基于PSWF窗的線性相位FIR-BSF設(shè)計

賽 雷，李 吉，徐 鵬

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001)

0 引言

隨著信息時代數(shù)據(jù)流量的劇增，如何設(shè)計更加高效的數(shù)字濾波器是提升信號處理效率的核心問題。相比于無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器能夠在沒有相位校正網(wǎng)絡(luò)的情況下更加容易地實現(xiàn)線性相位特性，因此，其具有更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和設(shè)計靈活性。同時，由于無線頻譜資源的日益緊張與“綠色通信”的需求越發(fā)迫切，尋求頻譜效率和能量效率更高的窗函數(shù)以提升濾波器性能勢在必行。在采用窗口設(shè)計法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，濾波器性能的好壞在很大程度上取決于是否選擇了合適的窗函數(shù)。目前主流的窗函數(shù)有：矩形窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗及Kaiser窗等。然而，窗函數(shù)的選擇完全可以不局限于上述主流方案。實際進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器設(shè)計時，具有時間帶寬積可控性以及最佳時頻能量聚集性等諸多優(yōu)良特性的PSWF[1]也可以作為窗函數(shù)的選擇之一。

PSWF近年來在信息科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-6]，而圍繞“利用PSWF來設(shè)計FIR數(shù)字濾波器”這一思路，相關(guān)專家學(xué)者已經(jīng)展開了諸多卓有成效的研究：1970年，Tufts D等人[7]首次提出了基于PSWF的數(shù)字低通濾波器(LPF)設(shè)計思路，他們將該思路與最小均方誤差(LMSE)設(shè)計法進(jìn)行對比，認(rèn)為利用PSWF設(shè)計的LPF在旁瓣衰減速度和旁瓣峰值等方面具有一定的優(yōu)勢；1978年，Slepian D等人[8]在分析離散橢圓球面序列(DPSS)的信息傳輸應(yīng)用場景時，提出了基于DPSS的FIR數(shù)字LPF設(shè)計方案；1985年，Mathews J等人[9]從數(shù)學(xué)角度闡述了基于DPSS的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計思路，認(rèn)為基于DPSS的數(shù)字濾波器可以有效減輕通帶波動現(xiàn)象(通帶波紋更小)，進(jìn)而實現(xiàn)濾波器整體性能的提升；2016年，劉曉等人[10]提出了基于PSWF的數(shù)字帶通濾波器(BPF)設(shè)計方案，并將該方案與基于Blackman窗和Kaiser窗的設(shè)計方案進(jìn)行了對比，認(rèn)為基于PSWF的BPF能夠呈現(xiàn)出更好的旁瓣衰減特性。

一方面，隨著近年來各種PSWF求解方法的提出，各種參數(shù)條件下PSWF的求解逐漸趨于精確化、高效化，這為采用PSWF窗設(shè)計FIR數(shù)字濾波器提供了更為便利的技術(shù)條件；另一方面，采用PSWF來設(shè)計FIR數(shù)字濾波器與“綠色通信”的需求更加貼合。因此，本文采用運算復(fù)雜度較低、操作靈活簡便的顯式求解方案[11]來產(chǎn)生PSWF脈沖信號，并將其作為窗函數(shù)來實現(xiàn)線性相位FIR-BSF的設(shè)計。

1 第0階PSWF窗

1.1 窗函數(shù)的求解

PSWF定義：對于任意時間帶寬積因子c，必然存在一組有限的實數(shù)χ0<χ1<χ2...滿足如下方程：

(1)

PSWF的傳統(tǒng)求解方法大致有3種：勒讓德多項式逼近法[12]、重構(gòu)算法[13]和核函數(shù)矩陣數(shù)值解法[14]。這些方法由于引入角度的不同，各自呈現(xiàn)的優(yōu)勢也不同。隨著工程實踐的發(fā)展，上述傳統(tǒng)方法均表現(xiàn)出不同程度的局限性(如，勒讓德多項式逼近法和重構(gòu)算法的求解效率不高，而核函數(shù)矩陣數(shù)值解法的求解精度不高)。因此，本文采用由Hermite函數(shù)逼近法得到的顯式漸近表達(dá)式[11]來獲得第0階PSWF。

