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    數(shù)學(xué)思維空間成就數(shù)學(xué)思維品質(zhì)
    ——對2018年浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)試題第16題的思考

    2019-11-01 03:12:00王國順
    關(guān)鍵詞:原題變式正方形

    王國順

    一年一度的中考已經(jīng)落下帷幕,在以能力立意,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的今天,今年浙江省臺州市卷的第16題(填空題)重在考察學(xué)生數(shù)學(xué)知識的整合能力、探索解題過程的思維品質(zhì),為初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用。可以說此題是簡約而不簡單,更是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與思維品質(zhì)的好題。因此,筆者以此題為例,進(jìn)行了思考與探索,和各位專家、同仁一起探討。

    一、原題呈現(xiàn)

    【例1】如圖1,在正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3,則△BCG的周長為______。(2018浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)試題第16題)

    二、思路剖析

    一方面,根據(jù)CE=DF,在正方形中,因?yàn)锽C=CD,∠BCE=∠CDF=90°∴△BCE≌△DCF,

    ∴∠CBE=∠DCF ∵∠DCF+∠BCF=∠BCD=90o

    ∴∠CBE+∠BCF=90°,∴∠BGC=90°(即BE⊥CF)

    ∴△BCG是直角三角形。題目中的隱含條件被進(jìn)一步挖掘,并凸顯出來。在直角三角形中,要確定邊與邊的關(guān)系,自然而然會聯(lián)想到勾股定理,不妨設(shè)CG=x,BG=y,則x2+y2=32。

    另一方面,題中的面積關(guān)系也是思考的方向,我們研究的重點(diǎn)是△BCG,根據(jù)“圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3”,轉(zhuǎn)化為“圖中空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1:3”,

    ∵△BCE≌△DCF ∴S△BCE=S△CDF,

    ∴S△BCE-S△CEG=S△CDF-S△CEG,∴S△BCG=S四邊形EDFG,

    ∴S△BCG=

    這時(shí)只要運(yùn)用整體思想,求出(x+y)的值即可。而

    (x+y)2=x2+y2+2xy=9+6=15,

    筆者分析學(xué)生可能受到習(xí)慣性思維的干擾,一心只想精準(zhǔn)求出兩直角邊的值,把y=)2=9,方程化為x4-9x2+9=0,先把x2看成整體,設(shè)x2=a,方程化為關(guān)于a的一元二次方程a2-9a+9=0,解得a=,那么x2=或x2=∵x>0,∴x1=或x2=,

    代入x2+y2=9得x2+(

    相應(yīng)地y1=或y2=

    由于學(xué)生所學(xué)知識的局限性,導(dǎo)致含雙重根號的結(jié)果無法化簡,除非你平時(shí)接觸到過利用配方法化簡這一類特殊形式二次根式,例如,x1

    這些同學(xué)思維不可謂不縝密、計(jì)算能力不可謂不強(qiáng),可結(jié)果正確與否的擔(dān)憂卻無法消除。為什么會在考試的時(shí)候出現(xiàn)這種既浪費(fèi)時(shí)間又繁瑣易錯(cuò)的思路呢?問題的根本在于平時(shí)的訓(xùn)練過于機(jī)械,思路單一、缺少發(fā)散性,導(dǎo)致在緊張的考試中思維品質(zhì)不升反降。“解題時(shí)邁進(jìn)的每一步,如果越來越簡單,你會感到路走對了,勝利就在前頭,如果越來越復(fù)雜,越來越艱難,你也應(yīng)該發(fā)現(xiàn)前景不妙,希望渺茫,簡單自然,往往是你判斷的標(biāo)準(zhǔn)?!保?]

    三、引發(fā)的思考

    1.良好思維品質(zhì)的形成,需要學(xué)生“見多識廣”良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成,首先需要老師在平時(shí)的教學(xué)活動中多關(guān)注、狠落實(shí),只有經(jīng)常接觸舉一反三、一題多解、多題歸一的教學(xué),才能夠在單打獨(dú)斗時(shí),妙想絕處生捷徑自然成.例如“變式1”,我們可以將剛才的靜態(tài)問題升華為動態(tài)問題進(jìn)行變式探索,使學(xué)生的思維活動在不同的方向和不同的層次上得到發(fā)展.【變式1】如圖2,在正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G,連接DG.在點(diǎn)E從C運(yùn)動到D的過程中,求①點(diǎn)G 運(yùn)動的路徑長為__________;②DG的最小值為;__________;③當(dāng)DG=DF時(shí),CE的值__________.

