培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維變通能力的實(shí)踐與探索

浙江省溫州市永嘉縣黃田小學(xué) 朱林益

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)課程要使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力?！睌?shù)學(xué)能力是以思維力為核心，思維力又以思維的敏捷、靈活和變通為重要標(biāo)志。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性顯得尤為重要。思維的變通性是思維的一種形勢(shì)，在思考問(wèn)題時(shí)，當(dāng)一條路走不通或付出勞動(dòng)太大，不妨改變一下原來(lái)思路，善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí),轉(zhuǎn)化條件或問(wèn)題，提出靈活的設(shè)想和解題方案。變通思維體現(xiàn)出思維的靈活性。

調(diào)研我校學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)本時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)變式題目困難重重。例如：一個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)是60厘米，一條腰長(zhǎng)10厘米，高8厘米，它的面積是多少平方厘米？結(jié)果大部分學(xué)生都被難住了，我問(wèn)學(xué)生：“你們哪里難住了？”學(xué)生說(shuō)：“這里上底、下底的長(zhǎng)度都沒(méi)有告訴我們，那怎么能求出它的面積呢？”

原來(lái)我發(fā)現(xiàn)教師在教學(xué)《梯形的面積計(jì)算》時(shí)，過(guò)分強(qiáng)調(diào)了“必須要知道上底、下底和高這三個(gè)條件，才能求出梯形的面積，這三個(gè)條件缺一不可。”學(xué)生思維受此定勢(shì)干擾，變通能力很差，對(duì)稍有變式的題目就束手無(wú)策了。聽(tīng)了數(shù)學(xué)老師的課，并與數(shù)學(xué)老師交流后，發(fā)現(xiàn)我校數(shù)學(xué)老師在課堂上缺乏變式教學(xué)，其實(shí)，這樣教學(xué)僅僅停留在模仿層面，學(xué)生知其然，而不能知其“所以然”。這樣會(huì)阻礙學(xué)生的思維能力發(fā)展。

我校學(xué)生思維變通能力嚴(yán)重缺乏，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也制約了我校數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升，那么如何提升小學(xué)生的思維變通能力呢？這是擺在我校數(shù)學(xué)老師面前的急需解決的實(shí)際問(wèn)題。下面，就談?wù)劚救说膶?shí)踐與感悟。

一、調(diào)查分析學(xué)生解決問(wèn)題的思維變通能力的現(xiàn)狀

（一）調(diào)查問(wèn)卷

針對(duì)我校3個(gè)六年級(jí)班級(jí)進(jìn)行調(diào)查數(shù)學(xué)思維變通能力的現(xiàn)狀，發(fā)放調(diào)查試卷125份，收回有效問(wèn)卷125份。調(diào)查問(wèn)卷內(nèi)容設(shè)計(jì)如下：

2017年（下半年）六年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)變通思維能力調(diào)查問(wèn)卷

班級(jí)： 姓名：

1.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

（1）7777×8+4444×11

2.已知圖中正方形的面積是20平方厘米，求陰影部分的面積是（ ）平方厘米。

3.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是45，甲、乙兩數(shù)的比為2∶3，甲、乙兩數(shù)各是多少？

4.甲乙兩地相距2400米，小亮帶著小狗從甲地出發(fā)到乙地，小軍同時(shí)從乙地出發(fā)到甲地。小亮每分鐘走65米，小軍每分鐘走55米，小狗每分鐘跑100米。當(dāng)小狗遇到小軍后立即返回，當(dāng)小狗遇到小亮后又立即返回跑向小軍，小狗這樣來(lái)回不停地跑，直到小亮與小軍兩人相遇。這時(shí)，小狗一共跑了多少米？

5.一池水，甲乙兩管同時(shí)開(kāi)，要5小時(shí)注滿(mǎn)；乙丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)注滿(mǎn)?，F(xiàn)在先開(kāi)乙管 6小時(shí)，還需甲丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能注滿(mǎn)。乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以注滿(mǎn)？

6.兄弟三人合伙出資開(kāi)了一家公司，老大出了其余兄弟出資和的1/2，老二出了其余兄弟出資和的1/3，老三出了60萬(wàn)元，這家公司一共投資多少萬(wàn)元？

（二）調(diào)查結(jié)果分析與結(jié)論

調(diào)查全校六年級(jí)學(xué)生125人，解題正確情況統(tǒng)計(jì)如下：

做對(duì)的人數(shù) 做錯(cuò)的人數(shù) 放棄的人數(shù) 正確率第1題 第（1）小題 28第（2）小題 2 72 102 25 21 22.4%1.6%第2題 43 65 17 34.4%第3題 42 77 6 33.6%第4題 33 66 26 26.4%第5題 1 89 35 0.8%第6題 4 103 18 3.2%

