第p個雜波塊對應的空時導向矢量可表示為：

v(fd,fs)=vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式(1)中，?表示Kronecker積；vt為發(fā)射導向矢量，vr為接收導向矢量，vd為時域導向矢量。發(fā)射和接收導向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs… ej2π(M-1)γfs]T

(2)

vr(fs)=[1 ej2πfs… ej2π(N-1)fs]T

(3)

式(2)、(3)中，γ為發(fā)射陣元間距與接收陣元間距之比；第p個雜波塊的空間頻率與θp、φl關系式為fs(θp,φl) =drcos(θp)cos(φl)/λ。

時域導向矢量為：

vd(fd)=[1 ej2πfd…ej2π(K-1)fd]T

(4)

其中，第p個雜波塊的多普勒頻率與θp、φl關系式為fd(θp,φl)=2Vcos(θp+Δ)cos(φl)/(λfr)。

則可將第l個距離環(huán)對應的雜波表示為：

(5)

式(5)中，σp為第p個雜波塊的回波幅度；fs,p為第p個雜波塊的空間頻率，fd,p為第p個雜波塊的多普勒頻率。

1.2 MIMO雷達雜波譜的稀疏恢復模型

一般情況下，為得到稀疏恢復所需的字典，需將整個空時二維平面網格化，將所有網格節(jié)點對應的空時導向矢量取出組成超完備字典ψ。設Q=NM，將空時二維平面空間頻率和多普勒頻率分別離散為Ns格和Nd格，設Ns=ρsQ，Nd=ρdK，其中ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數。字典ψ的大小取決于ρs和ρd，但目前ρs和ρd尚沒有明確的最優(yōu)值，只能結合具體問題給出經驗化的取值。

雜波分布在空時二維平面上具有稀疏性[11]，可由超完備字典近似表示為：

(6)

式(6)中，v(fd,i，fs,j)表示空時二維平面上空間頻率為fs,j，多普勒頻率為fd,i時所對應的空時導向矢量；σ為待求的稀疏參數矢量。

一般情況下，稀疏恢復的目的就是確定矢量σ，則雜波譜的稀疏恢復問題最終可表述為：

(7)

式(7)中，y為不含目標信號的觀測信號矢量；ε為誤差范圍值。

2 OMP改進算法

2.1 雜波脊線的確定

OMP改進算法的第一步就是確定非正側視條件下雜波脊線的大致位置。

首先，空間頻率fs可由下式求得：

fs=drcosθcosφ/λ

(8)

多普勒頻率fd可由下式求得：

fd=2Vcos(θ+Δ)cosφ/(λfr)

(9)

式(8)、式(9)中，接收陣元間距dr、信號波長λ、脈沖重復頻率為fr和飛機速度V這幾個參數都可由先驗知識精確得到。但偏航角Δ難以準確獲得，且處在不同距離環(huán)的訓練樣本對應的俯仰角φ也會因距離模糊而略有差異。因此，要確定雜波脊線，偏航角Δ和俯仰角φ的求解非常關鍵。本文提出以下方法來求取偏航角Δ和俯仰角φ。

當偏航角大小為0時，雜波脊線為一條直線，在圖3中由m表示。在此條件下，直線m的斜率可由式(8)除以式(9)求得，設直線斜率為k，則

(10)

圖3中，直線n與直線m相互垂直，則直線n的斜率為-1/k。

圖3 確定雜波脊線的示意圖Fig.3 Diagram of determining the clutter ridge

顯然，兩直線均過原點，且斜率都能由先驗知識精確求得，故而兩直線的解析式都能明確。在確定兩直線后，先將直線m均勻離散為足夠多個點，并將這些點對應的空時導向矢量與觀測信號矢量作內積處理并取模。顯然，在點1、3處會獲得內積模值的波峰值，根據波峰值的具體位置即可確定點1、3坐標。同理，對直線n作相同處理，即可確定點2、4坐標。

選取點1和點2坐標值進行后續(xù)處理。設點1在圖1幾何模型中對應方位角為θ0，則點1的橫坐標為：

fd,1=2Vcos(θ0+Δ)cosφ/(λfr)

