基于Hermite組合核EMD-WT-LSSVM的非平穩(wěn)非高斯風壓預測

李春祥，裴楊從琪，殷 瀟

(上海大學 土木工程系，上海 200444)

風荷載是高層、大跨結構建筑的主要設計荷載，掌握風場特性對于大跨結構抗風設計具有的重要意義.隨著統(tǒng)計理論與機器學習的快速發(fā)展，最小二乘支持向量機(Least Square Support Vector Machine,LSSVM)在解決小樣本、非線性及高維數(shù)問題中表現(xiàn)出泛化能力強、訓練速度快以及全局優(yōu)化等優(yōu)點.因此，眾多學者采用該方法預測結構風場的數(shù)據(jù)，利用已知的有限風壓時程樣本的特征信息進行訓練學習，再泛化外推獲得未知的風壓時程樣本息[1-2].

現(xiàn)有的風特性分析方法通常假定風荷載為平穩(wěn)高斯隨機過程.而已有的實測資料表明，復雜地形條件或強風場下，氣流容易發(fā)生較強的分離或旋渦運動.因此，風荷載通常表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)性，結構表面風壓概率分布呈現(xiàn)出強烈的非高斯隨機特征[3-5].該情況下，采用平穩(wěn)高斯模型進行抗風設計將會導致較大的分析誤差.本文將經(jīng)驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)與LSSVM結合，將實測風壓分解并通過具備良好時頻特性的小波變化(Wavelet Transform,WT)算法對分解所得的固有模態(tài)函數(shù)進行去噪.將去噪后的固有模態(tài)函數(shù)及剩余分量輸入最小二乘支持向量機進行訓練學習并預測重構出所需的風壓時程.

1 EMD-WT-LSSVM

1.1 EMD基本理論

經(jīng)驗模態(tài)分解法是1種適用于非線性非平穩(wěn)信號的新型自適應信號時頻處理方法.該方法將信號分解為少量滿足以下條件的固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Functions,IMF)：① 在整個數(shù)據(jù)集中，極值點的個數(shù)與穿零點的個數(shù)相等或兩數(shù)最大差值為1；②在任一點，由所有極大、極小值點形成的包絡均值為0.通過篩分過程將IMF分解，直至剩余分量(Rn)很小或為1個單調(diào)函數(shù).事實上，經(jīng)過多次篩分后，剩余分量周期大于樣本持時，信號頻率較低，可視為時變平均風壓成分，則非平穩(wěn)風壓時程P(t)可表示為

(1)

式中：n為分解序列數(shù)，N為總分解序列數(shù).

1.2 小波去噪

小波理論具備良好的時頻特性，在信號去噪中得到了廣泛應用并取得了良好的效果[7-8].高斯白噪聲在時間域沒有連續(xù)性，因此經(jīng)過小波變換后表現(xiàn)出很強的隨機性，而有效信號經(jīng)小波分解后小波系數(shù)較大，選取1個合適的閥值，大于閥值的小波系數(shù)可認為是有效信號產(chǎn)生的，應予以保留，小于閥值的小波系數(shù)則認為是噪聲產(chǎn)生的，將其置為0以達到去噪的目的.小波去噪的基本步驟包括信號的小波分解、高頻系數(shù)的閾值量化及信號的小波重構.本文選用db4小波母函數(shù)對各IMF信號進行兩層分解并提取系數(shù)，獲取各頻段閾值，并進行軟閾值處理.

1.3 LSSVM

給定一組訓練樣本集：T={(xi,yi)|xi∈Rn,yi∈R,i=1,2,…,N} ，其中xi為n維輸入向量的元素，yi為對應的訓練樣本輸出值，N為樣本數(shù).LSSVM利用非線性映射將樣本由輸入空間映射到高維特征空間，進一步尋找特征空間的線性關系以實現(xiàn)輸入空間的非線性處理，其線性回歸方程為

y(x)=ωTφ(x)+b

(2)

式中：φ(x)為非線性變換映射函數(shù)；ω為權向量；b為偏置量.基于SRM原則，LSSVM的目標優(yōu)化函數(shù)可描述為

(3)

式中：γ為正則化參數(shù)；ei為松弛因子，且式(3)滿足yi=ωTφ(xi)+b+ei.引入Lagrange乘數(shù)法求解函數(shù)的最小值：

(4)

式中：αi為Lagrange乘子.對(4)式求偏導：

(5)

消除式(5)中的ω和ei得

(6)

(7)

1.4 Hermite核函數(shù)及其組合核

由式(7)可知，核函數(shù)作為LSSVM預測算法的核心，其類型直接影響回歸模型的預測性能.因此，解決實際問題時，核函數(shù)的選取尤其重要.高斯核函數(shù)(Radial Basis Function,RBF)具備良好的學習性能，在模式識別及回歸預測等問題中被廣泛運用且取得了較好的效果[9-10]，其表達式為

(8)

式中：σ為核寬度.