具體表達(dá)式如下[11]：

(2)

由此可見，在m=0且c給定的情況下，將c,m兩變量的值代入式(2)即可獲得所需的第0階PSWF。由于此處只需要求解第0階PSWF，因此，采用顯式求解方案可避免傳統(tǒng)方法中求解矩陣特征值、特征向量等復(fù)雜運算，能夠在保證精度的同時，大幅提升運算效率。同時，從數(shù)學(xué)角度來講，采用Hermite函數(shù)逼近PSWF能夠保證其時域奇偶對稱特性不受破壞，有利于實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性。

1.2 與其他主流窗函數(shù)的性能對比分析

最初，PSWF的提出歸功于Shannon在1959年參觀Bell實驗室時提出的一個問題：“一個函數(shù)在多大程度上它的頻譜限制在有限帶寬而同時又在時域上集中分布？”Bell實驗室的Slepian D等人[1,8]以此問題為研究動力，最終于1961年從數(shù)學(xué)角度證明了PSWF是解決時限與帶限之間矛盾的最佳信號形式，即PSWF具有最佳的時頻能量聚集性。實際上，同時間帶寬積PSWF的能量聚集度(主瓣內(nèi)能量與總能量的比值)隨階數(shù)的增加而逐漸下降。因此，為了實現(xiàn)更高的能量效率與頻譜效率，應(yīng)當(dāng)選取第0階PSWF作為濾波器窗函數(shù)。

引言已指出，采用窗口法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，常用的窗函數(shù)有：矩形窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗及Kaiser窗等。但是，由于矩形窗、Bartlett窗以及Hanning窗可提供的最小阻帶衰減不足50 dB(性能較差)，因此在本節(jié)，對可提供的最小阻帶衰減超過50 dB的Hamming窗、Blackman窗和Kaiser窗3種窗函數(shù)與第0階PSWF窗進(jìn)行對比分析。

首先，將4種窗函數(shù)的窗口長度M均固定為51個；其次，為了便于對比，將目標(biāo)阻帶衰減As暫定為88 dB，根據(jù)經(jīng)驗式c/π=0.038 1As+0.316[15]，將第0階PSWF窗的時間帶寬積因子c設(shè)置為3.668 8π；根據(jù)經(jīng)驗式β=0.110 2(As-8.7)，將Kaiser窗的橢圓參數(shù)β設(shè)置為8.738 9；最后，將M為51且c為3.668 8π的第0階PSWF窗、M為51且β為8.738 9的Kaiser窗、M為51的Blackman窗、M為51的Hamming窗，四者的時頻域?qū)Ρ葓D像繪制如圖1和圖2所示。

圖1 4種窗函數(shù)的時域波形對比圖

由圖1可知，從時域波形來看，在窗口長度一致、c和β對應(yīng)的約束條件下：第0階PSWF窗、Kaiser窗和Blackman窗的時域波形較為接近，它們?nèi)咴诓蓸拥钠鹗继幣c結(jié)束處的幅值均比Hamming窗更快接近于0，換言之，三者的截斷效果均優(yōu)于Hamming窗；另外，第0階PSWF窗的截斷效果略優(yōu)于Kaiser窗，Kaiser窗的截斷效果略優(yōu)于Blackman窗。

圖2 4種窗函數(shù)的功率譜密度對比圖

觀察圖2并結(jié)合表1可知，從頻域功率譜密度來看，在窗口長度一致、c和β對應(yīng)的約束條件下：第0階PSWF窗的旁瓣峰值最低、旁瓣衰減速度最快、主瓣寬度最寬、能量最為集中；Hamming窗的旁瓣峰值最高、旁瓣衰減速度最慢、主瓣寬度最窄、能量最不集中；Kaiser窗和Blackman窗的4項性能指標(biāo)介于第0階PSWF窗和Hamming窗之間，且Kaiser窗的性能略優(yōu)于Blackman窗。

表1 圖2中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)

