基于Thomas 簇過程的異構(gòu)蜂窩網(wǎng)能量效率分析

金明錄，郭楠

（大連理工大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

近年來，人們對蜂窩數(shù)據(jù)的需求迅速增長，未來移動網(wǎng)絡(luò)必將朝著異構(gòu)的方向發(fā)展，即支持密集低功率小小區(qū)和低密度高功率基站共存。以用戶為中心的小小區(qū)部署正在成為未來無線架構(gòu)的重要組成部分[1]。隨著世界經(jīng)濟的飛速發(fā)展，全球氣候變暖和能源消耗不斷加劇，節(jié)能減排綠色發(fā)展已經(jīng)成為全球性的重要議題，通信基站節(jié)能是通信企業(yè)節(jié)能減排的重要前沿陣地。在異構(gòu)蜂窩網(wǎng)（HCN,heterogeneous cellular network）基站部署階段需要更多地考慮能量消耗的問題，因此為了減少功率消耗，最近的很多研究都基于泊松點過程（PPP,poisson point process）空間模型來設(shè)計基站休眠算法[2]和參數(shù)優(yōu)化方法[3-4]。

常見的分析蜂窩網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)工具是隨機幾何理論，使用PPP 隨機且獨立地建?；竞陀脩粼O(shè)備的位置。文獻(xiàn)[5]在PPP 模型下，結(jié)合偏置接收功率的小區(qū)擴展的關(guān)聯(lián)策略，推導(dǎo)出下行信道的中斷概率和平均吞吐量。文獻(xiàn)[6]考慮超密集部署小基站，在最大平均接收功率的連接策略下，得出基站部署的各個參數(shù)與能量效率的關(guān)系。然而，上述方法假設(shè)基站和用戶設(shè)備的位置是完全獨立的，這并不十分準(zhǔn)確。實際中，在住宅區(qū)、商務(wù)辦公區(qū)、重大活動中心等位置，用戶很容易出現(xiàn)聚簇，導(dǎo)致基站和用戶之間有相關(guān)性。無線網(wǎng)絡(luò)中，一些用戶通常會聚集的特定區(qū)域被稱為用戶熱點區(qū)域。針對移動用戶的聚簇分布問題，可以使用泊松簇過程（PCP,poisson cluster process）來建模，這樣更加接近真實通信場景。因為PCP 可以捕獲鄰近點之間的吸引力，所以也被擴展在很多其他的應(yīng)用場景中，如毫米波通信[7]和D2D（device to device）通信[8]。文獻(xiàn)[9]分別推導(dǎo)了用戶服從Thomas 簇過程和Matern 簇過程的覆蓋概率，但是沒有考慮小區(qū)擴展可以給網(wǎng)絡(luò)能量效率帶來增益。不同于用戶分布模型PCP[7,9]，文獻(xiàn)[10-11]將小基站建模為 PCP，在一個三層HCN[10]中，建模每一層基站為Neyman-Scott 簇過程，基于最大瞬時信號干擾噪聲比的小區(qū)選擇機制得到中斷概率的表達(dá)式。小基站服從Matern 簇過程，文獻(xiàn)[11]得到中斷概率及數(shù)據(jù)速率的表達(dá)式。

在近年的研究工作中，文獻(xiàn)[12-14]受3GPP 啟發(fā)，開發(fā)了PCP 和PPP 建模用戶-基站的統(tǒng)一框架。與其相似，本文也給出了用戶-基站耦合的模型框架，不同之處在于本文是基于最大平均偏置接收功率（max-BRP,max mean bias received signal power）的關(guān)聯(lián)策略，而文獻(xiàn)[12]考慮最大信號干擾比（SIR,signal to interference ratio）關(guān)聯(lián)，文獻(xiàn)[13]考慮最大功率關(guān)聯(lián)。在max-SIR 關(guān)聯(lián)中，不必考慮用戶到服務(wù)基站的距離分布。本文提供了典型用戶覆蓋概率的易于計算的表達(dá)式和精確分析，即在覆蓋概率的完整表達(dá)式上做出了貢獻(xiàn)。文獻(xiàn)[15]假設(shè)宏基站模型為PPP，小基站和用戶根據(jù)不同的函數(shù)成簇分布。與文獻(xiàn)[15]設(shè)置不同的是，本文認(rèn)為未來5G 網(wǎng)絡(luò)中，小基站的密集部署不僅是在人員密集的場所，在宏小區(qū)的邊緣同樣需要部署更多的小基站來提高小區(qū)的覆蓋性能和邊緣用戶的通信質(zhì)量，增加網(wǎng)絡(luò)的容量。小基站具有靈活性，可在任意地方部署，因此，小基站的分布近似于均勻PPP，由此可知本文的設(shè)置是合理的，也是易于分析的。同時，本文的模型可以擴展到基于最近基站關(guān)聯(lián)策略[14]的網(wǎng)絡(luò)中，得到此時的關(guān)聯(lián)概率和覆蓋概率。本文給出了網(wǎng)絡(luò)能量效率的定義，并在仿真分析部分與最近基站關(guān)聯(lián)策略進行比較。從結(jié)果上看，max-BRP 關(guān)聯(lián)策略在提高能量效率上有一定的優(yōu)勢。本文的創(chuàng)新點如下。