Hermite多項式滿足以下遞推條件：

(9)

對于給定的權函數(shù)ω(x)=e-x2，Hermite多項式序列為正交序列，即當m≠n時，有：

(10)

對于非零向量x，上限為k時的Hermite核函數(shù)為[11]

(11)

?X×XK(x,xi)f(x)f(xi)dxdxi=

(12)

式中：X為任意的積分區(qū)域.可見，Hermite核函數(shù)為LSSVM允許核函數(shù).

n過大時，預測模型的計算量較大，由式(11)可得一階Hermite核函數(shù)為

K(x,xi)=1+4(x·xi)

(13)

可見，一階Hermite核函數(shù)為全局核函數(shù)，該函數(shù)的泛化能力強而學習性能較弱，因而將其與典型的局部RBF組合，使得組合核函數(shù)兼具局部核函數(shù)在小范圍內(nèi)的強擬合性與全局核函數(shù)在整個數(shù)據(jù)集中良好的外推能力，組合核函數(shù)為

K(x,xi)=

(14)

式中：g∈(0,1).

支持向量機核函數(shù)理論在完備的內(nèi)積空間中進行討論，線性加法在希爾伯特空間屬于封閉運算，根據(jù)Mercer核條件，核函數(shù)的線性組合仍為支持向量機允許核函數(shù).本文采用的3種核函數(shù)及核參數(shù)的范圍見表1.

表1 3種模型核函數(shù)及參數(shù)范圍Tab.1 Kernel function expressions and spans of parameters of three models

2 實測風壓數(shù)據(jù)及預測模型

對膜結構表面進行風壓實測研究，可為膜結構設計提供依據(jù)，同時確保了膜結構體系的安全[12].現(xiàn)對某體育中心膜結構的表面整體風壓進行風振實測研究，膜表面風壓測點布置如圖1所示，圖中紅圈內(nèi)風壓測點三維布置詳圖如圖2所示.每個測點的上、下位置分別安裝了風壓傳感器，以同步監(jiān)測膜上下表面的風壓時程.風壓數(shù)據(jù)采樣頻率為100 Hz，最大風速為11.59 m/s，風力等級達到6級，屬于強風級別.本文選取1、8和13測點實測風壓數(shù)據(jù)穩(wěn)定后500 s 內(nèi)的 1 000 個數(shù)據(jù)點風壓作為單點及空間點預測樣本數(shù)據(jù).實測風壓與經(jīng)EMD分解及小波去噪重構后的風壓(p)信號如圖3所示.

由圖3可見，EMD-WT方法保留了實測風壓序列的基本特征，消除了陡峭的極值，使重構后的風壓序列穩(wěn)定性得到較大提升.運用增廣的迪基-福勒(Augmented Dickey-Fuller，ADF)檢驗法檢驗時間序列的平穩(wěn)性.ADF檢驗表中不同置信水平(一般為1%、5%、10%)的臨界值分別為-2.567、-1.941以及-1.616，若測點風壓樣本ADF值大于上述臨界值，則表示該測點時間序列為非平穩(wěn)時間序列.

表2所示為1、8和13測點的ADF檢驗值，可以看出，3個測點處風壓樣本的檢驗值均大于臨界值，均為非平穩(wěn)時間序列，結合偏度(S)及峰度(K)見表3.由表3可知，3測點處風壓為典型的非平穩(wěn)非高斯時間序列.

文獻[13-14]首先將粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)應用于人工模擬鳥群的覓食行為，通過協(xié)同和競爭尋求粒子的最佳空間位置.采用粒子群算法對LSSVM正則化參數(shù)及表1中的核參數(shù)進行參數(shù)尋優(yōu)，γ∈[10-2,103]，種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為150.以Hermite組合核函數(shù)為例進行單點預測說明，其流程如圖4所示.首先，運用EMD將實測風壓序列分解為一系列相對平穩(wěn)的固有模態(tài)函數(shù)和1個剩余分量；其次，使用小波變換對每個固有模態(tài)函數(shù)進行去噪，將去噪后的固有模態(tài)函數(shù)及剩余分量作為樣本輸入，建立基于Hermit核函數(shù)及組合核的 PSO-LSSVM 的風壓預測算法得到預測風壓；最后，引入評價指標進行客觀評價分析.

