初中數(shù)學(xué)中將軍飲馬模型變式及教法探討

李志璇

【摘 要】初中數(shù)學(xué)中將軍飲馬模型是一種以對稱轉(zhuǎn)化線段的思想，能夠解決動點到定點的距離之和的最小值問題。由于其多變性，在考試命題中，其常常與函數(shù)圖像、幾何圖形相結(jié)合，考察學(xué)生的綜合思維能力以及計算能力。本文從最基礎(chǔ)的將軍飲馬模型出發(fā)，歸納總結(jié)了其特征，羅列了其多種變形模型，并梳理了模型的教學(xué)重點。

【關(guān)鍵詞】將軍飲馬;動點;線段最值

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0172-03

近年來，隨著社會經(jīng)濟的進步，我國的教育事業(yè)正在經(jīng)歷一場深刻的變革[1]。在中考數(shù)學(xué)命題中，結(jié)合了幾何圖形、函數(shù)與動點，全面考察學(xué)生運用知識的能力，邏輯思維能力、思維發(fā)散能力等綜合性大題越發(fā)受到命題者的青睞。就筆者所在的成都市而言，自2008年至2018年，每年中考數(shù)學(xué)試卷壓軸大題無一例外均是這一類型的題目。在福建省[2]、浙江省[3]、湖北省[4]等多地的中考命題中，也將這一類型的題目作為考察學(xué)生綜合運用知識，分析探索問題的重要手段。而在諸多類型的動點問題中，將軍飲馬模型因其多變性而考頻極高。

盡管將軍飲馬模型的思想可以巧妙地結(jié)合于函數(shù)圖像和幾何圖形之中，產(chǎn)生多種變形情況，同時其特征明顯，易于識別歸納，求解思路相通。因此，學(xué)生只要能夠掌握將軍飲馬模型的基礎(chǔ)模型以及其主要的變形形式，便可輕松識別并解答該類題目。

1? ?基礎(chǔ)模型

將軍飲馬問題最早源于古羅馬：將軍每日需從軍營A出發(fā)，先到河水l處讓馬飲水，后去位于河對岸的軍營B，那么將軍在何處飲馬才能使路程最短（圖1①）？在此問題中，由于兩點之間線段最短，則線段AB與直線l的交點即為最佳的飲馬位置（圖1②）。此時將軍需要走過的路程即為A、B軍營之間的距離。

而若A、B軍營的位置發(fā)生變化，由位于河水l兩側(cè)變?yōu)橥瑐?cè)時，問題則轉(zhuǎn)變?yōu)樵谥本€l的同一側(cè)有定點A、B，在直線l上有動點M，求M運動到何處時，AM+BM有最小值（圖2①）？

由于線段AB不再與直線l相交，無法直接使用兩點間線段最短的知識解決問題，此時需要引導(dǎo)學(xué)生對比圖1與圖2的異同，設(shè)法將A、B位于河水同側(cè)的未知情況轉(zhuǎn)化為A、B位于河水異側(cè)的已知情況進行求解。而二者之間轉(zhuǎn)化的方法即為對稱：通過作A點關(guān)于直線l的對稱點（圖2②），由于，則可將AM+BM的值轉(zhuǎn)化為的值。此時依據(jù)線段公理即可得到當(dāng)M運動至與直線l的交點位置時，AM+BM取得最小值。

在基礎(chǔ)模型中，重點需要讓學(xué)生掌握將軍飲馬模型的特征以及求解思路。模型的特征可以概括為“點、線、最值”。其中“點”表示模型中存在動點及定點;“線”表示動點的運動軌跡為直線;“最值”表示模型求解的問題為線段的最值問題。當(dāng)這三個要素在題目中同時出現(xiàn)時，則可以套用該模型的思路進行求解。而模型的求解方法則是通過對稱的方法轉(zhuǎn)化線段，最終利用線段公理找出最佳“飲馬”位置。