1)本文給出了以用戶為中心的用戶熱點模型框架，利用Thomas 簇過程建模小基站內(nèi)的用戶位置，應(yīng)用max-BRP 關(guān)聯(lián)策略均衡宏基站和小基站的負(fù)載，該策略鼓勵宏基站用戶與負(fù)載較輕的小基站相關(guān)聯(lián)，減少功率消耗，增加網(wǎng)絡(luò)容量。

2)本文利用隨機幾何理論和概率論推導(dǎo)出典型用戶的關(guān)聯(lián)概率、覆蓋概率和整個網(wǎng)絡(luò)的能量效率。本文的數(shù)學(xué)推導(dǎo)具有一般性，可以擴展到基于最近基站的關(guān)聯(lián)策略上。

3)本文給出了K層HCN 基于PCP 模型的詳細(xì)數(shù)值分析。為了驗證分析，將數(shù)值計算結(jié)果與蒙特卡洛仿真結(jié)果進行了比較，證明了本文分析是正確的。同時，比較了max-BRP 關(guān)聯(lián)策略和最近基站關(guān)聯(lián)策略下的能量效率，結(jié)果表明max-BRP 關(guān)聯(lián)策略在提高能量效率上有一定的優(yōu)勢。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個K層的下行HCN，每一層基站的分布都是獨立同分布的PPP，第k層基站的部署依據(jù)密度為λk的均勻PPPΦk進行建模。假設(shè)用戶以一個特定的小小區(qū)基站為中心成簇分布，用戶的位置是該基站的一個子點過程，建模為Thomas 簇過程Φu，在第κ(κ=1,…,K)層網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)每個小小區(qū)基站周圍有n個用戶，且服從方差為的高斯分布。用戶位置用向量z表示，則向量z的概率密度函數(shù)（PDF，probability density function）為

為了分析方便，假設(shè)典型用戶處于原點，用戶所在的小小區(qū)基站標(biāo)記為第0 層，記K={0,1,…,K}，k∈K，平面上所有基站的集合表示為信號經(jīng)歷大尺度路徑損耗和小尺度瑞利衰落信道，在典型用戶的位置上，來自服務(wù)基站的接收功率為BkPkhk||x||-α。其中，Bk表示第k層偏置因子，偏置因子的設(shè)置影響著用戶更愿意接入哪一層網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)Bk=1 時，當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)無偏置，當(dāng)Bk＞1 時，小區(qū)覆蓋范圍得到擴展；Pk為第k層基站的信號傳輸功率；hk為小尺度衰落系數(shù)；x為基站的坐標(biāo)，||x||為典型用戶與服務(wù)基站之間的歐氏距離；α(α＞2)為路徑損耗指數(shù)。在瑞利衰落下，hk～ exp(1)。典型用戶根據(jù)max-BRP來選擇關(guān)聯(lián)的基站，則服務(wù)基站的位置x*表示為

值得注意的是，在沒有小尺度衰落的情況下，就歐幾里得距離而言，在第k層網(wǎng)絡(luò)中，候選服務(wù)基站將是最接近典型用戶的基站。用戶在平面上與基站的距離是通信的關(guān)鍵影響因素，假設(shè)典型用戶與第k層候選服務(wù)基站之間的歐氏距離為rk。r0服從瑞利分布，其PDF 和互補累積分布函數(shù)（CCDF,complementary cumulative distribution function）分別為

考慮干擾受限網(wǎng)絡(luò)，忽略噪聲影響。假設(shè)典型用戶與服務(wù)基站的距離為Rk，則認(rèn)為此變量是用戶在關(guān)聯(lián)到第k層的條件下的服務(wù)距離，典型用戶接收到的第k層服務(wù)基站xk的SIR 為

