直動(dòng)從動(dòng)件平面移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

朱育權(quán)，李大印，尚涵涵

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

凸輪機(jī)構(gòu)組成部分包括凸輪、從動(dòng)件和機(jī)架，被廣泛應(yīng)用于機(jī)械領(lǐng)域。其中凸輪通過與從動(dòng)件進(jìn)行高副接觸，使其獲得各種形式的預(yù)期運(yùn)動(dòng)，凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要是對(duì)凸輪的輪廓曲線進(jìn)行改造優(yōu)化，傳統(tǒng)的凸輪因自身的局限性往往不能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的功能，因此引發(fā)了設(shè)計(jì)者們紛紛對(duì)其結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行改造以達(dá)到預(yù)期效果。傳統(tǒng)凸輪機(jī)構(gòu)通過演化和變異形成一種具有新功能和運(yùn)動(dòng)形式的新型凸輪機(jī)構(gòu)，其演變方式主要是在原始凸輪機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)該機(jī)構(gòu)的各個(gè)組成部分進(jìn)行重新設(shè)計(jì)或改造。對(duì)于凸輪曲線設(shè)計(jì)方法，除了傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法外，還出現(xiàn)了一些新型設(shè)計(jì)方法。為了保證凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件位移曲線的連續(xù)性，要求凸輪輪廓曲線至少采用二次曲線[1]。文獻(xiàn)[2]對(duì)構(gòu)建正弦加速度修正梯形曲線的過程進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[3]采用幾段高次多項(xiàng)式曲線拼接成的樣條曲線作為凸輪輪廓曲線函數(shù)，以達(dá)到減小機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)峰值的目的。高次多項(xiàng)式樣條曲線函數(shù)被作為凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件位移曲線函數(shù)，可以更有效地減小從動(dòng)件加速度和從動(dòng)件驅(qū)動(dòng)阻力的峰值[4-5]。文獻(xiàn)[6]提出了一種分?jǐn)?shù)多項(xiàng)式模式。不同于傳統(tǒng)方式中多項(xiàng)式指數(shù)為整數(shù)的現(xiàn)象，而是以分?jǐn)?shù)代替整數(shù)作為多項(xiàng)式指數(shù)。這種方法可以有效的降低從動(dòng)件加速度的峰值。文獻(xiàn)[7]提出的運(yùn)動(dòng)函數(shù)具有正負(fù)加速度可調(diào)節(jié)的特征。這種方法設(shè)計(jì)出來的輪廓曲線適用從動(dòng)輪和多腔凸輪，尤其適用于高速凸輪。其優(yōu)點(diǎn)是允許設(shè)計(jì)者設(shè)置加速度的上限與下限，以達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)。文獻(xiàn)[8]提出了一種利用光滑樣條曲線設(shè)計(jì)柔性凸輪輪廓曲線的方法。其優(yōu)點(diǎn)在于設(shè)計(jì)者可以對(duì)凸輪進(jìn)行局部修改，且凸輪輪廓線的平滑性和約束條件也得到了保證。

在凸輪設(shè)計(jì)過程中，設(shè)計(jì)者需要使凸輪機(jī)構(gòu)的從動(dòng)件達(dá)到目標(biāo)行程，并將機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)或動(dòng)力學(xué)參數(shù)控制在合理范圍內(nèi)，尤其在高速凸輪中，一些參數(shù)的設(shè)計(jì)指標(biāo)要求更高?；谄矫嬉苿?dòng)凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中存在的約束條件，本文以目標(biāo)行程的約束和降低從動(dòng)件驅(qū)動(dòng)阻力峰值為優(yōu)化目標(biāo)，控制凸輪機(jī)構(gòu)的最大壓力角，保持凸輪機(jī)構(gòu)凸輪結(jié)構(gòu)總體尺寸不變，對(duì)凸輪輪廓曲線進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過仿真對(duì)優(yōu)化方法的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證，為移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了一種新的方法。

1 移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

直動(dòng)從動(dòng)件移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)如圖1所示。在圖1中，vx為凸輪滑塊速度，vy為從動(dòng)桿件速度，l為滑塊長(zhǎng)度，f(x)為從動(dòng)件的位移規(guī)律即從動(dòng)件的位移函數(shù)，與滑塊接觸線的形狀有關(guān)。x為凸輪滑塊的位移。直動(dòng)從動(dòng)件與從動(dòng)桿件固連，沿xOy坐標(biāo)系的y軸方向做往復(fù)直線進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。

圖1 直動(dòng)從動(dòng)件移動(dòng)凸輪示意圖

凸輪輪廓曲線是根據(jù)從動(dòng)件位移規(guī)律設(shè)計(jì)出來的，可得

(1)