具體分析如下：

第1題，用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：第（1）小題7777×8+4444×11

許多學(xué)生不知拆數(shù)法，不會(huì)變通，找不到相同因數(shù)，就以為這道題沒(méi)有什么簡(jiǎn)便計(jì)算，無(wú)法利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。第（2）小題

學(xué)生的做法說(shuō)明了學(xué)生靈活應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的能力還不夠。

其實(shí)學(xué)生還僅僅停留在模仿的層面上，不能知其“所以然”，為什么要這樣做才簡(jiǎn)便呢？學(xué)生還是比較模糊的，不知其中奧秘。學(xué)生還不會(huì)變通，不會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)特征進(jìn)行調(diào)整，然后進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。

第2題，多數(shù)學(xué)生由于求不出正方形的邊長(zhǎng)，就無(wú)法知道圓的半徑，也就沒(méi)辦法求出圓的面積，有的只好選擇放棄，有的隨便寫(xiě)上一個(gè)答案。說(shuō)明學(xué)生還不會(huì)靈活運(yùn)用圓的面積計(jì)算公式，學(xué)生的思維受到定勢(shì)干擾，不會(huì)變通。

第3題，多數(shù)學(xué)生寫(xiě)成：45×2/5=18，45×3/5=27。他們認(rèn)為把“45”這個(gè)數(shù)按照2：3分配，其實(shí)，他們還沒(méi)有抓住本質(zhì)特征，思維僅僅停留在模仿層面上，這里分配的總量并不是“45”。

第4題，這道題直接看是難以解答的，學(xué)生思維是按照習(xí)慣思路去考慮，不會(huì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。其實(shí)這里小亮與小軍相遇的時(shí)間就是小狗跑的時(shí)間，若轉(zhuǎn)化成求小亮與小軍相遇的時(shí)間問(wèn)題就能迎刃而解了。

第5題，這道題學(xué)生不會(huì)轉(zhuǎn)化條件，找不到解題突破口。如果把條件轉(zhuǎn)化成：將乙管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)與甲管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)看作“甲乙兩管同時(shí)合作開(kāi)2小時(shí)”；將乙管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)與丙管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)看作“甲丙兩管同時(shí)合作開(kāi)2小時(shí)”，剩下乙管還要單獨(dú)開(kāi)6-2-2=2小時(shí)才能注滿(mǎn)。這樣就找到解決方案了。

第6題，學(xué)生的思維也是膚淺的，只看到表面現(xiàn)象，多數(shù)學(xué)生這樣做：60÷（1-1/2-1/3）。其實(shí)這里“老大出了其余兄弟出資和的1/2”與“老二出了其余兄弟出資和的1/3”的單位“1”發(fā)生了變化，并不相同的。這里需要轉(zhuǎn)化條件，關(guān)鍵是先求出老大與老二分別占兄弟三人合伙出資總額的幾分之幾。

由此可見(jiàn)，我校學(xué)生數(shù)學(xué)思維變通能力嚴(yán)重缺乏，遇到稍微靈活的題目，就困難重重，解決問(wèn)題的思路狹窄，思維定勢(shì)，不會(huì)變通。

二、探索培養(yǎng)思維變通能力的策略

在平時(shí)的教學(xué)中，我們努力探索“培養(yǎng)學(xué)生思維變通能力”的策略，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，制定多種富有成效的教學(xué)對(duì)策。

1.新課教學(xué)加強(qiáng)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的變通能力

教了《圓的面積》一課后，給學(xué)生設(shè)計(jì)一道題目：已知圖中正方形的面積是40平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

要求圓的面積，一般先要知道半徑，但是這題無(wú)法知道圓的半徑，就要另辟途徑，才能解決問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生從圓的面積計(jì)算公式上去觀察，發(fā)現(xiàn)“如果知道r2等于多少，就能直接求出圓的面積?！庇谑?，將正方形邊長(zhǎng)設(shè)為2r，利用2r×2r=40，得知r2等于10，就可以直接求出圓的面積了。通過(guò)這樣變式練習(xí)，能夠突破思維的定勢(shì)干擾，學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用圓的面積計(jì)算公式求圓的面積，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維變通能力。

2.轉(zhuǎn)化條件找到解題途徑，鍛煉思維的靈活性

例如：一池水，甲乙兩管同時(shí)開(kāi)，要5小時(shí)注滿(mǎn)；乙丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)注滿(mǎn)?，F(xiàn)在先開(kāi)乙管 6小時(shí)，還需甲丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能注滿(mǎn)。乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以注滿(mǎn)？

這道題如果把條件轉(zhuǎn)化成：將乙管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)與甲管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)看作“甲乙兩管同時(shí)合作開(kāi)2小時(shí)”；將乙管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)與丙管獨(dú)開(kāi)2小時(shí)看作“甲丙兩管同時(shí)合作開(kāi)2小時(shí)”，剩下乙管還要單獨(dú)開(kāi)6-2-2=2小時(shí)才能注滿(mǎn)。這樣就找到解決方案了：（1-1/5×2-1/4×2）÷（6-2-2）=1/20,1÷1/20=20 小時(shí)。如此調(diào)整已知條件，進(jìn)行變通，把隱蔽的條件顯露出來(lái)了，從而找到解決途徑，讓學(xué)生思維變得靈活而深刻。