其中，j表示第j層網(wǎng)絡(luò)，i表示第i個基站，Yji表示典型用戶到第j層第i個基站的歐氏距離。

3 覆蓋概率

本節(jié)重點關(guān)注網(wǎng)絡(luò)異構(gòu)拓?fù)湎碌母采w概率。網(wǎng)絡(luò)中覆蓋概率的定義為用戶成功解碼基站下行信號的概率，數(shù)學(xué)上可表示為Pr(SIR＞β)，其中β為SIR 的閾值門限。覆蓋概率是衡量網(wǎng)絡(luò)性能的一個重要通信指標(biāo)，對覆蓋概率取對數(shù)可以得到平均數(shù)據(jù)速率，此時覆蓋概率可以解釋為平均數(shù)據(jù)速率γ(β)=lb(1+β)可達(dá)的概率。首先，推導(dǎo)典型用戶被第k層基站服務(wù)的關(guān)聯(lián)概率；然后，推導(dǎo)關(guān)聯(lián)第k層的條件下，典型用戶與服務(wù)基站之間距離的PDF；最后，得到選定關(guān)聯(lián)層和此關(guān)聯(lián)層基站成功解碼用戶數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率，定義網(wǎng)絡(luò)總覆蓋概率為所有層的聯(lián)合概率之和，據(jù)此推導(dǎo)出覆蓋概率的精確表達(dá)式。

定理1在K層HCN 用戶熱點地區(qū)中，第k層網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)概率為

分別考慮k=0 和k≠0 這2 種情況。當(dāng)k=0 時，有

其中，步驟(a)進行變量代換，ζ=r2。

當(dāng)k≠0 時，有

其中，步驟(b)同樣進行了變量代換ζ=r2。

證畢。

從定理1 可以看出，用戶選擇的關(guān)聯(lián)基站與其所處的平面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)強相關(guān)。用戶分布方差、基站密度、信號發(fā)送功率、偏置因子和路徑損耗程度都影響著用戶的基站選擇。

引理1典型用戶與其服務(wù)基站之間距離Rk的PDF 為

證明Rk被認(rèn)為是用戶在關(guān)聯(lián)到第k層的條件下的服務(wù)距離，所以，Pr(Rk＞y)=Pr(rk＞y|{Ak})=，其中，{Ak}記為用戶關(guān)聯(lián)第k層的事件。聯(lián)合概率為

分別考慮k=0 和k≠0 這2 種情況。當(dāng)k=0 時，有

由式(13)和A0可以推導(dǎo)出R0的CCDF，對其求導(dǎo)得到的PDF 表達(dá)式為

當(dāng)k≠0 時，有

同理，可以得到Rk(k≠0)的 PDF 為

結(jié)合2 種情況，整理可得引理1。

證畢。

定理2在K層HCN 中，用戶建模為小基站的子點過程，且用戶與提供最大平均偏置接收功率的基站相關(guān)聯(lián)，每層網(wǎng)絡(luò)的覆蓋概率和網(wǎng)絡(luò)總覆蓋概率Pcov(β)的精確表達(dá)式為

證明引入隨機變量Ik表示第k層網(wǎng)絡(luò)的干擾信號，則各層的覆蓋概率為

其中，步驟(c)的依據(jù)是hk服從均值為1的指數(shù)分布，LI(s)是在s處評估的隨機變量I的拉普拉斯變換，定義式為LI(s)=E[e-sI]。當(dāng)k=0 時，令，則有

其中，步驟(d)是根據(jù)概率生成函數(shù)（PGFL,probability generating functional）得到的，第j層最近的干擾源的距離至少是；步驟(e)中進行了變量代換，干擾的拉普拉斯變換整理為

將式(19)和式(11)代入式(17)，得到一個簡單的表達(dá)式。當(dāng)k≠0 時，令，有

服務(wù)基站位于第k層，所以第0 層的基站變成了干擾源，干擾距離大于，結(jié)合式(3)和式(4)，有，其中，

式(22)的推導(dǎo)過程與式(18)相同，進一步整理得到

最后，將式(23)與式(11)代入式(17)，即可證得每層網(wǎng)絡(luò)的覆蓋概率。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的總覆蓋概率定義式，可以很容易地得到式(16)。

證畢。

4 能量效率

對于任何通信系統(tǒng)，信道容量都是非常重要的度量指標(biāo)。本節(jié)將重點研究典型用戶在K層HCN中可實現(xiàn)的遍歷速率和覆蓋下的平均數(shù)據(jù)速率，并通過信道容量得到能量效率這一衡量指標(biāo)。