圖1 風壓測點布置平面圖Fig.1 Wind pressure measuring points

表2 測點處ADF檢驗值Tab.2 Test value by ADF at measuring points

表3 測點處風壓的峰度和偏度Tab.3 Skewness and kurtosis of wind pressure at measuring points

圖4 單點風壓預測流程圖Fig.4 Flowchart of single point pressure prediction

圖5 1測點預測風壓及實際風壓時程圖對比Fig.5 Prediction of wind pressure and actual wind pressure time history diagram at Measuring Point 1

3 基于實測風壓的預測算法驗證

3.1 單點預測和魯棒性驗證

單點預測將EMD分解及小波去噪后的各IMF及Rn分為訓練集和預測集2部分，嵌入維度取10，則訓練集為490個10維向量，測試集為500個10維向量.將訓練集輸入LSSVM，構造出確定的輸入輸出關系，從而建立LSSVM風壓預測模型.將預測模型應用到預測集，分別使用3種預測模型對各IMF函數(shù)及Rn后250 s的風壓時程進行預測，將各分量預測結果疊加，得到1測點風壓序列的后250 s非平穩(wěn)風壓，預測結果如圖5所示.可以看出，3種模型的單點風壓預測結果較好，其中Hermite混合核模型較其余2種模型的單點風壓預測結果與實際風壓更為吻合，走向與實際風壓一致；而Hermite-LSSVM 的預測風壓吻合程度明顯優(yōu)于RBF-LSSVM 但較混合核模型仍有差距.此外，RBF核函數(shù)為典型的局部核函數(shù)，具有較強的學習能力，但泛化能力差，易限于局部最優(yōu)解.因此，在風壓脈動性強的極值處，RBF-LSSVM的預測值與實際風壓有較大誤差.Hermite核函數(shù)為全局核，在整個數(shù)據(jù)集內(nèi)具有良好的外推能力但對信號的局部擬合能力較弱，而組合核函數(shù)兼具全局核的泛化能力與局部核的學習能力，擬合性能更優(yōu).

圖6為1測點自相關函數(shù)對比圖.可以看出：組合核模型的脈動風壓與實際風壓脈動值的自相關性(M)比RBF-LSSVM與Hermite-LSSVM算法更高.圖7為1測點的脈動風壓功率譜(N)函數(shù)對比圖.可以看出，該實際風壓中低頻成分幅值較大，同時混合核預測模型在低頻和高頻段與實際風壓均更為接近，能更好地反映風壓場能量分布，進一步驗證此模型的良好預測性能.

圖6 1測點預測風壓及實際風壓自相關函數(shù)對比Fig.6 Comparison of predicted wind pressure and actual wind pressure autocorrelation function at Mea-suring Point 1

圖7 1測點預測風壓及實際風壓功率譜對比Fig.7 Comparison of predicted wind pressure and actual wind pressure power spectrum at Measuring Point 1

圖8 3種預測算法的預測性能評價指標對比Fig.8 Prediction performance indexes of three predicting algorithms

可以看出，Herinte+RBF-LSSVM模型的預測精度最高，性能最優(yōu)，相較于RBF-LSSVM模型，其MAE和RMSE值分別降低51.6%和47.0%，MAPE和RMSPE值分別降低58.3%和56.3%；較Hermite-LSSVM模型，其MAE、RMSE、MAPE和RMSPE也有不同程度的降低.3種模型的R值均大于0.9且Herinte+RBF-LSSVM模型的R值最大，表明其預測風壓與實際風壓的相關性最強.RBF-LSSVM、Hermite-LSSVM及Hermite+RBF-LSSVM 3種算法分別耗時273，324，358 s.未明顯延長時間消耗的前提下，Hermite+RBF-LSSVM 模型的單點風壓預測結果與實際風壓之間誤差最小，相關系數(shù)最高，可實現(xiàn)對單點風壓更高精度的預測，為風工程計算分析提供更準確的風壓時程.

為驗證預測模型的魯棒性，對青島西海岸的青島澤潤廣場超高層實測風壓進行預測.該建筑距離海邊大約3 km，場地粗糙度為A類.主樓為28層辦公樓，建筑總高度為113 m.主樓結構采用框架-剪力墻結構體系，平面布置呈長方形，長和寬分別為43.6和21.3 m.

圖9 風壓傳感器布置平面圖(mm)Fig.9 Layout plan of wind pressure sensor (mm)

對該建筑進行了3面6點的風壓現(xiàn)場實測.為了獲得在強臺風作用下超高層建筑的風壓特性，6個風壓傳感器(wps1-wps6)的布置如圖9所示，風向切入夾角為α.6個風壓傳感器模擬信號通過10 Hz低通抗混濾波器進入A/D轉(zhuǎn)換采集卡，采用20 Hz采樣率進行數(shù)據(jù)采集.

對6個測點時長500 s的實測風壓時間序列進行降采樣，降采樣因子為10，利用3種預測模型分別預測6個測點時間采樣序列后250 s的風壓.經(jīng)EMD分解及小波去噪重構后的風壓信號如圖10所示.表4為兩個測點處的ADF檢測值.可以看出，兩個測點處風壓樣本檢驗值均大于臨界值，故風壓樣本時間序列為非平穩(wěn)時間序列.1，2測點的S及K值見表5.從表5可知，1，2測點風壓樣本為典型的非平穩(wěn)非高斯隨機過程.

