解三角形中的取值范圍與最值問題

張潔

【摘 要】與解三角形相關(guān)的最值（范圍）問題在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見，但是它涉及的知識(shí)面廣，靈活性大，綜合性強(qiáng)。本文結(jié)合具體的例題，歸納了求解三角形的角、邊長、面積、周長這幾類常見的取值范圍與最值問題。

【關(guān)鍵詞】解三角形;取值范圍;最值

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0165-03

解三角形問題一直是高考的必考點(diǎn)，與解三角形相關(guān)的最值（范圍）問題在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見，特別常見的是三角形的角、邊長、面積、周長的取值范圍與最值問題，由于它涉及的知識(shí)面廣，靈活性大，綜合性強(qiáng)，學(xué)生會(huì)比較害怕此類題目，因而總結(jié)歸納一些常見的題型有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。

解三角形中常見的不等關(guān)系很多，如0c2等，解題中充分利用這些關(guān)系，結(jié)合不等式的相關(guān)性質(zhì)，可以求出相關(guān)變量或解析式的范圍或最值.本文結(jié)合具體的例題，歸納了以下幾類常見的題型。

1? ?角的范圍或最值

【例1】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，

c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足。（1）求角C的大小;（2）求sinA+sinB的最大值。

【解析】（1）由題意可知absinC=×2abcosC，所以tanC=，因?yàn)?

（2）由已知sinA+sinB=sinA+sin=sinA+sin=sinA+cosA+sinA=sin≤，。當(dāng)A=，即△ABC為等邊三角形時(shí)取等號(hào)。

所以sinA+sinB的最大值為。

本題借助三角形面積公式求出角C，得出角A和B的關(guān)系，進(jìn)行消元，再由輔助角公式進(jìn)行函數(shù)歸一，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域的問題。

利用消元思想和三角函數(shù)的有界性求解最值，是三角函數(shù)相關(guān)范圍問題的基本思路，也是最常見的做法。

（2）【2016高考江蘇卷】在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是____。

【解析】sinA=sin（B+C）=2sinBsinCtanB+tanC=2tanBtanC，因此，tanAtanB

tanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥

2≥8，即最小值為8。

消元與降次是高中數(shù)學(xué)主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)，這是做題的突破口，斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，這類同解三角形的正余弦定理，是一個(gè)關(guān)于正切的等量關(guān)系，平時(shí)多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識(shí)。

2? ?邊的范圍或最值

【例2】（1）【2018高考江蘇卷】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則的最小值為____。

【解析】由題意可知，S△ABC=S△ABD=S△BCD，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為9。

求解三角形中邊長的范圍和最值的最常見的方法就是利用基本不等式來求解，本題的解題方法較多，可以將基本不等式結(jié)合三角形的面積公式，也可以結(jié)合三角形相似，還可以結(jié)合坐標(biāo)法進(jìn)行求解，但是最終一定還是會(huì)借助基本不等式才能完成本題，足見基本不等式對(duì)求解邊長范圍問題的重要性.

（2）【2018重慶市第一中學(xué)模擬】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，，，若， ，則的取值范圍是____。

本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，解決這類問題的思路是利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出范圍或最值。

所以，解三角形中的邊長范圍問題還可以利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，再借助三角函數(shù)的和差公式或者利用角的關(guān)系消元，通過輔助角公式和三角函數(shù)有界性求解最值，或者利用基本不等式這些方法來求邊長的范圍或者最值.

3? ?周長的范圍或最值

【例3】【2017年三水一中三模第17題】在△ABC中，。

（1）求∠A的大小;

（2）若，求△ABC的周長的取值范圍。

在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，可以將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，借助于三角函數(shù)的有界性，從而求出范圍或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍，從而得最值。

周長問題也可看做是邊長問題的延伸，所以在解決周長相關(guān)問題時(shí)，著眼于邊長之間的關(guān)系，結(jié)合邊長求最值（范圍）的解決方式，通常都能找到正確的解題途徑。

4? ?面積的范圍或最值

面積問題通常是邊長與角問題的綜合，解題中既要考慮邊的變化，也要考慮相關(guān)角的變化，通常是利用面積公式，將其轉(zhuǎn)化為同一類元素，然后利用三角函數(shù)范圍或者實(shí)數(shù)的不等關(guān)系求解。主要考查正、余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用，但是也會(huì)遇到一些借助二次函數(shù)求解三角形面積的范圍問題。

【例4】【2018·湛江二?！考褐鰽BC中，AB=2，AC=BC，則△ABC面積的最大值是____.

【分析】設(shè)出BC長度是x，利用三角形的面積公式以及余弦定理得到關(guān)于x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值。

【解析】設(shè)BC=x，則△ABC面積

本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用。通過余弦定理與三角形面積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，再利用配方和二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值。

通過以上四種題型可以看出解三角形中的取值范圍和最值問題主要是通過以下三種途徑來解決：①借助消元法和輔助角公式將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性來求解范圍;②借助正余弦定理和基本不等式來求解范圍;③借助余弦定理和二次函數(shù)的性質(zhì)來求解范圍.簡言之，即為函數(shù)法和基本不等式法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社A版，2015.

[2]高一數(shù)學(xué)提優(yōu)學(xué)案，吉林大學(xué)出版社.

[3]張錫花.淺談解三角形中的范圍問題[J].讀寫算-素質(zhì)教育論壇，2015（5）.

[4]吉冬林.知其然，知其所以然——淺談解三角形問題的思路[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：高考版，2011（11）.