窗函數(shù)旁瓣峰值/dB旁瓣衰減速度主瓣寬度/Hz能量聚集度/%第0階PSWF窗-88.37最快3.78599.999 96Kaiser窗-71.27略慢于PSWF窗3.28799.999 87Blackman窗-58.11略慢于Kaiser窗3.06399.961 77Hamming窗-43.47最慢2.09299.547 87

綜上所述，從提升數(shù)字濾波器能量效率和頻譜效率的角度出發(fā)，第0階PSWF窗的整體性能是最優(yōu)的。

2 設(shè)計方案

2.1 實施步驟

基于PSWF的線性相位FIR-BSF設(shè)計方案的核心思想是：首先，根據(jù)需求確定阻帶頻段，并選取合適的理想BSF沖激響應(yīng)；隨后，采用第0階PSWF對其進(jìn)行“加窗”截斷操作，以期得到具有線性相位特性和因果特性的FIR-BSF。具體的設(shè)計方案步驟可歸納如下：

① 根據(jù)實際工程實踐所要求的阻帶衰減As、過渡帶寬Bt和通帶波紋Rp等技術(shù)指標(biāo)，結(jié)合理想帶阻濾波器的下阻帶參數(shù)ωL和上阻帶參數(shù)ωH，明確可用的窗函數(shù)，并估計窗口長度M。

② 通過窗口長度M和標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)He(ejω)，構(gòu)造理想的頻響函數(shù)Hd(ejω)，具體操作為：

(3)

其中，對于帶阻濾波器而言，He(ejω)的具體形式如下：

(4)

③ 根據(jù)已知的Hd(ejω)，通過離散傅里葉逆變換(IDFT)或快速傅里葉逆變換(IFFT)計算得到理想時域響應(yīng)函數(shù)hd(n)。

④ 再次考查實際工程實踐所要求的阻帶衰減As、過渡帶寬Bt和通帶波紋Rp等技術(shù)指標(biāo)(主要是As的要求)，確定所需PSWF窗的時間帶寬積因子c。

⑤ 將m=0和上一步確定的c代入式(2)，得到符合要求的第0階PSWF窗函數(shù)ωPSWF(n)。

⑥ 進(jìn)行“加窗截斷”操作，得到線性相位FIR-BSF的設(shè)計結(jié)果，即

h(n)=hd(n)ωPSWF(n)，

(5)

同時，根據(jù)h(n)的對稱性和M值，明確設(shè)計結(jié)果是4類線性相位特性中的哪一類。

2.2 評價指標(biāo)

在完成上述設(shè)計方案步驟后，設(shè)置相關(guān)的評價指標(biāo)，對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行科學(xué)合理的評價?？捎糜谠u價FIR數(shù)字帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)主要有：

① 實際過渡帶寬Bt′，如圖3所示。就一般帶阻濾波器的設(shè)計結(jié)果而言，通常存在常數(shù)ωL′略大于ωL，亦存在常數(shù)ωH′略小于ωH，則實際過渡帶寬可定義為Bt′=ωL′-ωL或Bt′=ωH-ωH′。實際過渡帶寬越窄，帶阻濾波器的性能越理想。

② 通帶內(nèi)衰減Dp′，如圖3所示。通帶內(nèi)衰減可定義為Dp′=1-ε。通帶內(nèi)衰減越小，帶阻濾波器的性能越好。

③ 實際阻帶衰減As′，即實際阻帶[ωL′,ωH′]內(nèi)所能取得的最大幅值，在幅值歸一化且dB單位條件下，實際阻帶衰減As′的絕對值越大，帶阻濾波器的頻率阻礙性能越好。

圖3 FIR數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計結(jié)果頻域示意圖

3 數(shù)值分析

根據(jù)上節(jié)的設(shè)計方案與評價指標(biāo)，本節(jié)將通過設(shè)計實例，從3個方面進(jìn)行數(shù)值分析：① 基于PSWF的線性相位FIR-BSF設(shè)計實例及其對比分析；② PSWF的窗口長度一定時，時間帶寬積的變化對濾波器性能的影響分析；③ PSWF的時間帶寬積一定時，窗口長度的變化對濾波器性能的影響分析。旨在驗證上述方案的正確性與有效性，并挖掘相關(guān)規(guī)律。