(11)

點1的縱坐標為：

fs,1=drcosθ0cosφ/λ

(12)

當點1對應方位角為θ0時，易得點2在幾何模型中對應的方位角為(θ0+π/2)。

則點2的橫坐標為：

fd,2=2Vcos(θ0+Δ+π/2)cosφ/(λfr)= -2Vsin(θ0+Δ)cosφ/(λfr)

(13)

點2的縱坐標為：

fs,2=drcos(θ0+π/2)cosφ/λ= -drsin(θ0)cosφ/λ

(14)

式(14)除以式(12)可得：

(15)

式(13)除以式(11)可得：

(16)

結合式(15)，式(16)即可求得偏航角Δ為：

(17)

結合式(12)、式(15)即可求得俯仰角φ。

當偏航角Δ和俯仰角φ都求得后，非正側視條件下的雜波脊線即可確定。當然，由于估計誤差的存在，所確定的雜波脊線可能會有少許偏差，但完全在可接受范圍內。在確定雜波脊線位置后，即可在此基礎上進入下一步驟，得到最終所需的OMP改進算法。

2.2 OMP改進

一般情況下，稀疏恢復所需字典中的每個原子都由空間頻率fs和多普勒頻率fd決定。而fs和fd本身取值范圍較小，故而字典原子間的相關性較大。OMP算法在挑選原子時，原子與殘差的相關性大小是唯一的挑選依據，但在字典原子間相關性較大的條件下，此挑選依據就會出現(xiàn)問題。

如果挑選出的原子都位于雜波脊線，則OMP算法恢復出的雜波譜精度較高。但實際上由于字典原子間相關性較大，就會造成某些距離雜波脊線較遠的原子與殘差的相關性很大，甚至超過了部分與雜波脊線較近的原子。這也就使得在挑選字典原子時，可能將距離雜波脊線較遠的原子挑出，導致支撐集內的原子組成與實際雜波的原子組成出入較大，最終使得挑選出的原子在空時二維平面上分布散亂，恢復出的雜波譜精度較低。

為解決這一問題，可考慮增加另一條原子挑選依據，即原子對應點與雜波脊線的距離是否滿足距離門限。只有同時滿足兩個挑選依據時，才將原子放入支撐集，也就是說在原子滿足與殘差相關性最大的前提下再判斷該原子對應點與雜波脊線的距離是否小于設定門限。如果滿足則將該原子放入支撐集，反之則舍棄該原子并對下一個原子進行判斷，直到找到同時滿足兩條挑選準則的原子并將其放入支撐集。不斷擴充支撐集以減小殘差，直到最后的殘差小于設定門限值。

其中空時二維平面上點與雜波脊線距離的計算方法如下：

首先將確定好的雜波脊線離散化為T(T足夠大)個點，令Δθ=2π/T。則這些點的集合可表示為：

P={(fd,fs)|fs=drcosθcosφ/λ,fd=2Vcos(θ+Δ)cosφ/(λfr)(θ=-π,-π +1·Δθ,-π +2·Δθ…,+π)}

(18)

設某原子與殘差相關性最大，其空間頻率為fs,0，多普勒頻率為fd,0，則該原子對應點與雜波脊線的距離可近似求解為：

在求得該原子與雜波脊線的最小距離后，即可判斷其是否小于設定的距離門限d0，從而決定該原子是否可以進入支撐集。

OMP改進算法具體步驟如下：

1) 任務：近似求解問題：

2) 參數：給定觀測矢量y，字典矩陣ψ和誤差閥值ε。

3) 初始化：初始設置k=0，并設置：

①初始解為σ0=0；

②初始殘差為r0=y；

③初始解的支撐集為S0=support{σ0}=?。

4) 主要迭代：每次k增加1，且執(zhí)行以下步驟：

②更新支撐集：確定使ξ(j)取最小值的j0，?j?Sk-1，ξ(j0)≤ξ(j)，且計算aj0在空時二維平面對應點與雜波脊線的距離d。若d滿足d≤d0，則更新支撐集Sk=Sk-1∪{j0}，且進入③，反之則現(xiàn)殘差條件下不再考慮該原子，重新進入②；

