基于復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的盲均衡算法

楊凌，陳亮，趙臏，張國(guó)龍，李媛

（蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

1 引言

自1975 年Sato[1]提出盲均衡的概念后，盲均衡理論和方法得到了學(xué)術(shù)界廣泛的研究。其中，Bussgang 類盲均衡算法，如常模算法（CMA,constant modulus algorithm）[2]、多模算法（MMA,multi-modulus algorithm）[3-4]等，因其原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)健性好、對(duì)不同系統(tǒng)的適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用[5]。近年來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論廣泛用于通信系統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的方法被用來(lái)建立濾波器與輸入數(shù)據(jù)之間的回歸關(guān)系[6]。

支持向量機(jī)（SVM,support vector machine）[7]是建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法[8]，其已成為一種處理涉及非線性的分類和回歸問題的流行工具[9]。Santamaría 等[10]首次提出將常模信號(hào)的誤差函數(shù)代入支持向量機(jī)的框架，用迭代重加權(quán)二次規(guī)劃（IRWQP,iterative reweighted quadratic programming）方法實(shí)現(xiàn)了線性信道下實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)信號(hào)以及非線性信道下實(shí)數(shù)信號(hào)的批量盲均衡。Lázaro 等[11]提出用迭代重加權(quán)最小二乘（IRWLS,iterative reweighted least square）方法求解線性信道下支持向量回歸機(jī)盲均衡器的抽頭系數(shù)，極大減少了計(jì)算復(fù)雜度。Sun[12]結(jié)合CMA 提出了基于支持向量回歸機(jī)的MIMO 系統(tǒng)盲源分離與均衡方法，并在文獻(xiàn)[13]中進(jìn)一步引入 MMA 加以改進(jìn)，能較好地實(shí)現(xiàn)MIMO 系統(tǒng)線性信道下高階QAM 信號(hào)的盲恢復(fù)。Giacoumidis 等[14]將文獻(xiàn)[11]的算法應(yīng)用于相干正交頻分復(fù)用光通信（CO-OFDM,coherent optical orthogonal frequency-division multiplexing）系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了單通道16QAM 信號(hào)和多通道QPSK 信號(hào)的盲均衡。上述基于支持向量回歸機(jī)（SVR,support vector regression）的盲均衡算法處理復(fù)數(shù)信號(hào)時(shí)，首先進(jìn)行實(shí)數(shù)化處理，然后在實(shí)數(shù)域的希爾伯特空間內(nèi)對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行解析，并用實(shí)數(shù)核建立輸入與輸出映射關(guān)系的模型。然而，文獻(xiàn)[9]指出，這種處理方式丟失了信號(hào)在復(fù)數(shù)域存在的幾何特征。

針對(duì)上述算法處理復(fù)數(shù)信號(hào)的不足，本文提出基于復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)（CSVR,complex support vector regression）的盲均衡算法，將MMA 的誤差函數(shù)代入CSVR 的框架構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，并結(jié)合廣泛線性估計(jì)[15]建立均衡器輸出信號(hào)與均衡器輸入信號(hào)映射的回歸關(guān)系，利用Wirtinger 微積分[16]直接在復(fù)數(shù)再生核希爾伯特空間對(duì)復(fù)數(shù)信號(hào)進(jìn)行解析，求解代價(jià)函數(shù)的鞍點(diǎn)。為降低計(jì)算代價(jià)，采用IRWLS 方法確定均衡器的抽頭系數(shù)[17]。

2 盲均衡系統(tǒng)模型

等效基帶盲均衡系統(tǒng)框圖如圖1 所示。其中，sn表示信號(hào)源發(fā)送的長(zhǎng)度為N的獨(dú)立同分布調(diào)制信號(hào)（n=1,2,…,N）。信道模型為有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)濾波器，表示為，Lh為信道長(zhǎng)度。令υn表示發(fā)送信號(hào)經(jīng)過信道時(shí)引入的高斯白噪聲，發(fā)送信號(hào)經(jīng)過信道之后可表示為