式中：h為從動(dòng)件位移；Ci為多次項(xiàng)系數(shù)；n為項(xiàng)數(shù)。通常情況下，移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)的滑塊沿x軸做往復(fù)勻速直線運(yùn)動(dòng)，則滑塊往返一次所用時(shí)間即從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)周期為

(2)

結(jié)合式(1)、式(2)可得

(3)

式中：h(t)為從動(dòng)件位移；t為時(shí)間。實(shí)際上在一些變異移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)中，為了同時(shí)保證從動(dòng)件應(yīng)有的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與相關(guān)零件的形狀，圖1中的滑塊往往不是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而是在x軸和y軸均做各自相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)。則其各自關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為

Z=z(t)

(4)

U=h(t)

(5)

式中：Z為滑塊沿y軸的位移；U為滑塊沿x軸勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移。最終從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移表達(dá)式H(t)是滑塊勻速運(yùn)動(dòng)下從動(dòng)件的位移函數(shù)與滑塊自身運(yùn)動(dòng)時(shí)在y軸方向上的位移函數(shù)z(t)迭加而成，即

H(t)=h(t)+z(t)

(6)

從動(dòng)件的行程為

S=Hmax-Hmin

(7)

式中：Hmax為從動(dòng)件位移的最大值；Hmin為從動(dòng)件位移最小值。

從動(dòng)件的速度為

(8)

從動(dòng)件的加速度為

(9)

維持從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)所需的最小力稱為驅(qū)動(dòng)阻力,記為J,具體為

J=-ma

(10)

其中m為從動(dòng)件的總質(zhì)量。要改善移動(dòng)凸輪的動(dòng)力學(xué)性能，關(guān)鍵在于降低從動(dòng)件驅(qū)動(dòng)阻力的峰值Jmax。移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)往往會(huì)存在從動(dòng)件驅(qū)動(dòng)阻力峰值過大的情況，甚至?xí)谀承┣首兓c(diǎn)處發(fā)生力的突變。

曲線上任意一點(diǎn)N處壓力角的幾何示意圖如圖2所示。α為凸輪機(jī)構(gòu)壓力角。k為N點(diǎn)處切線斜率。n為樣條曲線N點(diǎn)處的法線，e為從動(dòng)件速度方向所在的直線。

圖2 曲線上任意一點(diǎn)處壓力角示意圖

由圖2可以看出，曲線上任意一點(diǎn)N處壓力角α為該點(diǎn)處的法線n與直線e所夾的銳角。則壓力角可表示為

(11)

在凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，須考慮其中一個(gè)重要參數(shù)即壓力角。凸輪機(jī)構(gòu)的壓力角與輪廓曲線的斜率有關(guān)[9-13]。當(dāng)機(jī)構(gòu)取得最大壓力角時(shí)，從動(dòng)件與凸輪滑塊的接觸點(diǎn)N為輪廓曲線斜率最大點(diǎn)，將此點(diǎn)定義為控制點(diǎn)。將控制點(diǎn)處定義為輪廓曲線的原點(diǎn)時(shí)，可以減小參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)的計(jì)算量，此時(shí)從動(dòng)件位移表達(dá)式中常數(shù)項(xiàng)C0=0、一次項(xiàng)系數(shù)C1=tanαmax，αmax為最大壓力角。

滑塊傳遞給從動(dòng)件的接觸力的方向在直線e上，傳遞給從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)方向的有效分力為

F1=Fcosα

(12)

其中F為滑塊傳遞給從動(dòng)件的接觸力。在同等條件下，壓力角α大小與有效分力F1大小成反比，同驅(qū)動(dòng)阻力大小成正比。壓力角α越大，則驅(qū)動(dòng)阻力越大。但是過小的壓力角又會(huì)造成從動(dòng)件接觸部分的過度磨損。凸輪輪廓上的壓力角隨位置的改變而改變。最大壓力角αmax小于臨界壓力角αc是確保凸輪機(jī)構(gòu)的正常運(yùn)行的必要條件?，F(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)過程中，通常規(guī)定凸輪機(jī)構(gòu)壓力角的最大值αmax應(yīng)小于壓力角的某一許用值，其目的是提高機(jī)構(gòu)的效率并改善機(jī)構(gòu)的受力情況。一般情況下許用壓力角要比臨界壓力角的值小的多。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，在推動(dòng)過程中，直動(dòng)推桿的壓力角許用值設(shè)定為30°，擺動(dòng)推桿的壓力角許用值設(shè)定為35°～45°。在返回行程中，促使推桿運(yùn)動(dòng)的力是封閉的。不會(huì)產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象，故壓力角的值一般取70°～80°。因此設(shè)計(jì)者需要根據(jù)工程需求在合理范圍內(nèi)選擇最大壓力角。

