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    加強模型理解 提升解題能力

    2019-11-04 02:53:11楊春霞
    初中生世界·九年級 2019年9期
    關(guān)鍵詞:邊長一元二次方程長方體

    楊春霞

    從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看,由一元一次方程到一元二次方程是知識發(fā)展過程中必然要出現(xiàn)的代數(shù)式關(guān)系;從數(shù)學(xué)外部來看,一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界,解決實際問題的有效模型。近年來,各地中考圍繞這一核心知識點呈現(xiàn)多種考題形式,下面就從“方程概念”“計算技能”“模型應(yīng)用”三個方面作簡要分析。

    一、立足“方程概念”,考查知識理解

    一般??碱}會借助對一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的認(rèn)識,考查對“樣子+條件”定義形式的本質(zhì)理解。這樣的理解也不是獨立考查,往往還和方程的根、根與系數(shù)關(guān)系、根的情況判別相結(jié)合。

    例1 (1)(2016·泰州)方程2x-4=0的解也是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個解,則m的值為。

    (2)(2016·聊城)如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么k的取值范圍是。

    第(1)小題借助一元一次方程的解來求一元二次方程中的未知系數(shù)m的值,考查了方程解的概念,即方程的解代入方程能使得方程等式成立,故易得m的值為-3。第(2)小題以方程根的情況來考查未知系數(shù)k的取值范圍,一方面要理解根的情況由“兩個不相等的實數(shù)根”得到b2-4ac>0,繼而得到在這個不等式下k的第一個取值范圍k>[-94];另一方面要兼顧到一元二次方程中二次項系數(shù)k的條件限制,即k≠0。綜合來看k的取值范圍為k>[-94],且k≠0。

    二、關(guān)注“計算技能”,考查運算能力

    求一元二次方程的解體現(xiàn)著運算能力的水平,這是解決實際問題的需要,其解法也關(guān)聯(lián)到二次函數(shù)等相關(guān)知識。因此對計算技能方面的考查,一般有獨立考查解方程以及方程解法,或是結(jié)合應(yīng)用模型解決問題進行考查。

    例2 (1)(2016·新疆改編)一元二次方程x2-6x-5=0配方可變形為。

    (2)(2014·聊城改編)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),此方程可變形為。

    這兩道題原題出自不同地區(qū),但都以選擇題形式考查一元二次方程解法中的配方法,凸顯了配方法在知識系統(tǒng)中的重要作用。這里改編為填空題,去掉干擾選擇支,直接考查配方法的關(guān)鍵步驟。第(1)題給的是具體數(shù)值,因此較為容易地得到變形后為(x-3)2=14;第(2)題是一元二次方程的一般形式,一般化地體現(xiàn)對配方法的本質(zhì)理解,字母系數(shù)參與運算,增加了運算難度,但只要按照配方法步驟,依然可以得到正確答案為:(x+[b2a])2=[b2-4ac4a2]。

    例3 (1)(2013·河南)方程(x-2)(x+3)=0的解是()。

    A.x=2 B.x=-3

    C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3

    (2)(2016·蘭州)解方程:2y2+4y=y+2。

    例3的兩題重在對解法和求解過程的考查。第(1)題體現(xiàn)分解因式求一元二次方程解的關(guān)鍵形式,即要形成ab=0的結(jié)構(gòu),故選D;第(2)題單獨考查一元二次方程的解法,由于所給形式非一般形式的結(jié)構(gòu),所以我們要先進行轉(zhuǎn)化,變成一般形式,再根據(jù)方程的特點,恰當(dāng)選擇方法。具體解題過程如下:

    解:2y2+4y=y+2,

    2y2+3y-2=0,

    (2y-1)(y+2)=0,

    2y-1=0或y+2=0,

    ∴y1=[12],y2=-2。

    三、重視“模型應(yīng)用”,考查問題解決

    方程的價值體現(xiàn)在對外部世界的認(rèn)識上,也就是建構(gòu)模型。因此多年來,建立一元二次方程模型考查問題已經(jīng)是常規(guī)題型,但因為涉及實際問題內(nèi)容較廣,一般會結(jié)合具體背景考查,如:“行程”“工程”“增長率”“銷售”等。也因其模型和函數(shù)模型建立的內(nèi)在聯(lián)系是一致的,即尋找相等的數(shù)量關(guān)系,因此也可以結(jié)合二次函數(shù)的應(yīng)用滲透對方程模型應(yīng)用的考查。

    例4 (2019·徐州)如圖,有一塊矩形硬紙板,長30cm,寬20cm,在其四角各剪去一個同樣的正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一個無蓋長方體盒子。當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時,所得長方體盒子的底面積為200cm2?

    本題需要我們理解長方體的底面長、寬與正方形邊長之間的一次關(guān)系,以及底面積與長和寬之間的關(guān)系,進而認(rèn)識到所有模型均可歸一為“a+b”型、“a×b”型以及在此基礎(chǔ)上的模型嵌套,從而感受到數(shù)式模型、數(shù)式關(guān)系模型是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。解答如下:

    解:設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm,

    則根據(jù)題意,有(30-2x)·(20-2x)=200。

    解得x1=5,x2=20。

    當(dāng)x=20時,20-2x<0,所以x=5。

    答:當(dāng)剪去正方形的邊長為5cm時,所得長方體盒子的底面積為200cm2。

    (作者單位:江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部)

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