其中，*表示卷積。

均衡器的作用是構(gòu)建一個(gè)逆濾波器，使

其中，wn表示均衡器抽頭系數(shù)，δn表示單位抽樣序列。

圖1 等效基帶盲均衡系統(tǒng)框圖

均衡器輸出信號(hào)yn為

在不考慮噪聲的理想情況下，yn可以表示為

經(jīng)過決策器判決之后，理想的輸出信號(hào)zn為發(fā)送信號(hào)sn經(jīng)過d時(shí)間單位的延遲。

實(shí)際應(yīng)用中，由于均衡器抽頭系數(shù)的長(zhǎng)度Lw有限，并且均衡器輸入信號(hào)xn總會(huì)含有噪聲，一般不能獲得輸出信號(hào)zn的準(zhǔn)確值。所以，需用yn和sn計(jì)算誤差en，并根據(jù)en自適應(yīng)調(diào)節(jié)均衡器抽頭系數(shù)。

在發(fā)送信號(hào)xn未知的情況下，常用xn的先驗(yàn)信息，如二階或高階統(tǒng)計(jì)量估計(jì)en，并結(jié)合盲均衡算法調(diào)節(jié)均衡器抽頭系數(shù)，即得到盲均衡器。

3 復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)

支持向量機(jī)的優(yōu)勢(shì)在于僅用較少的數(shù)據(jù)樣本即可獲得良好的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)[18]。復(fù)數(shù)支持向量機(jī)是支持向量機(jī)處理復(fù)數(shù)信號(hào)的推廣，具體數(shù)學(xué)描述如下。

假設(shè)訓(xùn)練序列數(shù)據(jù)具有如下形式。

其中，?=Cv表示輸入向量空間，× 表示向量的叉乘。因?yàn)閦n是復(fù)數(shù)，所以可以寫成實(shí)部和虛部相加的形式，即。這里，r 和i 分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，j 表示虛數(shù)單位。同理，。通過特征映射ΦC，將數(shù)據(jù)從輸入空間?變換到復(fù)希爾伯特空間H，此時(shí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)表示為

傳統(tǒng)的復(fù)數(shù)線性回歸函數(shù)為

其中，w∈H表示變量f的系數(shù)向量。

廣泛線性估計(jì)函數(shù)為

其中，w,v∈H，w和v分別表示變量f和變量f共軛的系數(shù)向量，c∈C。

不同于傳統(tǒng)的復(fù)數(shù)線性回歸函數(shù)，使用廣泛線性估計(jì)函數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)希爾伯特空間的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，其優(yōu)點(diǎn)是即使求解的回歸函數(shù)T(f)在某一點(diǎn)的值與訓(xùn)練數(shù)據(jù)dn有ε大小的偏離，函數(shù)T(f)也會(huì)盡可能平滑[9]。

建立定義在輸入空間?的回歸函數(shù)如式(5)所示。

類似支持向量回歸機(jī)的結(jié)構(gòu)，建立復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)框架如式(6)所示。

其中，C為懲罰因子，用于權(quán)衡經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和模型復(fù)雜度；ε為不敏感損失因子為非負(fù)松弛因子。

利用拉格朗日乘子法和KKT 條件將式(6)轉(zhuǎn)化為如下的對(duì)偶問題。

為利用鞍點(diǎn)條件，采用文獻(xiàn)[16]的Wirtinger 微積分對(duì)復(fù)變量的共軛在復(fù)數(shù)希爾伯特空間內(nèi)進(jìn)行解析。

對(duì)于實(shí)變量，求解梯度的方法與傳統(tǒng)方法一樣。

在鞍點(diǎn)處，所有的梯度均應(yīng)為零，故有

由式(10)可以看出，當(dāng)誘導(dǎo)核選為實(shí)數(shù)核時(shí)，復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)可以等效為2 個(gè)支持向量回歸機(jī)。用對(duì)偶因子(-an)表示的支持向量處理回歸函數(shù)g(z)的實(shí)部，用對(duì)偶因子(-bn)表示的支持向量處理回歸函數(shù)g(z)的虛部；當(dāng)誘導(dǎo)核為復(fù)數(shù)核時(shí)，表示同時(shí)處理回歸函數(shù)g(z)的實(shí)部和虛部。

當(dāng)式(10)中的誘導(dǎo)核選為線性核時(shí)，g(z)建立的回歸關(guān)系是線性的，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的解為線性解；當(dāng)誘導(dǎo)核選為非線性核時(shí)，g(z)表示的回歸關(guān)系是非線性的，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的解為非線性解。通過不同誘導(dǎo)核的選擇，可將線性解和非線性解統(tǒng)一在復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的框架下。