3.轉(zhuǎn)化問(wèn)題找到突破口，提高思維變通能力

數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?jiàn)，解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。

例題：甲乙兩地相距2400米，小亮帶著小狗從甲地出發(fā)到乙地，小軍同時(shí)從乙地出發(fā)到甲地。小亮每分鐘走65米，小軍每分鐘走55米，小狗每分鐘跑100米。當(dāng)小狗遇到小軍后立即返回，當(dāng)小狗遇到小亮后又立即返回跑向小軍，小狗這樣來(lái)回不停地跑，直到小亮與小軍兩人相遇。這時(shí)，小狗一共跑了多少米？

這里要引導(dǎo)學(xué)生求出“小亮與小軍相遇的時(shí)間”就是“小狗跑的時(shí)間”，若轉(zhuǎn)化成求小亮與小軍相遇的時(shí)間問(wèn)題就能迎刃而解了，即2400÷（65+55）×100=2000米。從而讓學(xué)生體驗(yàn)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題就能找到解題突破口，使自己思維變得靈活。

4.一題多解拓寬思路，增強(qiáng)思維變通能力

一題多解對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維變通能力很有幫助，訓(xùn)練學(xué)生從不同角度、不同層面去考慮問(wèn)題，這樣能夠拓寬思路，不會(huì)只局限于一種解法，思維活躍起來(lái)，發(fā)散開(kāi)來(lái)，靈活應(yīng)對(duì)問(wèn)題，提高思維變通能力。

例如：哥哥與弟弟體重之比是5∶2，已知哥哥體重是60千克。弟弟體重是多少千克？(你能想出幾種不同的解決方法？)

學(xué)生想出許多方法：

（1） 60×2/5=24（千克）；

（2） 60÷5×2=24（千克）；

（3） 60÷（5÷2）=24（千克）；

式中：Vc為泥石流流速，m/s；Ic為泥位縱坡率，以溝道縱坡率代替；1/n為泥石流溝床糙率系數(shù)，查水文手冊(cè)；Φ為泥石流泥沙修正系數(shù)，取1.919-1=0.919；γH為泥石流固體物質(zhì)重度，t/m3；φ為泥石流泥沙修正系數(shù)，取1.919-1=0.919；Hc為平均泥深，m；

（4） 5+2=7，60÷5/7-60=24（千克）；

（5） 5+2=7，60÷5/7×2/7=5+2=7,60÷5/7；

（6）設(shè)弟弟體重是x千克，

60∶x=5∶2，求得 x=24。

5.思維變通專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，促進(jìn)思維能力發(fā)展

（1）拆數(shù)法

a.把一個(gè)數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積

例如，靈活計(jì)算：

b.把一個(gè)數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的差

例如，寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程：

（2）設(shè)定數(shù)據(jù)法

例題：有一條山路，冬冬上山每分鐘走40米，按原路返回下山每分鐘走60米，冬冬來(lái)回平均速度是每分鐘走多少米？

分析：這題路程不知道，有的學(xué)生就無(wú)法動(dòng)筆，如果用到設(shè)定數(shù)據(jù)法，設(shè)定路程，就不難了。假如上山下山的路程都是600米，那上山就有 600÷40=15（分鐘），下山 600÷60=10（分鐘），接著用總路程除以總時(shí)間：

利用設(shè)定數(shù)據(jù)法，路程有具體數(shù)據(jù)，學(xué)生就可以按常規(guī)思路去解題，找到解題途徑，從而讓學(xué)生感到解題要突破習(xí)慣思維的束縛，學(xué)會(huì)靈活變通。

（3）添加輔助法

例如，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8厘米，AE長(zhǎng)10厘米，F(xiàn)是AE的一點(diǎn)，DF與AE相互垂直，求DF的長(zhǎng)度是（ ）厘米。

分析：這道題需要添加輔助成分，否則難以解決。連接DE，三角形 AED的面積 =8×8÷2=32平方厘米，DF=32×2÷10=6.4厘米。

當(dāng)然，思維變通專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練的策略是多種多樣的，這里不能一一列舉。

總之，上述教學(xué)策略是富有成效的，也是平時(shí)課堂教學(xué)中常用的。我們還需要進(jìn)一步深入研究有效策略，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維變通能力，使學(xué)生獲得解決問(wèn)題的新方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)創(chuàng)新經(jīng)歷。讓學(xué)生在思維的撞擊中，迸發(fā)出絢麗的火花！讓我們的數(shù)學(xué)課堂生機(jī)勃勃，充滿(mǎn)希望！