分數(shù)布朗運動環(huán)境下上證50ETF期權定價的實證研究

程潘紅

摘 要 合理的期權價格是期權交易的前提.基于上證50ETF期權的最新數(shù)據(jù)，運用經(jīng)典的Black-Scholes定價模型、蒙特卡洛模擬期權定價方法和分數(shù)布朗運動定價模型對上證50ETF期權價格進行實證研究.結果表明：分數(shù)布朗運動定價模型相比較經(jīng)典的BlackScholes定價模型和蒙特卡洛方法在接近期權的實際成交價格時均方誤差和均方比例誤差更小，能夠較為準確地、有效地模擬出上證50ETF期權的價格，從而對投資者的期權交易行為具有一定的指導作用，也為國內其他品種的期權定價研究提供參考.

關鍵詞 金融工程;均方誤差;均方比例誤差;上證50ETF期權;分數(shù)布朗運動

中圖分類號 F830.9; O211.6 文獻標識碼 A

Abstract Reasonable options price is the premise of options trading. This paper makes an empirical research of the SSE 50ETF option pricing by using the classic Black-Scholes pricing model， Monte Carlo simulation option pricing method and the fractional Brownian motion pricing model based on the latest data of the SSE 50ETF option price. The analysis results show that the fractional Brownian motion pricing model can more accurately and effectively simulate the SSE 50ETF options price because of smaller mean square error and mean square proportional error. The research can provide guidance for investors options trading behavior. In addition， it is helpful to study other varieties of domestic options.

Key words Financial Engineering; Mean Square Error; Mean Square Proportional Error; SSE 50 ETF Options; Fractional Brownian Motion

1 引 言

期權作為典型的金融衍生品（遠期、期貨、互換、期權）之一，具有悠久的發(fā)展歷史.但現(xiàn)代意義上的期權是從1973年美國CBOE推出16只股票組成的股票期權開始[1].期權具備良好的價格發(fā)現(xiàn)、資產(chǎn)配置、風險度量與管理等功能.因此，各國為推進資本市場更加健康有序發(fā)展，不斷的進行產(chǎn)品創(chuàng)新、制度創(chuàng)新與技術創(chuàng)新.

中國金融期貨交易所于2013年11月8日面向市場開展股指期權仿真交易，這是推出首個期權交易的關鍵一步.隨后上海金融期貨交易所、大連商品交易所、鄭州商品交易所也陸續(xù)開展以期貨為標的資產(chǎn)的期權仿真交易.上海證券交易所開展了股票期權的仿真交易，其中包括50ETF期權合約.該期權經(jīng)過了一年的仿真交易，在眾多仿真交易產(chǎn)品中脫穎而出.于2015年2月9日在上海證券交易所正式上線交易，這不僅宣告中國期權時代的到來，也表明我國典型金融衍生品已配備齊全.

上證50ETF期權基于杠桿性、風險對沖及套利技術等特點受到投資者的青睞，在金融衍生品市場中擁有舉足輕重的地位.如：在2015年6月29日央行降準降息的背景下，上證50ETF期權并未出現(xiàn)大幅度反彈，交易依然活躍，流動性強，成交量與持倉量較前一個交易日均有所增加.但其標的資產(chǎn)上證50ETF，即上證50交易型開放式指數(shù)證券投資基金則約有0.97%的跌幅.期權作為市場上交易活躍的金融衍生品，是投資者進行套期保值、套利的有利保障，對完善資本市場體系具有重要作用.