2? ?模型變形

除了將軍飲馬的基礎(chǔ)模型之外，該模型還存在多種變形，它們同樣具備“點、線、最值”的要素，需要學(xué)生

掌握。

2.1? 一定點兩動點

如圖3①，在∠AOB中有定點P，在射線OA、OB上分別有動點M、N，則當(dāng)M、N運動至何處時MPN的周長最小？

圖3? 基礎(chǔ)模型變形—兩動點一定點

教學(xué)過程中，在學(xué)生僅掌握了基礎(chǔ)模型只有一個動點的情況下，可以引導(dǎo)學(xué)生先將其中一個動點視為定點固定不動，將兩個動點的情形轉(zhuǎn)化為已知的一個動點的情況進行思考，進而得出分別關(guān)于兩個動點的運動軌跡作定點P的對稱點，將三角形周長的三邊轉(zhuǎn)化為到的距離的思路。

求解該題，需分別關(guān)于OA、OB作P點的對稱點、（圖3②）。由于且，則可將MPN的周長PM+MN+NP轉(zhuǎn)化為，此時，依據(jù)線段公理即可知當(dāng)M、N分別運動至、的位置時MPN的周長取得最小值。

在該題中，可以進一步發(fā)現(xiàn)，作對稱點的本質(zhì)是線段的轉(zhuǎn)化。在圖3①中，PM、PN、MN三條線段均位于兩條運動軌跡的同側(cè)，而通過對稱的方法，得到的、、MN三條線段則是分別位于兩條運動軌跡的不同側(cè)，此時才可以利用線段公理成功求解問題。即作對稱的過程就是要將問題中的線段分別轉(zhuǎn)化到運動軌跡的不同側(cè)。

2.2? 兩定點兩動點

如圖4①，在∠AOB中有定點P、Q，在射線OA、OB上分別有動點M、N，則當(dāng)M、N運動至何處時四邊形MPQN的周長最??？

圖4? 基礎(chǔ)模型變形—兩動點兩定點

初看之下，該題是求解四條線段的和的最小值。但不難發(fā)現(xiàn)，線段QP的長度為定值，那么該問題的實質(zhì)仍是PM、MN、NQ三條線段的和的最小值。與一定點兩定點的情況相比，該問題的難點在于當(dāng)同時有多個運動軌跡和多個定點時，如何確定每個定點對應(yīng)的對稱軸。此時需抓住在前一模型中得出的結(jié)論“作對稱的過程就是要將問題中的線段分別轉(zhuǎn)化到運動軌跡的不同側(cè)”。圖4①中，需要轉(zhuǎn)化的線段為PM、BQ。為了保證對稱后的線段仍是首尾相連，則只能將點P關(guān)于OA對稱，將Q關(guān)于OB對稱。也即作定點關(guān)于與其相連接的動點的軌跡的對稱點。

解答該題，需分別作P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點、，將四邊形MPQN的周長PM+MN+NQ+PQ轉(zhuǎn)化為，依據(jù)線段公理即可知當(dāng)M、N分別運動至、的位置時四邊形MPQN的周長取得最小值。

2.3? 兩動點相對位置固定

如圖5①，在直線l一側(cè)有定點P、Q，在直線l上有動點M、N，且MN長度為a，則當(dāng)M、N運動至何處時，線段AM+MN+NB的和取得最小值？

圖5? 基礎(chǔ)模型變形—兩定點相對位置固定

該題中，由于線段MN的長度固定，因此，求AM、MN、NB三條線段的和的最小值實則是求AM和NB兩條線段的和的最小值，這就與將軍飲馬基礎(chǔ)模型的情況相似。而與基礎(chǔ)模型相比，其差異在于基礎(chǔ)模型中只有一個動點，要求解的線段首尾相連，而此題中有兩個運動軌跡相同，距離固定的兩個動點，使得實際要求解的線段AM和NB并未相連，無法直接將線段的和轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，但M、N兩點的相對位置是固定的，也即線段MN的長度與方向固定。那么，可以通過平移其中一個定點，則可以排除線段MN的影響，進而套用基礎(chǔ)模型的方法進行求解。

首先應(yīng)將點A沿與直線平行的方向平移長度a得到，將要求解的線段轉(zhuǎn)化為。即將問題轉(zhuǎn)化為了將軍飲馬基礎(chǔ)模型，只需作B點關(guān)于直線l的對稱點，連接與直線相交于點，再將點向左平移長度a可得，則當(dāng)M和N分別運動到點和點的位置時，AM+MN+BN的和取得最小值。

這個模型的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)線段MN并不會對三條線段的和的結(jié)果產(chǎn)生影響，并通過平移的方法將實際要求解的線段首尾相接，從而符合基礎(chǔ)模型的特征得以求解。

