獨(dú)立不同分布不確定變量中心極限定理證明及其應(yīng)用

孟祥飛，王 瑛，李 超，亓 堯，孫 贇

(空軍工程大學(xué) 裝備管理與無人機(jī)工程學(xué)院，西安 710051)

在對實(shí)際問題進(jìn)行建模時，經(jīng)常遇到研究對象處于動態(tài)復(fù)雜環(huán)境中的問題，導(dǎo)致所構(gòu)建模型中的參數(shù)難以確定，此現(xiàn)象稱為非決定性現(xiàn)象.非決定性現(xiàn)象主要分為兩類：① 隨機(jī)現(xiàn)象，即有大量樣本數(shù)據(jù)的非決定現(xiàn)象；② 帶有專家信度的現(xiàn)象，即樣本數(shù)據(jù)非常少或無法得到樣本數(shù)據(jù)而只能依靠專家經(jīng)驗(yàn)作出判斷的現(xiàn)象.

通常采用概率論理論與方法解決隨機(jī)型的非決定現(xiàn)象，而采用不確定理論解決帶有專家信度的非決定現(xiàn)象.解決非決定現(xiàn)象最重要的工作是確定隨機(jī)變量或不確定變量的分布函數(shù).對于簡單的分布函數(shù)，一般可用最小二乘法、矩估計法和Delphi法等[1-2].但是對于一些特殊情況，上述方法則不再適用.例如，現(xiàn)實(shí)中有很多隨機(jī)變量是由大量隨機(jī)因素共同作用而形成的，且每個因素所起到的作用較小，即并非某一個因素起到?jīng)Q定性的作用.為解決這種多種隨機(jī)因素作用的問題，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗和拉普拉斯首先提出了中心極限定理并給出了證明[3-4].林德貝格、李雅普諾夫及馬爾科夫等對該定理進(jìn)行了更深入的研究.中心極限定理表明，這種隨機(jī)變量服從的概率分布往往會收斂到一類共同分布，即正態(tài)分布.同時，該定理提供了一種近似確定獨(dú)立隨機(jī)變量之和分布的近似方法[5].

目前，不確定理論中尚未提出中心極限定理.因此，尚無較好的處理多不確定因素共同作用問題的方法.文獻(xiàn)[6]所構(gòu)建的不確定多目標(biāo)規(guī)劃模型將部件的修復(fù)率和故障率等參數(shù)作為不確定變量，解決了數(shù)據(jù)缺失條件下可修復(fù)系統(tǒng)的冗余分配問題.文獻(xiàn)[7-8] 所建模型將交易價格、供應(yīng)量和需求量作為不確定變量，討論了不確定環(huán)境下多目標(biāo)股票交易問題.此外，因雷暴等惡劣天氣造成航班延誤，在處理航班延誤的恢復(fù)問題時，航班重新出發(fā)的時間是一個多因素共同作用的不確定變量問題.在天氣好轉(zhuǎn)之前，航班可能無法恢復(fù)，而當(dāng)天氣達(dá)到起飛或降落條件之后，空管部門可能會對空中交通流量實(shí)施管控，導(dǎo)致延誤航班仍停留在機(jī)場無法執(zhí)行任務(wù).而飛機(jī)機(jī)械故障、乘客原因以及機(jī)組失誤等原因共同造成的航班延誤更加難以恢復(fù),簽派員只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整[9-11].又如，新型坦克的射擊精度受到坦克行駛速度、路面狀況、車載武器系統(tǒng)和瞄準(zhǔn)系統(tǒng)的小規(guī)模震動、底盤線震動以及坦克內(nèi)部的空間結(jié)構(gòu)設(shè)計等因素的影響，憑經(jīng)驗(yàn)很難估計坦克多次射擊的結(jié)果.大量文獻(xiàn)中不確定變量是受諸多不確定因素的影響[12-18]，為簡化計算，這些研究直接給定不確定變量分布或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合其分布，而難以描述多不確定因素對事件所造成的影響.

基于此，本文主要研究不確定理論中的中心極限定理.首先，定義不確定分布的特征函數(shù)并分析該定理具有的部分性質(zhì).其次，將概率論中的正態(tài)分布引入到不確定理論中，提出兩個中心極限定理并予以證明.