通過上述幾個(gè)主要運(yùn)動(dòng)動(dòng)力參數(shù)的表達(dá)式可以看出，當(dāng)從動(dòng)件位于位移最大點(diǎn)hmax處時(shí)，從動(dòng)件速度為0，驅(qū)動(dòng)阻力達(dá)到峰值。此時(shí)，將從動(dòng)件與輪廓曲線的接觸點(diǎn)的橫坐標(biāo)定義為xm。

綜上所述，將移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)、多約束的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)為

(13)

其中αmin為最小壓力角。

約束條件[14-19]為

(14)

式中：S0為凸輪機(jī)構(gòu)的目標(biāo)行程；l0為輪廓曲線的理論要求長(zhǎng)度；α0為壓力角的許用最大值；xe為輪廓曲線端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；αxm為從動(dòng)件與輪廓曲線的接觸點(diǎn)處的壓力角；αxe為輪廓曲線端點(diǎn)處的壓力角。

2 仿真分析

以漁線輪裝置中的凸輪機(jī)構(gòu)為例，利用上述方法對(duì)該凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行具體分析及動(dòng)力學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)。圖3為該移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理示意圖。其整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式如下：凸輪盤繞輪盤中心做圓周運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于給凸輪盤添加一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)；直動(dòng)從動(dòng)件與凸輪曲線槽固連，輪盤上有一固定點(diǎn)，該點(diǎn)與凸輪曲線形成了凸輪副；直動(dòng)從動(dòng)件沿垂直方向做移動(dòng)，相當(dāng)于在從動(dòng)件上施加了一個(gè)移動(dòng)副。

圖3 凸輪機(jī)構(gòu)示意簡(jiǎn)圖

在原通用模型內(nèi)的滑塊被滑槽與凸輪盤共同組成的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)所取代，滑槽形狀是基于凸輪廓線設(shè)計(jì)的。將圓柱銷用質(zhì)點(diǎn)P表示，凸輪盤中心用圓心O點(diǎn)表示。圓柱銷到凸輪盤中心的距離即為質(zhì)點(diǎn)P到圓心O的距離。將滑槽簡(jiǎn)化成樣條曲線Spline，如圖4所示，建立該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖。圖4中，R為質(zhì)點(diǎn)P到圓心O的距離，M點(diǎn)為Spline的中點(diǎn)，θ為線段OP與從動(dòng)件速度方向所在直線所構(gòu)成的夾角。輪盤沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω。圓柱銷(質(zhì)點(diǎn)P)在沿輪盤做圓周運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也沿著Spline的軌跡做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)桿的運(yùn)動(dòng)是沿著豎直方向上下移動(dòng)，如圖4所示。從動(dòng)桿件的運(yùn)動(dòng)速度用v來表示。質(zhì)點(diǎn)P的位置與θ有關(guān)。設(shè)定質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至Spline的中點(diǎn)即M點(diǎn)位置時(shí)，且圓心O位于M點(diǎn)下方，θ為0°；反之θ為180°。

在該裝置中，從動(dòng)件做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)。從動(dòng)件的位移運(yùn)動(dòng)規(guī)律保證平穩(wěn)完成推程和回程且只能有一個(gè)最大值，從動(dòng)件在一個(gè)周期內(nèi)位移規(guī)律的無因次圖像形狀如圖5所示。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)至某一角度時(shí)，從動(dòng)桿的位移與質(zhì)點(diǎn)P的位置以及Spline中點(diǎn)M的位置有關(guān)。通過計(jì)算M點(diǎn)的位置坐標(biāo)以及質(zhì)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)對(duì)二者進(jìn)行迭加即為從動(dòng)桿的位移。以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立x1Oy1坐標(biāo)系。以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立x2My2坐標(biāo)系，如圖6所示。

圖4 滑槽凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

圖5 無因次從動(dòng)件位移運(yùn)動(dòng)規(guī)律圖

圖6 坐標(biāo)系定義圖

基于x1Oy1坐標(biāo)系，對(duì)任意轉(zhuǎn)角θ下P點(diǎn)的位置進(jìn)行求解。當(dāng)轉(zhuǎn)角θ的值為0°或180°時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1值為R或-R。凸輪盤繞輪盤中心沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，則P點(diǎn)的位移表達(dá)式為

y1=Rcosθ

(15)

設(shè)在x2My2坐標(biāo)系中，Spline曲線方程為y2=f(x2)。其中在任意轉(zhuǎn)角θ下，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x2=-Rsinθ

(16)

