芻議通性通法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位

陳晨

【摘 要】在刷題就是一切的大環(huán)境下，數(shù)學(xué)教學(xué)成為機(jī)械式的解題訓(xùn)練，解題不講究緣由，談的都是答題模板。教師究竟應(yīng)該教給學(xué)生什么？教師應(yīng)教授數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想方法概念，多講授通性通法。本文以數(shù)列教學(xué)為例，講述了通性通法在教學(xué)中的重要地位，注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)的簡(jiǎn)潔性與統(tǒng)一性。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)數(shù)列;教學(xué)策略;通性通法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0163-01

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，如等比數(shù)列通項(xiàng)公式的一種推導(dǎo)方法累乘法，對(duì)某些數(shù)列求通項(xiàng)公式有著借鑒作用，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的另一種推導(dǎo)方法遞推法，對(duì)大量有著遞推特性的題目都能采用此通法，但往往數(shù)列學(xué)習(xí)過(guò)后學(xué)生記住的不是這些通性通法而是由公式衍生出的大量華而不實(shí)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)列的知識(shí)是一些支離破碎的片段，沒(méi)能形成數(shù)列的一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

1? ?數(shù)列新授課中的通性通法

如數(shù)列方法課，這類(lèi)課通常處處有方法處處有技巧，題題有內(nèi)涵，可輪到學(xué)生自己做題時(shí)卻無(wú)從下筆。如等差或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差或等比數(shù)列通項(xiàng)公式中有首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an、項(xiàng)數(shù)n、公差d和前n項(xiàng)和Sn這五個(gè)量，已知其中三個(gè)基本量可以求出另外兩個(gè)基本量，在這五個(gè)基本量中，最重要的是首項(xiàng)a1和公差d。研究這五個(gè)基本量之間的關(guān)系應(yīng)是等差數(shù)列學(xué)習(xí)的通性通法，但有時(shí)在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生處理等差數(shù)列的一些問(wèn)題時(shí)考慮的首要方法很少是根據(jù)題設(shè)找出3個(gè)基本量，再求出另外兩個(gè)基本量，就能解決數(shù)列一系列問(wèn)題。反而是喜歡花費(fèi)大量時(shí)間思考性質(zhì)技巧所謂的簡(jiǎn)便方法，如設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=____。學(xué)生往往想到根據(jù)S3，S6-S3，S9-S6為等比數(shù)列解決此題，但如果題目改成S2=9，S6=36，則S9=____。有些學(xué)生便慌了神，無(wú)從下筆，若題目變?yōu)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若=3，則=____。若學(xué)生考慮不到先用分離系數(shù)的技巧將題目轉(zhuǎn)變?yōu)?3，則=____便直接混戰(zhàn)于S5，S10-S5，S15-S10成等比數(shù)列的復(fù)雜迭代中。但如果學(xué)生知道等比數(shù)列通性通法是利用a1、an、n、q、n、Sn五個(gè)基本量，可以直接運(yùn)用等差數(shù)列求和公式表示S3，S6求出公比q代入。

S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列固然是個(gè)很重要的性質(zhì)，但教師在運(yùn)用這一性質(zhì)的時(shí)候不是應(yīng)該首先介紹a1、an、n、q、n、Sn五個(gè)基本量的通法嗎？對(duì)于技巧的講解需要適度，必須貼合學(xué)生的現(xiàn)有水平，面對(duì)有些技巧學(xué)生的模仿多于理解，題目換了面貌可能這些技巧反倒成了絆腳石，擾亂了學(xué)生的解題思路，填塞給學(xué)生的方法不是長(zhǎng)久的方法，技巧運(yùn)用往往不如通性通法來(lái)得踏實(shí)。

2? ?數(shù)列復(fù)習(xí)課中的通性通法

復(fù)習(xí)課對(duì)章節(jié)知識(shí)概念方法起到總結(jié)鞏固，梳理形成知識(shí)結(jié)構(gòu)的作用，可以提高解題能力，解決綜合性問(wèn)題。如證明數(shù)列為等差或等比數(shù)列的問(wèn)題，教師常講授的是構(gòu)造法。如設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.設(shè)bn=an+1-2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列。學(xué)生可以想到，由①-②，得an+1=4an-4an-1，但學(xué)生很難想到通過(guò)移項(xiàng)變形構(gòu)造出an+1-2an=2（an-2an-1），從而證明bn=2bn-1。大多數(shù)課堂或輔導(dǎo)書(shū)中講解的都是這個(gè)方法，雖然這一方法看上去很美，但這種美不夠純粹，學(xué)生感覺(jué)這種變化技巧難度太高。其實(shí)教師可以介紹利用等比數(shù)列的概念：從第二項(xiàng)起后一項(xiàng)比前一項(xiàng)為同一個(gè)常數(shù)證明的方法，即，由an+1=4an-4an-1進(jìn)行代入消元，證明比值常數(shù)為2。這是一種學(xué)生能夠觸及的美。利用等比或等差數(shù)列的概念是數(shù)列證明的通性通法，也是絕大多數(shù)證明問(wèn)題的通性通法。

3? ?結(jié)語(yǔ)

總之，作為教師應(yīng)重視通性通法在教學(xué)中的地位，摒棄一些看似華麗卻無(wú)法被學(xué)生接受的技巧，從而還原數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美。更重要的是，簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)，純粹的數(shù)學(xué)才是學(xué)生喜愛(ài)的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)給予他們的應(yīng)是數(shù)學(xué)的思考方式，而不是數(shù)學(xué)的解題技巧。