2 文獻綜述

Black 和 Scholes （1973）[1]提出了著名的BS期權定價模型，該定價模型的誕生標志著現(xiàn)代期權理論的建立.紀瓊（2015）[2]運用GARCH模型和BS模型對上證50ETF期權價格進行分析，得出GARCH模型對于小樣本數(shù)據(jù)有著更好的擬合效果.喬克林和薛盼紅（2016）[3]分別用經(jīng)典BS模型和擴展BS模型（即標的資產(chǎn)支付離散紅利）對上證50ETF期權進行定價實證研究，將模型結果與期權實際價格相比較，認為擴展BS定價模型更有效.方艷等（2017）[4]運用IGARCH、蒙特卡洛模擬、BSM模型對期權定價進行分析，發(fā)現(xiàn)IGARCH模型比GARCH模型能更好地擬合上證50ETF的波動率，BSM模型和蒙特卡羅模擬方法均可以較為有效地模擬出上證50ETF期權價格.以上學者研究期權定價均基于其標的資產(chǎn)的運動過程是由布朗運動驅動的假設背景.但在實際的金融市場中，標的資產(chǎn)價格運動過程具有長程相依性、自相似性以及“尖峰厚尾”現(xiàn)象.Elliott和Hoek （2003）[5]研究了赫斯特指數(shù)H在（1/2，1）情況下的分數(shù)布朗運動（fractional Brownian motion，簡寫為fBm）.Hu和Φksendal （2003）[6]通過Wick積分和分數(shù)白噪聲進一步研究了分數(shù)布朗運動積分理論，并證明了It型分數(shù)BlackScholes市場無套利和完備性.Bender（2003）[7]將其推廣到了任意赫斯特指數(shù).Nualart（2006）[8]提出了分數(shù)BS模型，對經(jīng)典BS模型做了改進.劉韶躍和楊向群（2002）[9]討論了標的資產(chǎn)支付紅利時分數(shù)布朗環(huán)境下歐式期權的定價公式及看漲看跌期權的平價關系.趙佃立（2007） [10]研究了分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式冪期權的定價.李金秀（2014）[11]在假設無風險利率、標的資產(chǎn)紅利均為時間的函數(shù)時，分析了分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式看跌期權的價格.李志廣和康淑瑰（2016）[12]考慮了標的資產(chǎn)價格服從混合分數(shù)布朗運動，短期利率服從Vasicek模型時，歐式期權價格滿足的偏微分方程，并通過求解該方程得到期權的定價公式.劉文倩等（2018）[13]研究了混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式障礙期權定價，得到了歐式障礙期權看漲看跌平價關系式，并根據(jù)敲入敲出障礙期權關系式推出障礙期權所有類型的定價公式.程志勇等（2018） [14] 考慮次分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付連續(xù)紅利時歐式期權的定價，并對定價模型中的參數(shù)進行估計，討論了估計量的無偏性和強收斂性.

由此，在分數(shù)布朗運動環(huán)境下對上證50ETF期權定價進行實證分析很有意義.運用分數(shù)布朗運動來刻畫上證50ETF的運動過程，使用最新的上證50ETF期權高頻數(shù)據(jù)，得到fBm環(huán)境下的期權價格.然后將3種定價模型得到的上證50ETF期權理論價格與實時市場價格進行比較，計算各自均方誤差和均方比例誤差，驗證模型的有效性和穩(wěn)健性.

3 期權定價模型

選擇合適的定價模型對上證50ETF期權進行實證研究是目前學術界的一個重要研究方向.下面簡要介紹三種常用的期權定價模型，即經(jīng)典BS模型、蒙特卡洛模擬期權定價方法和fBm模型.

3.1 BlackScholes 定價模型

經(jīng)典BS模型[1]可通過風險中性定價方法或求解期權價格滿足的偏微分方程來建立.

經(jīng)典BS定價模型的看漲和看跌期權的價格分別為

從表6可以得到：當赫斯特指數(shù)H取值在0.51到0.53之間時，fBm定價比經(jīng)典的BS模型、MC模擬期權定價更接近期權的實際成交價格.即fBm定價模型能夠較好地模擬上證50ETF期權的價格，精確度較高，穩(wěn)健性較好.

給出了3種模型下上證50ETF看漲與看跌期權的理論價格與實際市場價格之間的比較圖，如圖1 和圖2所示.

3種模型模擬得到的上證50ETF看漲期權價格基本重合，但fBm模型下看跌期權的價格更為貼近實際市場價格.因此，fBm期權定價模型更為準確地、有效地模擬出期權的實際價格，這與運用MSE、MSPE評價標準得到的結論一致.

5結 論

將上證50ETF期權作為研究對象，運用分數(shù)布朗運動（fBm）刻畫上證50ETF的運動過程，得到fBm定價模型，實證研究的結果表明相比較典型的BS定價模型、MC定價方法，fBm定價模型能夠更有效地接近期權的實際價格.研究結論對合理預測上證50ETF期權有參考作用，可以為投資者提供參考.

參考文獻

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