復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的求解過程與支持向量回歸機(jī)的求解過程非常類似，不同之處在于，復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)采用廣泛線性估計(jì)建立回歸關(guān)系，求解鞍點(diǎn)時(shí)采用Wirtinger 微積分對(duì)復(fù)變量的共軛求導(dǎo)。此外，復(fù)數(shù)支持向量機(jī)用復(fù)數(shù)核的誘導(dǎo)核進(jìn)行非線性映射。

4 算法描述

在支持向量回歸機(jī)的框架下，對(duì)于線性信道的盲均衡，通過式(11)建立回歸關(guān)系[10-14]。

其中，xn和yn分別表示均衡器的第n個(gè)輸入信號(hào)和第n個(gè)輸出信號(hào)；（n=1,2,…,N）；w表示均衡器的抽頭系數(shù)向量。

處理非線性信道的盲均衡問題時(shí)，則需要采用核技巧[10]，通過式(12)建立回歸關(guān)系。

其中，Φ(?)表示非線性映射函數(shù)。

由式(11)和式(12)可以看出，在支持向量回歸機(jī)的框架下，解決線性信道和非線性信道的盲均衡問題需要分別建立不同的回歸關(guān)系式。

而采用復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)處理盲均衡問題與支持向量回歸機(jī)不同。在復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的框架下，可通過廣泛線性估計(jì)構(gòu)造回歸關(guān)系，如式(13)所示。

其中，w和v分別表示均衡器的2 個(gè)抽頭系數(shù)向量，表示從均衡器輸入信號(hào)向量空間Г到復(fù)數(shù)希爾伯特空間H 的特征映射。求解均衡器系數(shù)時(shí)，為避免優(yōu)化過程中總是取得平凡解，取c=0。

為有效解決復(fù)數(shù)信號(hào)的盲均衡問題，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)如式(14)所示。

其中，ε-不敏感損失函數(shù)Lε定義如下。

將MMA 的誤差函數(shù)代入式(15)，即令

其中，有

對(duì)式(14)的優(yōu)化求解，可采用迭代重加權(quán)二次規(guī)劃（IRWQP）方法[10]，考慮到IRWQP 的計(jì)算復(fù)雜度較高[11]，本文采用迭代重加權(quán)最小二乘（IRWLS）方法[17]求解，具體過程如下。

對(duì)式(14)做一階泰勒展開，并取二次估計(jì)表示為

式(19)可以化簡(jiǎn)為

其中，有

CTE 是一個(gè)與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)。

式(20)是式(14)的二次估計(jì)式，在w=wk、v=vk處，且。因此，對(duì)代價(jià)函數(shù)J(w,v)定義一個(gè)下降方向，其中ws和vs是式(20)的最小二乘解（LS,least squares solution），并依該下降方向使用梯度下降搜索方法[17]求解式(14)的最小值，即

其中，ηk為步長(zhǎng)，采用回溯搜索方法[19]迭代計(jì)算均衡器系數(shù)。

為求解ws和vs，應(yīng)用Wirtinger 微積分，將式(20)分別對(duì)共軛變量w*和v*求解梯度向量。

求得

將式(23)代入式(13)，得到式(24)。

將式(24)中復(fù)數(shù)希爾伯特空間內(nèi)積用核函數(shù)進(jìn)行替換，即令

得到均衡器第k個(gè)輸出信號(hào)如式(26)所示。

上述基于CSVR 框架，并采用迭代重加權(quán)最小二乘（IRWLS）法求解的盲均衡算法簡(jiǎn)稱為CSVR-IRWLS，算法流程如下。

步驟1初始化w0，v0，選取核函數(shù)，用式(13)計(jì)算yn；用式(17)計(jì)算誤差，式(21)計(jì)算系數(shù)αn、βn；令k=0，初始化ηk。

步驟2利用式(23)求解ws和vs。

步驟3利用式(22)更新wk+1、vk+1，如果J(wk+1,vk+1)＜J(wk,vk)，執(zhí)行步驟5。

步驟4令ηk=ρηk,0＜ρ＜1，執(zhí)行步驟3。

步驟5根據(jù)式(26)重新計(jì)算yn值，并重新計(jì)算誤差及系數(shù)αn、βn，令k=k+1，返回步驟2，直到收斂。

由以上推導(dǎo)可知，本文提出的基于CSVR 的盲均衡算法采用式(13)建立統(tǒng)一的回歸關(guān)系，并通過式(26)選擇不同的線性或者非線性核函數(shù)，將線性信道和非線性信道的盲均衡問題統(tǒng)一在了一個(gè)框架下，均衡器的解形式相比支持向量回歸機(jī)盲均衡算法更為簡(jiǎn)潔。