1 不確定變量特征函數(shù)定義及其性質(zhì)

本文借鑒概率論中隨機(jī)變量特征函數(shù)的概念，提出不確定變量的特征函數(shù).

定義1設(shè)ξ為不確定變量，則對于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)Φ(x)=M{ξ≤x}為ξ的不確定分布，M{ξ≤x}為測度函數(shù).

定義2函數(shù)Φ(x)為一個正則不確定分布，當(dāng)且僅當(dāng)其為一個不滿足Φ(x)≡1或Φ(x)≡0的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù).

定義3設(shè)ξ是一個不確定變量且服從正則不確定分布，則記Φ(x)的反函數(shù)Φ-1(α)為不確定變量ξ的不確定逆分布.其中α為信度，0≤α≤1.

定義4對于ξ，其期望值為

定義5ξ服從正則不確定分布Φ(x)，則稱φ(t)為Φ(x)或ξ的特征函數(shù)，φ(t)=E(eitξ),-∞

根據(jù)定義4，Φ(x)或ξ的特征函數(shù)可表示為

(1)

由此可見，不確定變量的特征函數(shù)取決于其服從的分布函數(shù)，若分布函數(shù)相同則特征函數(shù)必定相同.ξ的特征函數(shù)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1對于任意t，有|φ(t)|≤φ(0)=1.

證明根據(jù)歐拉公式可得：

性質(zhì)2ξ,η為不確定變量，若ξ與η相互獨(dú)立，則φξ+η(t)=φξ(t)φη(t).

證明根據(jù)文獻(xiàn)[16]，eitξ和eitη為不確定變量且相互獨(dú)立，于是有

φξ+η(t)=E[eit(ξ+η)]=

E(eitξeitη)=E(eitξ)E(eitη)=

φξ(t)φη(t)

性質(zhì)3ξ服從正則不確定分布，其特征函數(shù)在(-∞,+∞)上一致連續(xù).

證明對于任意實(shí)數(shù)t，h，a(0

|φ(t+h)-φ(t)|=

根據(jù)性質(zhì)1，有

|eihΦ-1(α)-1|=

對任意t∈(-∞,+∞)，有

即φ(t)在R在一致連續(xù).

證明對于a≥0，根據(jù)性質(zhì)1，有

對于a<0，有

|eia-1|=

|eia(ei|a|-1)|≤|eia||ei|a|-1|≤

|ei|a|-1|≤|a|

對于任意a，有

|eia-1|≤|a|

(2)

于是

|i||e-itx1||1-e-it(x2-x1)|≤x2-x1

證明根據(jù)特征函數(shù)的定義有

根據(jù)性質(zhì)3及4，交換積分次序，有

由狄利克雷積分，可知

記

S(T,x,x1,x2)=

則

因此必存在O>0，使得|S(T,x,x1,x2)|

其中：ν為充分小的正數(shù).則有

性質(zhì)6ξ服從正則不確定分布函數(shù)，其特征函數(shù)唯一確定.

證明由性質(zhì)3及5可得

(3)

由式(2)可得

(4)

(5)

根據(jù)性質(zhì)5，對Φ(x)上每一個連續(xù)點(diǎn)x，當(dāng)y沿著Φ(x)的連續(xù)點(diǎn)趨于-∞時，有

(6)

綜合考慮式(5)及(6)，可知不確定分布函數(shù)在任意x處的取值由其連續(xù)點(diǎn)上的值x及其特征函數(shù)決定，即不確定分布函數(shù)具有唯一確定的特征函數(shù).

2 獨(dú)立不同分布不確定中心極限定理

證明對Φ(x)求導(dǎo)可得

即Φ(x)關(guān)于x單調(diào)遞增，并且Φ(x)在x∈(-∞,+∞)上連續(xù).

式中：r和θ為極坐標(biāo)參數(shù)，均為正實(shí)數(shù).

綜上所述，Φ(x)為正則不確定分布函數(shù)，記為G(μ,σ2)分布.

則對任意實(shí)數(shù)x，有

證明根據(jù)式(2)可知|eia-1|≤|a|.

