同一條件極值問題的多種求解思路

馬林　王丹

【摘 要】本文針對(duì)《高等數(shù)學(xué)》教材中常用的關(guān)于多元函數(shù)條件極值的實(shí)際問題，建立模型，應(yīng)用均值不等式法、等式約束極值的代入法、拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解，一題多解，從而打開學(xué)生思路，啟發(fā)學(xué)生思考。

【關(guān)鍵詞】條件極值;均值不等式;等式約束;拉格朗日乘數(shù)法

【中圖分類號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0013-02

多元函數(shù)的極值是多元微分學(xué)應(yīng)用的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高等數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系實(shí)際的最直觀地體現(xiàn)。它分為無條件極值和條件極值兩種情況，條件極值問題因其考慮約束條件，通常會(huì)復(fù)雜一些。本文針對(duì)教材中常用的關(guān)于多元函數(shù)條件極值的實(shí)際問題，建立模型，首先用均值不等式法、等式約束極值的代入法計(jì)算體積的最大值，最后用經(jīng)典的Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行對(duì)比[1]。

實(shí)際問題：表面積為的長(zhǎng)方體，問長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，才能使得體積達(dá)到最大？

首先依據(jù)題意，可以建立模型，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各自為米、米、米，則

長(zhǎng)方體的表面積? ? ?（1）

長(zhǎng)方體的體積，? ? （2）

1? ?均值不等式法

中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)過均值不等式，當(dāng)時(shí)，≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，即幾何平均數(shù)小于等于算數(shù)平均數(shù)，它可以推廣到三個(gè)至個(gè)形式，即當(dāng)，時(shí)，≥，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。

由此，上述實(shí)際問題中，要求體積的最大值，可以先求出的最大值，然后開方即得的最大值。

那么

≤=

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

達(dá)到最大值，同時(shí)取到最大值。

由均值不等式的形式，也可以將該方法推廣到元函數(shù)，在高維度亦適用。利用均值不等式求函數(shù)的極值，時(shí)常需要把函數(shù)先進(jìn)行變形，這一步通常技巧性較強(qiáng)，起著承前啟后的重要作用，接著再利用“積定”求和的最小值或“和定”求積的最大值。在運(yùn)用均值不等式時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”的條件[2]。

2? ?等式約束極值的代入法

將表面積的中約束條件代入體積，即變形等式（1）

得到，將代入（2）中有，

由此可得是和的二元函數(shù)，那么根據(jù)題意，我們需要計(jì)算這個(gè)的最大值，只需解下面的方程組：

化簡(jiǎn)后并代入約束條件（1）式得

由此得到唯一駐點(diǎn)。由題意知表面積固定體積最大的長(zhǎng)方體一定存在，體積函數(shù)又只有唯一駐點(diǎn)，因此該駐點(diǎn)即為所求最大值點(diǎn)，從而當(dāng)時(shí)，體積最大。

等式約束極值的代入法將多元函數(shù)條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，計(jì)算稍顯繁復(fù)[3]。

3? ?拉格朗日乘數(shù)法

約束條件：

目標(biāo)函數(shù)：

建立拉格朗日函數(shù)：

得方程組

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

從而得，為唯一可能的極值點(diǎn)，從問題本身意義出發(fā)可知，此極值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，此時(shí)長(zhǎng)方體體積達(dá)到最大。

拉格朗日乘數(shù)法需計(jì)算多元高次方程組，是求解一般多元函數(shù)條件極值問題的經(jīng)典方法[4]。

4? ?結(jié)束語

縱觀全文的三種解題方法，利用均值不等式的方法機(jī)巧多變，大幅度減輕了計(jì)算任務(wù)，但是它適應(yīng)范圍較窄，不具有普適性;等式約束極值的代入法，將約束條件代入目標(biāo)函數(shù)，大大加重了計(jì)算量，且容易出錯(cuò);拉格朗日乘數(shù)法，清晰明了，當(dāng)之無愧的是計(jì)算多元函數(shù)條件極值的經(jīng)典思路，當(dāng)然多元高次方程組的計(jì)算難度也不容小覷。

本文針對(duì)多元函數(shù)條件極值問題運(yùn)用一題多解的思想，有助于學(xué)生打開思路，更有效地理解和掌握這一重要知識(shí)點(diǎn)，并感受數(shù)學(xué)解決問題的精妙，提高學(xué)習(xí)知識(shí)的主觀能動(dòng)性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]凌亞麗.條件極值問題的初等解法和案例分析[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（6）.

[2]曹宏舉等.多元函數(shù)條件極值的四種求解方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017（2）.

[3]龔榮芳.關(guān)于多元函數(shù)極值判定方法的教學(xué)思考[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011（17）.

[4]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）第四版[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.