5 實(shí)驗(yàn)仿真分析

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如下：CPU 為Intel(R)Core i7-7700 3.6 GHz，Windows10 64 bit，Matlab R2016a。

以輸入QPSK 調(diào)制信號(hào)為例，添加零均值高斯白噪聲。分別在線性信道和非線性信道下，仿真分析本文提出的CSVR-IRWLS 算法的性能，并與基于支持向量回歸機(jī)的盲均衡算法進(jìn)行性能比較。

CSVR-IRWLS 算法的收斂性能與CSVR 的懲罰因子C、不敏感損失因子ε，以及IRWLS 算法中的迭代步長(zhǎng)η及其控制因子ρ的選取有著較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，上述參數(shù)的選取過程比較煩瑣，一般可通過交叉驗(yàn)證方式[20]確定。表1 給出了CSVR-IRWLS 算法在不同輸入序列長(zhǎng)度時(shí)各參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)選取范圍。

5.1 線性信道

在線性信道下，將CSVR-IRWLS 算法與文獻(xiàn)[10]提出的基于IRWQP 的支持向量回歸機(jī)算法（SVR-IRWQP）和文獻(xiàn)[11,14]中基于IRWLS的支持向量回歸機(jī)算法（SVR-IRWLS）進(jìn)行對(duì)比分析。

表1 CSVR-IRWLS 算法參數(shù)的選取

首先，考慮普通實(shí)數(shù)信道H1(z)=(0.4+z-1-0.7z-2+0.6z-3+0.3z-4-0.4z-5+0.1z-6)[10]，設(shè)置信噪比（SNR,signal noise ratio）SNR=25 dB，均衡器長(zhǎng)度Lw=17，輸入序列長(zhǎng)度N=600。CSVR-IRWLS 算法中，初始化w0=Re(X0)，v0=Im(X0)，選取線性核函數(shù)（其中t=2），且取C=0.5、ε=0、ρ=0.7、η=0.6。SVR-IRWQP 算法參數(shù)的選取與文獻(xiàn)[10]相同，SVR-IRWLS 算法參數(shù)的選取與文獻(xiàn)[11,14]相同。為方便進(jìn)行比較，以平均模值誤差（AME,average modulus error）[10]來(lái)評(píng)價(jià)各算法的均衡性能，其計(jì)算式如式(27)所示。

圖2 給出了H1(z)信道下3 種算法AME 值的收斂曲線。由圖 2 可以看出，SVR-IRWQP 與SVR-IRWLS 算法在經(jīng)過19 次迭代以后，AME 值收斂在-18 dB 左右。而本文提出的CSVR-IRWLS算法經(jīng)過19 次迭代后的AME 值收斂在-27 dB 左右，相比SVR-IRWQP 與SVR-IRWLS 算法下降了大約9 dB。

其次，考慮普通復(fù)數(shù)信道，H2=[0.041 0+0.010 9j 0.049 5+0.012 3j 0.067 2+0.017 0j 0.091 9+0.023 5j 0.792 0+0.128 1j 0.396 0+0.087 1j 0.271 5+0.049 8j 0.229 1+0.041 4j 0.128 7+0.015 4j 0.103 2+0.011 9j]。CSVR-IRWLS 算法中，除取ρ=0.6 外，其他參數(shù)選取及初始化設(shè)置均與實(shí)數(shù)信道相同。SVR-IRWQP和SVR-IRWLS 算法參數(shù)的選取與實(shí)數(shù)信道相同，需要特別指出的是，此時(shí)的SVR-IRWQP 算法為實(shí)數(shù)化處理方式進(jìn)行推導(dǎo)，詳細(xì)過程可參閱文獻(xiàn)[10]，此處不再贅述。

圖2 實(shí)數(shù)信道H1(z)下3 種算法的AME 比較

圖3 給出了H2(z)信道下3 種算法AME 值的收斂曲線。由圖 3 可以看出，SVR-IRWLS 與SVR-IRWQP 算法在經(jīng)過20 次迭代后，AME 值收斂在-28 dB 左右。而CSVR-IRWLS 算法經(jīng)過25 次迭代以后，AME 值收斂在-42 dB 左右，相比SVR-IRWQP與SVR-IRWLS算法下降了大約13 dB。