當(dāng)a=0時有

|eia-1-ia|=|1-1|=0≤a2/2
|eia-1-ia+a2/2|=
|1-1|=0≤a3/6

當(dāng)a>0時有

|eia-1-ia|=

(7)

式中：o(x)為x的高階無窮小.

同理

當(dāng)a<0時，有

綜上,對于任意的實(shí)數(shù)a，有

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)式(10)及(11)，有

(12)

根據(jù)積分運(yùn)算法則，有

(13)

進(jìn)一步簡化，得

于是林德貝格條件轉(zhuǎn)化為：?τ>0，有

(14)

即在式(14)的條件下證明

(15)

則有

(16)

根據(jù)式(10)，有

(17)

根據(jù)式(8)，式(17)可化為

(18)

其中:1≤i≤n.

根據(jù)式(18)可知，?t∈[-T,T]，有

則有

(19)

當(dāng)n充分大時，根據(jù)式(19)有

(20)

由式(20)可知存在正整數(shù)M,當(dāng)n≥M時有

(21)

因此，在任意區(qū)間[-T,T],式(16)可展開為

(22)

由式(21)可得

由式(12)及(18)可得

(23)

(24)

由式(2)及(8)可得

(25)

當(dāng)τ足夠小時，必存在正實(shí)數(shù)ρ,使得

式(25)可化為

由式(12)可知，?t∈[-T,T]，有

由式(14)林德貝爾條件,存在正整數(shù)A及對應(yīng)的ρ>0,當(dāng)n≥A時，有

于是，?t∈[-T,T],有

|Γn(t)|<λ

(26)

根據(jù)式(26)，當(dāng)λ取足夠小的正實(shí)數(shù)時，有

于是式(24)轉(zhuǎn)化為

(27)

根據(jù)定理1，有

則對任意實(shí)數(shù)x，有

(28)

必存在實(shí)數(shù)κ>0及足夠小的正實(shí)數(shù)τ使得

根據(jù)不確定變量k階矩計算公式有

(29)

根據(jù)式(29)有

(30)

根據(jù)式(28)及式(30)有

根據(jù)定理3有

3 案例分析

新型坦克在裝備之前需經(jīng)過多次射擊進(jìn)行測試，某場測試中，按難易程度共設(shè)置10種標(biāo)靶，每種標(biāo)靶的數(shù)量為1.

記事件γi1為該坦克命中第i種標(biāo)靶,事件γi0為該坦克未命中第i種標(biāo)靶.定義不確定變量ξi如下：

ξi的方差為

M(γi1)-(γi1)2=M(γi1)(1-γi1)=

易知從ξ11開始的不確定變量都與ξ10同分布且相互獨(dú)立.當(dāng)κ=1時，驗(yàn)證不確定變量序列{ξn}滿足李雅普諾夫條件，有

M(γi1)M(γi0)3≤M(γi1)M(γi0)

于是有

即{ξn}滿足李雅普諾夫條件,可以使用定理3.

又因?yàn)?/p>

所以該坦克通過測試的信度為

1-Φ(0.362 7)=1-0.640 6=0.359 4

由此看出，該坦克通過測試的信度約為0.36，信度較低.坦克射擊精度測試需對不同類型的標(biāo)靶進(jìn)行瞄準(zhǔn)射擊，測試的總成績與每一次射擊結(jié)果密切相關(guān)，而且坦克的射擊精度受自身性能及外部環(huán)境等不確定因素的影響，若專家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)無法對坦克通過測試這一事件進(jìn)行較準(zhǔn)確的估計.因此，在處理該問題時，首先需利用不確定中心極限定理確定坦克通過測試這一事件服從的不確定分布，然后再進(jìn)行分析計算.

4 結(jié)語

本文針對獨(dú)立不同分布的不確定變量提出中心極限定理.首先定義了不確定分布的特征函數(shù)并給出了計算法則.然后將隨機(jī)理論中的正態(tài)分布引入到不確定理論并證明該分布的函數(shù)形式可以作為一個不確定分布.在此基礎(chǔ)上，提出了兩個獨(dú)立不同分布的不確定中心極限定理,可為不確定理論在現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用起到一定的促進(jìn)作用.