2.4? 線段差的最值

如圖6①，在直線一側(cè)有定點A、B，在直線上有動點M，則M運動到何處時|PA-PB|取得最大值？M運動到何處時|PA-PB|取得最小值？

圖6? 基礎(chǔ)模型變形—線段差的最值

考慮線段的差的最大值問題時，需結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進行思考。M在直線上運動，只要M不在直線AB上時，則A、B、M三點定會組成ABM。而在三角形之中，由于兩邊之差必小于第三邊，因此|PA-PB|

而對于|PA-PB|的最小值，由于絕對值符號的存在，|PA-PB|≥0。因此，當(dāng)且僅當(dāng)PA=PB時，|PA-PB|取得最小值0，此時M位于線段AB的中垂線與直線l的交點位置。

求解|PA-PB|的最大值，需延長線段AB與直線交于點（圖6②），此時|PA-PB|=AB，取得最大值。求解|PA-PB|的最小值，則需作線段AB的中垂線與直線交于點（圖6③），此時PA=PB，|PA-PB|取得最小值0。

在這一模型中，需要求解的問題由線段之和的最小值變?yōu)榱司€段之差的最大值和最小值。而求解的思路也由利用對稱轉(zhuǎn)化線段求解變?yōu)槔萌切蔚娜呹P(guān)系求解。因此需要學(xué)生掌握的是在實際題目中能夠依據(jù)需要求解的問題選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}思路。

3? ?典型例題

在初中數(shù)學(xué)中總結(jié)模型的意義在于當(dāng)面對復(fù)雜的題目時，學(xué)生能夠在紛繁的條件和圖形中識別出已知模型的特征，從而在解題時有章可循、有法可依，不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，還可以大大提升解題效率。因此，在面對復(fù)雜題目時，能夠迅速準(zhǔn)確地識別出典型模型的存在則尤為重要。這就需要學(xué)生在充分掌握模型特征的基礎(chǔ)上有足夠的練習(xí)。以下是將軍飲馬模型及其變形情況的典型例題。

如圖7①，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為____cm（杯壁厚度不計）。

圖7? 將軍飲馬基礎(chǔ)模型例題

解析：將圓柱體側(cè)面展開為圖7②中的矩形，則問題轉(zhuǎn)化為螞蟻從A處出發(fā)，先到達QR邊上點M處后再到達B點的最短路徑。其中A、B兩點即為定點，螞蟻由外壁進入內(nèi)壁的位置，也即QR邊上M點的位置為動點，QR邊則為動點的運動軌跡。符合將軍飲馬模型基礎(chǔ)模型的特征。因此，可作A點關(guān)于直線QR的對稱點，連接，則當(dāng)M運動至與QR的交點處時螞蟻走過的路徑最短。最短路徑長度。

如圖8①，∠AOB=30°，OC=5，OD=12，點E、F分別是射線OA、OB上的動點，求CF+EF+DE的最小值。

圖8? 兩定點兩動點模型例題

解析：該題中，C、D為定點，E、F為動點，OA、OB分別為E、F的運動軌跡，符合兩定點兩動點的模型特征。定點C與動點F相連接，則作點C關(guān)于F的運動軌跡OB的對稱點，將線段CF轉(zhuǎn)化為。同理作點D關(guān)于OA的對稱點，將線段DE轉(zhuǎn)化為。則，其最小值即為線段的長度。由于，則，

如圖9①在東西向河流的兩側(cè)分別有城市A和城市B，兩市距河岸的距離分別為50m和70m，A、B兩市東西間距50m，河水寬20m。為了交通方便，現(xiàn)欲修橋。由于要節(jié)約成本，橋只能垂直河岸修建。那么由A市到B市的最短交通距離是多少米？

圖9? 兩動點相對位置固定模型例題

解析：該題中，城市A、城市B的位置固定，為定點，修橋位置M、N為動點。由于河寬一定，且橋必須與河岸垂直，則M、N的相對位置固定。題目實質(zhì)尋求的是AM+MN+NB的最小值。如圖9②，可將A點沿與MN平行的方向平移至處，使得，此時，需要求解的線段則轉(zhuǎn)化為了，而由于長度固定，則僅需求得的最小值情況。因此，的長度即是由A市到達B市的最短距離。。

【參考文獻】

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