1)遍歷速率（平均數(shù)據(jù)速率）

遍歷速率表示所有信道狀態(tài)的平均數(shù)據(jù)速率，具體用在快衰落信道中。本文假設(shè)使用了容量可實現(xiàn)編碼，因此香農(nóng)容量可達(dá)。香農(nóng)公式為γk=lb(1+SIRk(xk))，單位為bit/(s·Hz)，記χ=SIRk(xk)為第k層服務(wù)基站提供的SIR，可以通過求期望得出遍歷速率為

因此，求χ的CCDF 是推導(dǎo)遍歷速率的關(guān)鍵。

2)覆蓋下的平均數(shù)據(jù)速率

在已經(jīng)獲取覆蓋或中斷信息的前提下，運營商希望知道可以向覆蓋范圍內(nèi)的用戶提供的平均數(shù)據(jù)速率。根據(jù)香農(nóng)公式，用戶覆蓋下的平均數(shù)據(jù)速率定義為單位為bit/(s·Hz)，其中，表示用戶處于第k層覆蓋范圍內(nèi)（用戶可以成功解碼下行數(shù)據(jù)）的事件。

命題1在K層HCN 中，第k層遍歷速率（平均數(shù)據(jù)速率）為

證明遍歷速率是在已知與第k層網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)的條件下求香農(nóng)公式，所以有

從式(28)可以看出，將式(17)中變量β替換為2t-1，根據(jù)類似的推導(dǎo)過程，可直接得到干擾的拉普拉斯變換為

將式(29)代入式(27)即可證得命題1。

證畢。

命題2在K層HCN 中，已知用戶處于第k層覆蓋范圍內(nèi)，則平均數(shù)據(jù)速率為

證明根據(jù)平均數(shù)據(jù)速率的定義式，有

對式(25)進行分段積分，即可得到式(30)。

證畢。

在異構(gòu)蜂窩網(wǎng)絡(luò)中，第k層基站的功率消耗模型由兩部分組成，分別是靜態(tài)功率消耗P0k和發(fā)射功率消耗Pk，其中，靜態(tài)功率消耗包括基站的信號處理進程、電池備份和設(shè)備冷卻等，發(fā)射功率消耗與靜態(tài)功率消耗是互相獨立的兩部分。根據(jù)系統(tǒng)模型，每個基站的總功率消耗可以表示為Pk=P0k+ξkPk，其中，ξk代表與基站的流量負(fù)載正相關(guān)的功耗系數(shù)，所以有ξk=。全網(wǎng)平均網(wǎng)絡(luò)吞吐量定義為，能量效率被定義為平均網(wǎng)絡(luò)吞吐量與平均網(wǎng)絡(luò)功耗之比，如式(32)所示，單位是bit/(J·Hz)。

5 仿真分析

本節(jié)對系統(tǒng)模型及推導(dǎo)的表達(dá)式分別采用蒙特卡洛及數(shù)值積分的方法進行仿真分析，使用的仿真工具是Matlab。宏基站為第一層，其他層為微基站、微微基站和毫微微基站等小基站。仿真區(qū)域是半徑為3 000 m 的圓形區(qū)域，蒙特卡洛次數(shù)為4 000 次。沒有特殊說明時，仿真參數(shù)如下：小基站用戶數(shù)n=10，路徑損耗指數(shù)α=3，基站密度（單位為m-2）λ1=4×10-6m-2，λ0=λ2=5×10-5m-2，基站靜態(tài)功率P00=P02=6 W，P01=130 W，各層偏置因子為1。

圖1 為用戶關(guān)聯(lián)概率與用戶分布標(biāo)準(zhǔn)差（代表簇的大?。┑年P(guān)系，仿真參數(shù)為K=κ=2，P1=226.4 W，P0=P2=12.22 W，仿真結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的重合驗證了推導(dǎo)的關(guān)聯(lián)概率式是精確的?？梢钥闯?，隨著簇越來越大，用戶越來越分散，第0 層基站服務(wù)用戶的概率越來越小，當(dāng)σu大于75 時，關(guān)聯(lián)概率變?yōu)樽钚　６? 層基站服務(wù)用戶的概率一直大于第1 層，這是因為小小區(qū)基站密集部署于用戶周圍，宏基站距離用戶很遠(yuǎn)，小基站的信號經(jīng)歷的大尺度衰落遠(yuǎn)比宏基站的小，所以用戶有更大的概率選擇關(guān)聯(lián)小基站。當(dāng)σu→∞時，可以認(rèn)為簇大小趨于無窮，在整個平面上呈現(xiàn)高斯分布（近似PPP 分布），相當(dāng)于用戶沒有集群分布，此時關(guān)聯(lián)概率趨于一個常數(shù)。