    分析與解:由原題的剖析知道,在點(diǎn)E從C運(yùn)動到D的過程中,△BCG是始終是以BC為斜邊的直角三角形,因此,點(diǎn)G在以BC為直徑的圓(如圖3,圓心記為O)上運(yùn)動,它的路徑是一段圓?。ㄋ姆种粋€(gè)圓),第①問解決;在①的基礎(chǔ)上,當(dāng)D,G,O共線時(shí),DG最小,DG最小值=;對于問題③,只有當(dāng)∠DFG=∠FGD時(shí),DG=DF∵AD∥BC∴∠DFG=∠OCG,

    根據(jù)OG=OC,∠OGC=∠OCG,當(dāng)D,G,O共線時(shí),∠OGC=∠FGD

    ∴∠DFG=∠FGD∴DF=DG,又∵CE=DF,即CE=

    這里為什么不把③設(shè)置為“當(dāng)△DFG為等腰三角形時(shí),求CE的值”這樣的開放式的問題呢?解決時(shí)要進(jìn)行分類討論,不是更能夠鍛煉學(xué)生的思維能力嗎?是的,剛剛的CE=是情形之一,另一種情形就是當(dāng)G與H重合時(shí),GD=GF,此時(shí)CE=CD=3;情形三,DF=FG時(shí),如圖4,連接EF,則Rt△BCE≌Rt△DCF,

    ∴GE=DE,設(shè)CE=DF=FG=x,∴GE=DE=3-x,

    化為整式方程得,2x3-6x2+18x-27=0,不是特殊形式一元三次方程,初等數(shù)學(xué)無法解決(需要用高等數(shù)學(xué)“卡爾丹公式法”或“盛金公式法”求解,它的實(shí)數(shù)解約為1.94)。因此,作為思維訓(xùn)練,培養(yǎng)探究能力,也未嘗不可,但作為考試題,我們在設(shè)計(jì)的時(shí)候必須要規(guī)避。

    2.良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成,需要教師“精心編導(dǎo)”舉一反三、一題多解、一題多變能夠有效的鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和品質(zhì),類比學(xué)習(xí)對鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是非常有效的,類比對知識的全面掌握與方法的遷移、能力的提升,都有十分重要的作用。“素材選用不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識的內(nèi)涵,還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué),構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?!保?]如下面的變式2,就是從考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力方面進(jìn)行構(gòu)建,以激發(fā)學(xué)生的分散性思維。

    【變式2】如圖5,在正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E在CD上,F(xiàn)在AD上,F(xiàn)E⊥BE,M是EF的中點(diǎn),MH⊥CD。在點(diǎn)E從C運(yùn)動到D的過程中,線段MH的最大值為__________。

    分析與解:易得MH是△DEF的中位線,要使MH最大,只要DF最大,這里∠C=∠FEB=∠D=90°,那么∠CBE=∠DEF,∴Rt△BCE∽Rt△EDF,∴,設(shè)CE=x,DF=y,則DE=3-x,,y=+x,即y=,

    正如陳永明教授在“習(xí)題教學(xué)的歸一原則”中所指出的——“多解歸一、多題歸一、舉一反三,就是要找同類問題的共同點(diǎn),把共同的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來,以便運(yùn)用到新的場合”。[2]在變式2中,我們改變了原題中的條件,解決問題的方法就從原來的兩個(gè)三角形全等遷移到兩個(gè)三角形相似,利用相似比,得到二次函數(shù),并用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值,知識都是初中數(shù)學(xué)體系中的核心知識。

    四、結(jié)語

    學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成應(yīng)該是漸進(jìn)的、逐步累積的結(jié)果,絕不是一蹴而就的。教師只有在平時(shí)的教學(xué)活動中多展現(xiàn)鍛煉數(shù)學(xué)思維的課例、多滲透思考問題的方法與步驟、使學(xué)生能夠會知識遷移和方法類比,學(xué)生心里才能埋下形成良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的種子,數(shù)學(xué)課堂必定大放異彩,成效更顯著,正如史寧中教授所說“用數(shù)學(xué)的眼光看世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的核心素養(yǎng)必能得到極大提升。

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