④更新殘差：計算rk=y-ψσk；

⑤停止條件：如果‖rk‖2≤ε，則停止迭代，否則，返回4)繼續(xù)迭代。

5) 輸出：在k次迭代滿足停止條件后輸出優(yōu)化解σk。

3 仿真實驗

OMP改進算法性能可以有較大的提升，現(xiàn)進行仿真實驗進行驗證。機載MIMO雷達發(fā)射、接收天線都為均勻線陣，具體的仿真條件如表1所示。

表1 仿真參數

3.1 確定雜波脊線和所挑原子分布

圖4為某個訓練樣本求解偏航角和俯仰角所得的曲線圖，其中俯仰角余弦值設置為0.8。圖4(a)、4(b)分別為直線m、n上各點對應導向矢量與觀測矢量的內積模值曲線。顯然，兩幅圖中波峰值對應點即為直線m、n與雜波脊線的4 個交點，找到點1、2并計算出其橫、縱坐標值。在得到點1、2的坐標值后，經計算可得偏航角大小為1.045 4 rad(59.897°)，俯仰角余弦值大小為0.790 4。由此可見，估計的偏航角和俯仰角與仿真設定值偏差較小，確定的雜波脊線比較接近設定的雜波脊線。

圖5為OMP算法和OMP改進算法最后挑選出的原子在空時二維平面上的分布。從圖中可以看出，OMP算法挑選出的部分原子分布比較離散，與雜波脊線的距離較遠。OMP改進算法挑選出的原子均分布在雜波脊線附近，比較接近實際雜波在空時二維平面上的原子分布。

3.2 雜波空時二維譜比較

圖6(a)為已知CCM對應的精確雜波譜。圖6(b)為OMP算法估計的雜波譜，相較于精確雜波譜，該雜波譜在空時二維平面上分布比較離散，恢復效果總體較差。圖6(c)為OMP改進算法估計的雜波譜，該雜波譜展寬較小，能量均勻集中分布在雜波脊線附近，恢復效果比較接近精確雜波譜。顯然，OMP改進算法所恢復的雜波譜精度較高。

圖4 直線上各點與觀測數據內積模值曲線Fig.4 Inner product modulu curves of points on the line and the observed data

圖5 各算法所挑原子分布Fig.5 The distribution of atoms selected by each algorithm

圖6 各算法估計的雜波譜Fig.6 The clutter spectrum estimated by each algorithm

3.3 輸出SINR比較

為比較各算法的雜波抑制性能，采用輸出信干噪比(SINR)作為衡量基準。輸出信干噪比(無有源干擾時)定義為輸出信號與輸出雜波加噪聲的比值，具體表述為：

(20)

式(20)中，w為濾波權矢量；vt為目標信號矢量；RI為雜波協(xié)方差矩陣與噪聲協(xié)方差矩陣之和。

圖7中曲線均為100次蒙特卡羅實驗所得。從圖中可以看出，OMP算法的輸出SINR曲線凹口展寬較大，且遠低于最優(yōu)濾波器的輸出SINR曲線，總體輸出SINR性能較差。OMP改進算法輸出SINR曲線凹口較小，總體比較接近最優(yōu)濾波器的輸出SINR曲線?？梢奜MP改進算法輸出SINR性能較好，且要顯著優(yōu)于改進前的OMP算法。

圖7 輸出SINR比較Fig.7 Comparison of the output SINR

4 結論

本文提出了基于改進OMP的非正側視MIMO-STAP算法。該算法首先確定非正側視條件下的雜波脊線，然后進行原子挑選，在OMP算法的基礎上，增加了一條原子挑選依據，即將原子與殘差的相關性大小和對應點與雜波脊線的距離大小同時作為挑選依據，不斷挑選原子進入支撐集，直到殘差小于門限值。仿真結果表明，OMP改進算法挑選出的字典原子都分布在雜波脊線附近，使用OMP改進算法恢復出的雜波譜精度較高，得到的空時二維濾波器雜波抑制性能良好。