圖1 用戶分布標(biāo)準(zhǔn)差對各層關(guān)聯(lián)概率的影響

圖2 為不同簇大小對覆蓋概率的影響，仿真參數(shù)為K=κ=2，P1=226.4 W，P0=P2=12.22 W，β=1。同樣可以看出，仿真結(jié)果緊密地貼合數(shù)值結(jié)果，證明了覆蓋概率式的正確性。圖2 中第0 層的覆蓋概率最大，其他層的覆蓋概率理論曲線相重疊，說明了基站PPP 模型下的覆蓋概率與k和基站密度無關(guān)。全網(wǎng)的覆蓋概率Pcov在σu很小時趨向于第0層；當(dāng)σu逐漸增大時，由于第0 層關(guān)聯(lián)概率減小，全網(wǎng)覆蓋概率趨向于非0 層；當(dāng)σu→∞時，全網(wǎng)覆蓋概率則與非0 層覆蓋概率一致，該結(jié)論可參考文獻(xiàn)[5]的推論2。

圖2 用戶分布標(biāo)準(zhǔn)差對覆蓋概率的影響

圖3 給出了不同α對網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)概率和覆蓋概率的影響。圖 3(a)中的仿真參數(shù)為K=κ=3，，λ2=5λ1，λ0=λ3=10λ1，P1=200 W，P2=2 W，P0=P3=0.2 W，σu=50。第0 層的關(guān)聯(lián)概率隨著α的增大迅速提高，第2、3 層的關(guān)聯(lián)概率也小幅度地相應(yīng)增加，而第1 層關(guān)聯(lián)概率快速減小。根據(jù)定理1 分析可知，具有最大發(fā)送功率的宏基站層隨著α增大，關(guān)聯(lián)概率會大幅度減小，而具有最小發(fā)送功率的第0 層和第K層的關(guān)聯(lián)概率會隨著α的增大而有所提高。圖3(b)中的仿真參數(shù)為K=κ=2，σu=50，P1=226.4 W，P0=P2=12.22 W。首先，可以看出第0 層覆蓋概率高于其他層，非0 層覆蓋概率重疊在一起，原因是每一層基站都服從PPP 分布，隨機用戶有相同的SIR 分布。其次，圖3(b)中比較了max-BRP 和最近基站2 種關(guān)聯(lián)模型下的覆蓋概率，可以看出當(dāng)β＜10 dB 時，max-BRP 的全網(wǎng)覆蓋概率更高，隨著β變大，最近基站關(guān)聯(lián)下的覆蓋概率逼近本文所用模型下的覆蓋概率。最后可以看出，網(wǎng)絡(luò)的整體覆蓋概率隨著α的增大而增加，這是因為當(dāng)大尺度衰落變大時，用戶在平面中受到來自非服務(wù)基站的干擾會大幅減小，有用信號的損失小于干擾減小，所以在高樓林立、樹木蔥郁且地形復(fù)雜的城市中，熱點地區(qū)的網(wǎng)絡(luò)性能最終會得以提高。

圖3 不同α 對關(guān)聯(lián)概率和覆蓋概率的影響

圖4 對兩層HCN 能量效率的影響

6 結(jié)束語

本文在以用戶為中心的HCN 中，主要研究了熱點地區(qū)的覆蓋概率和能量效率。假設(shè)用戶服從Thomas簇過程，隨機選取一個用戶，采用max-BRP 進行通信，推導(dǎo)出該用戶的關(guān)聯(lián)概率、覆蓋概率，以及整個網(wǎng)絡(luò)的能量效率表達(dá)式。然后通過數(shù)值仿真分析，驗證了表達(dá)式的準(zhǔn)確性，說明了本文的推導(dǎo)工作可以給未來的網(wǎng)絡(luò)部署提供理論指導(dǎo)。最后仿真結(jié)果表明，與最近基站關(guān)聯(lián)相比，設(shè)置合適的偏置因子，可以使用戶更多地接入低功率小基站，提高無線資源利用率，進而大大提高網(wǎng)絡(luò)的能量效率，達(dá)到綠色通信的目的。