圖3 復(fù)數(shù)信道H2(z)下3 種算法的AME 比較

由圖2 和圖3 可以看出，在線性信道下，無(wú)論是實(shí)數(shù)信道，還是復(fù)數(shù)信道，由于SVR-IRWLS 與SVR-IRWQP 算法的初始化過程相同，因此初始的AME 值也相同。而本文提出的CSVR-IRWLS 算法初始化過程與以上2 種算法不同，AME 初始值略高。但是，隨著迭代次數(shù)增加，CSVR-IRWLS 算法的AME 值迅速收斂，其最終收斂后的AME 值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SVR-IRWLS 與SVR-IRWQP 算法，表現(xiàn)出更好的均衡性能。

為了客觀地評(píng)價(jià)本文算法的性能，以獲得一次輸出所需的復(fù)乘次數(shù)作為計(jì)算代價(jià)的衡量標(biāo)準(zhǔn)[21]，表 2 給出了線性信道下，選用線性核函數(shù)的CSVR-IRWLS 算法與SVR-IRWQP 算法[10]以及SVR-IRWLS 算法[11,14]的計(jì)算復(fù)雜度。

表2 不同算法的復(fù)雜度比較

如表2 所示，由于實(shí)際均衡時(shí)輸入序列長(zhǎng)度N遠(yuǎn)大于均衡器長(zhǎng)度Lw，因此，對(duì)于線性信道下復(fù)數(shù)信號(hào)的盲均衡，CSVR-IRWLS 算法的計(jì)算代價(jià)遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)[10]提出的SVR-IRWQP 算法的計(jì)算代價(jià)，但大于文獻(xiàn)[11,14]提出的SVR-IRWLS 算法的計(jì)算代價(jià)，相比于支持向量回歸機(jī)盲均衡算法，本文提出的基于復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的盲均衡算法在較大程度提升均衡性能的同時(shí)，一定程度上增加了計(jì)算復(fù)雜度。

5.2 非線性信道

在非線性的三階Volterra 信道模型[22]下進(jìn)行CSVR-IRWLS 算法的仿真分析，并將其與采用核技巧[10]處理的文獻(xiàn)[11,14]中的SVR-IRWLS 算法進(jìn)行性能比較。均衡器抽頭系數(shù)長(zhǎng)度Lw=17。

5.2.1CSVR-IRWLS 算法核函數(shù)的選擇

對(duì)于非線性信道的盲均衡，需選擇合適的非線性核函數(shù)，如復(fù)高斯核，多項(xiàng)式核以及拉普拉斯核等。通常采用均方誤差MSE 對(duì)算法的均衡性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，其計(jì)算式如式(28)所示。

設(shè)置信噪比SNR=25 dB，輸入序列長(zhǎng)度N=400，仿真分析CSVR-IRWLS 算法核函數(shù)的選擇。實(shí)驗(yàn)中，分別選取復(fù)高斯核、多項(xiàng)式核以及拉普拉斯核并取C=0.5，ε=0，ρ=0.9，η=0.6 驗(yàn)證不同核函數(shù)對(duì)均衡性能的影響。

圖4 給出了CSVR-IRWLS 算法選取3 種不同核函數(shù)時(shí)MSE 值的收斂曲線。由圖4 可以看出，使用多項(xiàng)式核的CSVR-IRWLS 算法在經(jīng)過大約25次迭代后收斂，收斂之后MSE 值在-12 dB 左右。使用復(fù)高斯核和拉普拉斯核的CSVR-IRWLS 算法收斂速度幾乎相同，在經(jīng)過大約18 次迭代后算法收斂，MSE 值穩(wěn)定在-22 dB 左右。對(duì)比3 種不同核函數(shù)，基于復(fù)高斯核的CSVR-IRWLS 算法無(wú)論是收斂速度還是收斂后的均方誤差值，其性能都是最好的。