根據(jù)凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理，從動(dòng)桿是沿著線段OM的方向做直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)至M點(diǎn)位置時(shí)，此時(shí)θ=0或θ=180°且y2=0。從動(dòng)桿的總位移為

s=y1-y2

(17)

由于滑塊的形狀與總體尺寸限制，其輪廓曲線設(shè)計(jì)成“S”形，結(jié)合從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的約束，故采用三次多項(xiàng)式樣條曲線[20-25]?？傻脧膭?dòng)桿總位移為

s=Rcosθ-c(Rsinθ)3-bRsinθ

(18)

其中c、b為系數(shù)。取樣條曲線控制點(diǎn)數(shù)為n，壓力角控制點(diǎn)Ni(i=1,2,…,n)定義如圖7所示，E和A分別為樣條曲線的兩側(cè)端點(diǎn),樣條曲線Ni點(diǎn)處，均存在獨(dú)立的斜率及相應(yīng)壓力角。以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，保證控制點(diǎn)M的壓力角是整個(gè)樣條曲線最大壓力角。

圖7 壓力角控制點(diǎn)定義圖

樣條曲線關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱，驅(qū)動(dòng)阻力的正負(fù)值為一對(duì)相反數(shù)，只需控制正值最大值為最小，則相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

minJθ1=min(mRcosθ+6mcR3sinθcos2θ-3mcR3sin3θ-mbRsinθ)

(19)

式中：θ1為位移最大處的轉(zhuǎn)角；Jθ1為在θ1處取得的最大驅(qū)動(dòng)阻力。約束條件為

(20)

式中：θ2為從動(dòng)件處于最低位移時(shí)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角；R0為銷到凸輪盤距離原始值。

根據(jù)遺傳算法的計(jì)算原理，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)始終為正值時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)即為目標(biāo)函數(shù)本身，故該機(jī)構(gòu)中的目標(biāo)函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)[26-27]。其優(yōu)化變量有4個(gè)，即樣條曲線三次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、最大位移處對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角和圓柱銷距輪盤中心距離。初始種群數(shù)量設(shè)置為50個(gè)，為了保證種群的多樣性，遺傳算法中包含了變異、交叉和選擇三種操作。最優(yōu)適應(yīng)值關(guān)于遺傳代數(shù)的圖像如圖8所示。

圖8 遺傳算法最優(yōu)適應(yīng)值與遺傳代數(shù)的函數(shù)圖像

輪廓曲線三次樣條曲線表達(dá)式為

(21)

對(duì)應(yīng)的R=5.9 mm，圖9為優(yōu)化后從動(dòng)件一個(gè)周期內(nèi)的位移規(guī)律圖像，符合預(yù)期要求的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖9 優(yōu)化后一周期內(nèi)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律圖像

圖10是優(yōu)化前后驅(qū)動(dòng)阻力的對(duì)比情況，從中可以看出優(yōu)化后的輪廓曲線所對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)阻力變化更為平緩。

圖10 優(yōu)化前后一周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)阻力對(duì)比圖像

表1以數(shù)據(jù)的形式反映了優(yōu)化前后機(jī)構(gòu)各參數(shù)的對(duì)比情況。

表1 優(yōu)化前后參數(shù)對(duì)比

通過優(yōu)化前后各個(gè)參數(shù)之間的對(duì)比可以看出：優(yōu)化前后行程S變動(dòng)量為0.077 mm,基本保持穩(wěn)定。滿足了1 mm最大行程變動(dòng)量的工程需求。最大驅(qū)動(dòng)阻力由優(yōu)化前的0.567 N減小到優(yōu)化后的0.348 N。且驅(qū)動(dòng)阻力波動(dòng)值也由優(yōu)化前的1.133 N減小到優(yōu)化后的0.696 N。其波動(dòng)趨勢(shì)更加平穩(wěn)。

基于上述優(yōu)化步驟，銷和凸輪輪盤的中心距離以及樣條曲線的表達(dá)式可根據(jù)壓力角和目標(biāo)行程確定。需要根據(jù)工程需求在合理范圍內(nèi)選擇最大壓力角。經(jīng)過理論推導(dǎo)和仿真試驗(yàn)，證實(shí)了優(yōu)化方案的可行性。

3 結(jié) 論

1) 建立了直動(dòng)從動(dòng)件平面移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，對(duì)凸輪輪廓曲線形狀進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。銷和凸輪輪盤的中心距離以及樣條曲線解析式由壓力角和目標(biāo)行程確定。

2) 對(duì)優(yōu)化后的移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的最大壓力角減小了10.31°，最大驅(qū)動(dòng)阻力下降了38.5%，驗(yàn)證了移動(dòng)凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性。