在用一元二次方程解決問題中尋找矩形

用一元二次方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找實際問題中的等量關(guān)系，而矩形是一個我們非常熟悉的圖形，它自身就含有兩個比較簡單的等量關(guān)系：長+寬=[周長2]，長×寬=面積。這給我們列方程提供了便利。那現(xiàn)在就讓我們到一元二次方程解決實際問題的題目中找一找矩形的身影吧。

一、圍欄中的矩形

例1 （蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第24頁）

用一根長22cm的鐵絲：

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？

【解析】本題的問題是能不能圍成規(guī)定面積的矩形，題目中的矩形長、寬均不知道，因此我們可以將問題轉(zhuǎn)化為能否求出滿足條件的長、寬，如果可以求出合理的解，那么就可以圍成這樣的矩形，否則就不能圍成。題目的大條件是鐵絲長度（矩形周長）為22cm，第（1）小題的小條件是矩形面積30cm2，因此等量關(guān)系就是長+寬=[222]，長×寬=30。因為周長的等量關(guān)系是一次式，所以利用這個關(guān)系，長、寬可用含同一未知量的一次式表達(dá)，那么面積的等量關(guān)系就可以用來列方程了。第（2）小題同理。

解：設(shè)這根鐵絲圍成的矩形長是xcm，則矩形的寬是（11-x）cm。

（1）根據(jù)題意，得x（11-x）=30，即x2-11x+30=0。

解這個方程，得x1=5，x2=6。

當(dāng)x1=5時，11-x1=6;當(dāng)x2=6時，11-x2=5。

答：用一根長22cm的鐵絲能圍成面積是30cm2的矩形。

（2）根據(jù)題意，得x（11-x）=32，即x2-11x+32=0。

因為b2-4ac=（-11）2-4×1×32=121-128=-7<0，

所以此方程沒有實數(shù)根。

答：用一根長22cm的鐵絲不能圍成面積是32cm2的矩形。

【點評】本題所給鐵絲長度就是整個矩形的周長（四條邊長度之和），列方程所使用的等量關(guān)系非常簡單，因此列方程的關(guān)鍵就變成了如何用含同一個未知量的一次式將矩形的長、寬表達(dá)出來。同時需要注意，方程的兩個根即使都符合題意，也要檢驗所求的另一個量是否滿足題意。

變式 如圖1，要建一個面積為130m2的養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻（墻長16m），在與墻平行的一邊開一扇1m寬的門，其余各邊所用籬笆總長為32m，求養(yǎng)雞場的長和寬。

圖1

【解析】本題和例1是同一類型題，知道矩形周長關(guān)系，矩形面積需要滿足條件。因此解題策略和上一題一樣，利用周長關(guān)系得到長、寬的表達(dá)式，利用面積關(guān)系列方程。值得注意的是，本題的周長（籬笆總長為32m）不是矩形四條邊長度之和，因為一邊靠墻，且開了一扇1m寬的門，所以（長-1）+2個寬=32。

解法一：設(shè)養(yǎng)雞場的寬是xm，則養(yǎng)雞場的長是（33-2x）m。

根據(jù)題意，得x（33-2x）=130，即2x2-33x+130=0。

解這個方程，得x1=10，x2=[132]。

當(dāng)x1=10時，33-2x1=13;

當(dāng)x2=[132]時，33-2x2=20。

因為20>16（墻長），所以舍去x2=[132]。

答：養(yǎng)雞場長13m，寬10m。

解法二：設(shè)養(yǎng)雞場的長是xm，則養(yǎng)雞場的寬是[33-x2m]。

根據(jù)題意，得x（[33-x2]）=130，即x2-33x+260=0。

解這個方程，得x1=13，x2=20。

因為20>16（墻長），所以舍去x2=20。

當(dāng)x=13時，[33-x2]=10。

答：養(yǎng)雞場長13m，寬10m。

【點評】本題圍成的矩形一邊靠墻，因此墻的長度是對根的限制，平行于墻的那條邊的長度必須小于等于墻的長度。設(shè)長為未知數(shù)還是設(shè)寬為未知數(shù)都是可以的，可以結(jié)合本題的兩種解法思考一下，不同的設(shè)法在列方程、解方程以及取舍根的時候有什么不同，如何選擇。

二、道路中的矩形

例2 （蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第30頁1.4習(xí)題第5題）如圖2，在長40m、寬22m的矩形地面內(nèi)，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪。要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少？

圖2 圖3

【解析】本題可以看成將道路抽掉，剩下的草坪拼成一個新的矩形，如圖3。題目中的等量關(guān)系：新矩形的長=原矩形的長-道路的寬;新矩形的寬=原矩形的寬-道路的寬;新矩形的長×新矩形的寬=草坪面積760。選擇前兩個等量關(guān)系表達(dá)新矩形的長、寬，利用第三個等量關(guān)系列方程。