圖4 不同核函數(shù)對(duì)應(yīng)MSE

圖5 對(duì)比了基于復(fù)高斯核的CSVR-IRWLS 算法在不同SNR 下的誤比特率（BER,bit error ratio）性能。由圖5 可以看出，當(dāng)N較小，如N=200 時(shí)，由于樣本點(diǎn)較少，支持向量的數(shù)目不多，因此即使在SNR=30 dB 時(shí)，BER 值仍然高于0.01；當(dāng)N增加到400 時(shí)，在SNR=25 dB 時(shí)的BER 值已低于0.001，在SNR=30 dB 的BER 值為0；觀察N=600時(shí)的BER 曲線發(fā)現(xiàn)，當(dāng)SNR 值低于10 dB 時(shí)，與N=400 時(shí)的BER 曲線沒有明顯區(qū)別，然而，當(dāng)SNR值高于10 dB 以后，相同信噪比下，N=600 的BER值小于N=400 的BER 值。

圖5 不同樣本點(diǎn)復(fù)高斯核BER

5.2.2CSVR-IRWLS 算法與SVR-IRWLS 算法的性能對(duì)比

本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了在非線性的三階Volterra 信道模型下，CSVR-IRWLS 盲均衡算法與SVR-IRWLS 盲均衡算法的BER 性能。

取輸入序列長(zhǎng)度N=600。CSVR-IRWLS 算法中，選取復(fù)高斯核（核參數(shù)σ=2，t=1），C=0.5，ε=0，η=0.6，ρ=0.7。SVR-IRWLS 算法中，類似于文獻(xiàn)[10]，選取高斯核（核參數(shù)σ=2）。2 種算法的BER 值隨SNR 的變化曲線如圖6 所示。

圖6 非線性信道下不同算法的BER 性能

從圖 6 可以看出，在相同信噪比下，CSVR-IRWLS 算法的BER 值總是低于SVR-IRWLS算法。當(dāng)SNR=20 dB 時(shí)，CSVR-IRWLS 算法的BER值相比SVR-IRWLS 算法的BER 值減小了一個(gè)數(shù)量級(jí)；當(dāng)SNR＞20 dB 時(shí)，CSVR-IRWLS 算法的BER值相比SVR-IRWLS 算法的BER 值的減小更為明顯，如SNR=30 dB 時(shí)，SVR-IRWLS 算法的BER值為0.01，而CSVR-IRWLS 算法的BER 值已為0。由此可以得出結(jié)論，在非線性信道下，對(duì)于復(fù)數(shù)信號(hào)的盲均衡，本文提出的CSVR-IRWLS 算法表現(xiàn)出更低的誤碼率性能。

進(jìn)一步比較本文提出的CSVR-IRWLS 算法（選取復(fù)高斯核）和文獻(xiàn)[11,14]的SVR-IRWLS 算法（選取高斯核）的計(jì)算復(fù)雜度，結(jié)果如表4 所示。

表4 CSVR-IRWLS（復(fù)高斯核）算法與SVR-IRWLS（高斯核）算法的復(fù)雜度比較

由表4 可知，對(duì)于非線性信道下的復(fù)數(shù)信號(hào)盲均衡，由于N＞＞Lw，CSVR-IRWLS 算法的計(jì)算代價(jià)大于文獻(xiàn)[11,14]中的SVR-IRWLS 算法的計(jì)算代價(jià)，但在相同信噪比的情況下，其均衡的誤碼率相比SVR-IRWLS 算法可降低一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)的盲均衡算法CSVR-IRWLS，該算法將MMA 的誤差函數(shù)代入CSVR 的懲罰項(xiàng)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，利用Wirtinger 微積分求解鞍點(diǎn)，在復(fù)數(shù)希爾伯特空間直接對(duì)復(fù)數(shù)信號(hào)進(jìn)行解析，以迭代重加權(quán)最小二乘方式尋找最優(yōu)解，將線性信道和非線性信道的盲均衡問題統(tǒng)一在了一個(gè)框架下。針對(duì)QPSK 調(diào)制信號(hào)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)論是在線性信道還是非線性信道下，相比于基于支持向量回歸機(jī)的盲均衡算法，本文算法的均衡性能均得到了明顯提升。然而，由于采用帶核函數(shù)的復(fù)數(shù)支持向量回歸框架構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，并采用廣泛線性估計(jì)建立回歸關(guān)系，相比基于支持向量回歸機(jī)的SVR-IRWLS 算法，本文算法的復(fù)雜度較高，接下來(lái)的工作需要進(jìn)一步研究復(fù)數(shù)支持向量回歸機(jī)框架下盲均衡器代價(jià)函數(shù)的快速優(yōu)化求解方法。