設(shè)計實例：設(shè)某系統(tǒng)不允許ω∈[π/4,3π/4]內(nèi)的頻率通過，現(xiàn)使用窗口設(shè)計法，利用第0階PSWF窗設(shè)計阻帶衰減為70 dB、過渡帶寬不超過0.18π的線性相位FIR-BSF，以滿足該系統(tǒng)的需求。

3.1 基于PSWF的線性相位FIR-BSF設(shè)計實例及其對比

根據(jù)式(4)，當(dāng)ωL=π/4,ωH=3π/4時，通過IFFT計算得到理想時域響應(yīng)函數(shù)：

(6)

而后，將m和c代入式(2)，并對該式計算結(jié)果進(jìn)行M=51點等間隔采樣，得到符合要求的第0階PSWF窗函數(shù)序列ωPSWF(n)，并進(jìn)行“加窗截斷”操作，得到線性相位FIR-BSF的設(shè)計結(jié)果，即

h(n)=hd(n)ωPSWF(n)，

(7)

同時，由于h(n)是偶對稱的且M的值為奇數(shù)，因此該帶阻濾波器具備第一類線性相位特性。

在此基礎(chǔ)上，將第0階PSWF窗依次替換為Kaiser窗和Blackman窗，給出如下設(shè)計結(jié)果：As=70 dB，根據(jù)經(jīng)驗式β=0.110 2(As-8.7)，將Kaiser窗的橢圓參數(shù)β設(shè)置為6.755 3。采用不同窗函數(shù)時FIR-BSF設(shè)計結(jié)果對比如圖4所示。

依據(jù)2.2節(jié)的評價指標(biāo)，給出性能指標(biāo)的評價數(shù)據(jù)如表2所示。

圖4 采用不同窗函數(shù)時FIR-BSF設(shè)計結(jié)果對比

表2 采用不同窗函數(shù)的設(shè)計結(jié)果評價指標(biāo)數(shù)據(jù)

窗函數(shù)實際阻帶衰減/dB實際過渡帶寬通帶內(nèi)衰減/dB實際通帶波紋/dB第0階PSWF窗-90.890.11π6.0213.944 1×10-4Kaiser窗-73.770.09π6.0234.085 5×10-4Blackman窗-74.960.14π6.0221.002 3×10-3

由表2可知，從實際阻帶衰減來看，采用第0階PSWF窗設(shè)計的BSF性能明顯優(yōu)于Kaiser窗和Blackman窗的性能；從實際過渡帶寬來看，采用第0階PSWF窗設(shè)計的BSF性能優(yōu)于Blackman窗的性能，略遜色于Kaiser窗的性能；從通帶內(nèi)衰減來看，采用第0階PSWF窗設(shè)計的BSF性能略優(yōu)于Kaiser窗和Blackman窗的性能；從實際通帶波紋來看，采用第0階PSWF窗設(shè)計的BSF性能與Kaiser窗的性能大致相當(dāng)，二者均明顯優(yōu)于Blackman窗的性能。

綜上所述，與Kaiser窗和Blackman窗相比，采用第0階PSWF窗設(shè)計的線性相位FIR-BSF的性能最優(yōu)。

3.2 時間帶寬積的變化對濾波器性能的影響

在窗口長度一定的條件下，分析時間帶寬積的變化會對濾波器的性能產(chǎn)生何種影響。圖5分別給出在窗口長度M=111的條件下，c=3π,10π,30π時的設(shè)計結(jié)果。

由圖5和表3可知，隨著時間帶寬積的增大，實際阻帶衰減的絕對值隨之增大，實際過渡帶寬也隨之變寬。換言之，PSWF時間帶寬積增大所帶來的實際阻帶衰減增益是以犧牲過渡帶寬為代價的。在實際工程實踐中，若是更側(cè)重于提升能量效率或強(qiáng)化阻帶的頻率阻礙特性，則應(yīng)適當(dāng)增大時間帶寬積；若是更側(cè)重于減小過渡帶寬，則應(yīng)當(dāng)適當(dāng)減小時間帶寬積。這一結(jié)論有力地說明了PSWF的時間帶寬積可控性能夠為工程實踐提供更強(qiáng)的靈活性。