解：設(shè)道路的寬為xm。

根據(jù)題意，得（40-x）（22-x）=760，即x2-62x+120=0。

解這個方程，得x1=2，x2=60。

因為60>22，所以舍去x2=60。

答：道路的寬為2m。

【點評】本題也可以利用等量關(guān)系“原矩形面積-2條道路面積+道路中間重疊的小正方形面積=草坪面積”來列方程。但是將圖形拼接之后再利用矩形面積關(guān)系來列方程比較簡潔，也能很好地避免漏加重疊部分的正方形面積，因此此解法是解這類問題的首選方法。

變式 （2018·南京秦淮期中）如圖4，在長40m、寬22m的矩形地面內(nèi)，修筑三條同樣寬且垂直于矩形的邊的道路，余下的鋪上草坪。要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少？

圖4

【解析】本題與教材上的習(xí)題幾乎是同一題，只有圖略微不同而已。因此等量關(guān)系和解答過程完全一樣。

解：設(shè)道路的寬為xm。

根據(jù)題意，得（40-x）（22-x）=760，即x2-62x+120=0。

解這個方程，得x1=2，x2=60。

因為60>22，所以舍去x2=60。

答：道路的寬為2m。

【點評】此題中道路形狀變了，但是處理方法都是一致的，就是可以將道路抽掉，剩下的圖形拼成一個新的矩形，利用矩形面積關(guān)系來列方程。

三、改造中的矩形

例3 （2008·南京）某村計劃建造如圖5所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2∶1。在溫室內(nèi)，沿前側(cè)的側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道。當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？

圖5

【解析】本題等量關(guān)系如下，溫室長∶溫室寬=2∶1;蔬菜種植區(qū)長=溫室長-前側(cè)空地寬-內(nèi)墻通道寬;蔬菜種植區(qū)寬=溫室寬-2個內(nèi)墻通道寬;蔬菜種植區(qū)的長×蔬菜種植區(qū)的寬=蔬菜種植區(qū)面積288。選擇第一個等量關(guān)系表達(dá)溫室的長、寬，利用第二和第三個等量關(guān)系表達(dá)蔬菜種植區(qū)的長、寬，利用最后一個等量關(guān)系列方程。

解：設(shè)矩形溫室的寬為xm，則長為2xm。

根據(jù)題意，得（x-2）·（2x-4）=288。

解這個方程，得x1=-10（不合題意，舍去），x2=14。

所以2x=2×14=28。

答：當(dāng)矩形溫室的長為28m，寬為14m時，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2。

變式 （2012·南京）“？”的思考 下框中是小明對一道題目的解答以及老師的批閱。

[題目：某村計劃建造如圖6所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2∶1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長與寬各為多少時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？

圖6

解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm，? ? ？

根據(jù)題意，得x·2x=288。

解這個方程，得x1=-12（不合題意，舍去），x2=12。

所以溫室的長為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）。

答：當(dāng)溫室的長為28m，寬為14m時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2。

]

小明的結(jié)果也正確。

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中劃了一條橫線，并打了一個“？”。

結(jié)果為何正確呢？

請指出小明解答中存在的問題，并補(bǔ)充缺少的過程。

【解析】本題提供了小明的解法，那么設(shè)未知數(shù)和列方程就不是要解決問題了，而是要能發(fā)現(xiàn)小明的錯誤在哪里，并進(jìn)行糾正。小明的解法迷惑性較高，他用了2∶1的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，并且解出的答案和正確答案的數(shù)值是一樣的。但是題目中是溫室的長寬比為2∶1，他誤將其認(rèn)為是蔬菜種植區(qū)長寬比為2∶1。之所以答案是正確的，是因為此題中蔬菜種植區(qū)的長寬比也正好為2∶1。

解：小明沒有說明矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2∶1的理由。

在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm”前補(bǔ)充以下過程：

設(shè)溫室的寬為ym，則長為2ym。

所以矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為（y-1-1）m，長為（2y-3-1）m。

因為[2y-3-1y-1-1]=[2y-4y-2]=2，

所以矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2∶1。

【點評】2008年與2012年的這兩道南京中考題看似相同，實則不同，只是選用了同一個實際背景。前一題是利用一元二次方程解決實際問題，需要找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程，而此題需要解決的是在一個有缺陷的解答中找出缺陷原因，并完善解答。這題的能力考查要求我們不僅會做題，還要會批改，找出錯因。做題時我們需要厘清思路，不可盲目解答。

（作者單位：江蘇省南京市第三高級中學(xué)文昌初級中學(xué)）