圖10 風壓樣本時程圖Fig.10 Time history of wind pressure samples

圖11～13分別為Hermite+RBF-LSSVM 的風壓時程曲線、自相關曲線及功率譜曲線.可以看出，Hermite+RBF-LSSVM較其余兩種模型的預測結果更接近實測風壓，與實測結果吻合度最高.

表6為3種預測算法的預測性能評價指標對比，混合核模型預測精度最高，誤差最小，在不同測點處均保持較高的預測性能.

表4 測點處ADF檢驗值Tab.4 Test value by ADF at measuring points

表5 測點處風壓的峰度和偏度Tab.5 Skewness and kurtosis of wind pressure at measuring points

圖11 預測風壓及實際風壓時程圖對比Fig.11 Prediction of wind pressure and wind pressure time history diagram

圖12 預測風壓及實際風壓自相關函數(shù)對比Fig.12 Comparison of predicted wind pressure and actual wind pressure autocorrelation function

圖13 預測風壓及實際風壓功率譜對比Fig.13 Comparison of predicted wind pressure and actual wind pressure power spectrum

表6 3種預測算法的預測性能評價指標對比Tab.6 Prediction performance indexes of three predicting algorithms

3.2 空間點預測

圖14 1測點的非平穩(wěn)風壓分量重構圖Fig.14 Figure of non-stationary wind pressure reconstruction at Measuring Point 1

表7 3個測點處各分量的游程總數(shù)Tab.7 Total number of runs for each intrinsic modal function at the three measuring points

圖15 空間點風壓預測流程圖Fig.15 Flowchart of space point pressure prediction

將3個測點時間長度為500 s的風壓實測序列劃分為訓練集和預測集，取風壓實測序列前250 s為訓練集，后250 s為預測集，利用訓練樣本集進行訓練學習，構造出確定的輸入輸出關系，從而建立LSSVM風壓預測模型，然后將預測模型應用到預測集，將1，13測點高頻、中頻以及低頻風壓數(shù)據(jù)分別作為輸入樣本，8測點風壓數(shù)據(jù)作輸出，對測點處高、中、低頻時間采樣序列后250 s風壓進行預測，同時給出RBF-LSSVM與Hermite-LSSVM的預測結果作為對比，預測結果如圖16所示.

圖19 3種預測算法的預測性能評價指標對比Fig.19 Prediction performance indexes of three predicting algorithms

由圖16可知，組合核預測模型較其余兩種模型效果更好，在空間點預測重構所得的非平穩(wěn)風壓能與8測點處的實際風壓更好地吻合.圖17為預測風壓與實測風壓自相關函數(shù)和互相關函數(shù)對比，圖中RBF-LSSVM的結果與實際風壓的自相關性存在較大偏差，而組合核預測結果與實際風壓的自相關性明顯更好.圖18為風壓及實際風壓的功率譜對比，可以看出，混合核模型的預測結果吻合程度明顯優(yōu)于其他兩種方法的吻合度.圖19中給出了3種模型的5種預測性能指標對比.可以看出，Hermite+RBF-LSSVM模型在空間風壓預測中精度最高，MAE、RMSE較RBF-LSSVM分別降低21.1%和25.6%，MAPE和RMSPE分別下降了39.2%和46.9%，較常用的RBF-LSSVM預測性能有較大提升.結合圖8和19可知，空間點風壓預測效果弱于單點預測，這是由于采用了不同測點處的風壓使得樣本相關性減弱，預測精度降低.

圖16 預測風壓及實際風壓時程圖對比Fig.16 Prediction of wind pressure and wind pressure time history diagram

圖17 預測風壓與實測風壓自相關函數(shù)和互相關函數(shù)對比Fig.17 Comparison of predictive wind pressure and actual wind pressure autocorrelation function and cross-correlation function

圖18 預測風壓及實際風壓功率譜對比Fig.18 Comparison of predicted wind pressure and actual wind pressure power spectrum

4 結論

本文運用3種預測模型對實測非平穩(wěn)非高斯風壓進行了單點及空間點預測.主要結論有：

(1)基于經(jīng)驗模態(tài)分解和小波去噪重構的EMD-WT-LSSVM方法對于非平穩(wěn)非高斯風壓預測行之有效，在單點和空間點風壓預測中均取得良好的效果；

(2)基于Hermite核函數(shù)與RBF核函數(shù)的組合核預測模型是一種穩(wěn)定高精度模型，其在單點和空間點預測結果均優(yōu)于Hermite-LSSVM及常用的RBF-LSSVM預測模型，處理非線性問題的能力更強，具備較高的工程應用價值.