圖5 不同時間帶寬積條件下的設(shè)計結(jié)果對比

表3 圖5中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)

時間帶寬積實際阻帶衰減/dB實際過渡帶寬3π-92.930.05π10π-204.00.12π30π-259.10.16π

3.3 窗口長度的變化對濾波器性能的影響

在時間帶寬積一定的條件下，分析窗口長度的變化會對濾波器的性能產(chǎn)生何種影響。圖6分別給出當(dāng)時間帶寬積c=4π時，窗口長度M=51,81,111時的設(shè)計結(jié)果。

由圖6可知，給定c=4π：當(dāng)M=51時，實際過渡帶寬為0.16π；當(dāng)M=81時，實際過渡帶寬為0.10π；當(dāng)M=111時，實際過渡帶寬為0.07π。由此可見，隨著窗口長度的增加，帶阻濾波器的實際過渡帶寬逐漸減小。換言之，雖然窗口長度的增加會不可避免地導(dǎo)致計算量增大與硬件復(fù)雜度提高，但是在過渡帶寬方面會取得較為明顯的增益。通過進(jìn)一步的數(shù)值發(fā)現(xiàn)，在本例線性相位FIR-BSF設(shè)計中，PSWF的窗口長度每增加30，可獲得的過渡帶寬增益約為0.03π～0.04π。

圖6 不同窗口長度條件下的設(shè)計結(jié)果對比

4 結(jié)束語

針對基于PSWF的FIR-BSF設(shè)計方案研究空白，為發(fā)揮PSWF的優(yōu)勢、提升FIR數(shù)字濾波器的性能，采用Hermite函數(shù)逼近法得到PSWF顯式漸近表達(dá)式產(chǎn)生第0階PSWF脈沖信號。在此基礎(chǔ)上，將第0階PSWF窗與其他主流窗函數(shù)進(jìn)行對比分析，驗證了第0階PSWF的最優(yōu)性能。

在給出基于PSWF窗的FIR-BSF設(shè)計方案與評價指標(biāo)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值分析得到有關(guān)結(jié)論：① 與Kaiser窗和Blackman窗的設(shè)計結(jié)果相比，從實際阻帶衰減、通帶內(nèi)衰減、實際通帶波紋等評價指標(biāo)來看，第0階PSWF窗的設(shè)計結(jié)果最優(yōu)；從實際過渡帶寬來看，第0階PSWF窗的設(shè)計結(jié)果次優(yōu)。因此，整體上來講，基于PSWF窗的設(shè)計結(jié)果具有最佳性能。② 當(dāng)PSWF的窗口長度一定時，若是更側(cè)重于提升能量效率或強(qiáng)化阻帶的頻率阻礙特性，則應(yīng)適當(dāng)增大時間帶寬積；若是更側(cè)重于減小過渡帶寬，則應(yīng)當(dāng)適當(dāng)減小時間帶寬積，這一結(jié)論有力地說明了PSWF的時間帶寬積可控性能夠為工程實踐提供更強(qiáng)的靈活性。③ 當(dāng)PSWF的時間帶寬積一定時，其窗口長度每增加30，可獲得的過渡帶寬增益約為0.03π～0.04π。

實際上，隨著信息時代的到來和數(shù)據(jù)流量的倍增，基于PSWF的FIR數(shù)字濾波器的應(yīng)用范圍愈發(fā)廣泛，在計算機(jī)、雷達(dá)、導(dǎo)航及無線移動通信等各工程領(lǐng)域中均具有重大價值，在下一步的研究中，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)挖掘PSWF能夠為信號處理元器件(不僅是數(shù)字濾波器，比如希爾伯特變換器、微分器等)性能帶來的其他方面的增益，以期進(jìn)一步PSWF信號在能量效率或頻譜效率方面的優(yōu)勢。