• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    水文隨機變量二維分布及其應(yīng)用

    2019-11-01 00:52:58芮孝芳
    水利水電科技進展 2019年5期
    關(guān)鍵詞:水文學(xué)邊際正態(tài)分布

    芮孝芳

    (河海大學(xué)水文水資源學(xué)院,江蘇 南京 210098)

    作為隨機變量的水文要素或水文特征值之間,由于物理原因,其中有一些或多或少存在著一定的因果聯(lián)系,揭示并應(yīng)用這些聯(lián)系來處理或解決一些水文學(xué)問題,是水文學(xué)的重要研究內(nèi)容之一。筆者第一次在概率統(tǒng)計指導(dǎo)下接觸這一學(xué)術(shù)領(lǐng)域始于我國著名水文學(xué)家劉光文先生的學(xué)術(shù)講座。筆者已經(jīng)保存了56年的聽課筆記清楚地記錄著,那是1963年5月20日下午,劉光文先生作了題為“二元機率分配及相關(guān)的基本概念”的學(xué)術(shù)講座。從“二元機率分配的基本概念”,到“變數(shù)之間的關(guān)系”,劉光文先生作了縝密而富有啟發(fā)的講解,令人耳目一新,令筆者至今記憶猶新。在日后漫長的歲月中,這一講座所涉及的內(nèi)容及透視出的科學(xué)思想無時無刻不在筆者的學(xué)術(shù)生涯中起著指導(dǎo)性作用。劉光文先生這一學(xué)術(shù)講座開啟了我國水文學(xué)術(shù)界研究水文隨機變量二維分布及其應(yīng)用的先河。本文試圖根據(jù)半個多世紀(jì)以來這一領(lǐng)域的發(fā)展和筆者的思考與實踐,從概念、理論到實際應(yīng)用,進一步探索二維分布在處理或解決水文學(xué)問題中的思路和方法,以期引起研究二維分布及其應(yīng)用的興趣,踏踏實實,滿懷信心,走守正創(chuàng)新之路。

    1 兩個隨機變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)描述

    水文隨機變量之間可能存在函數(shù)關(guān)系或相關(guān)關(guān)系,也可能相互獨立。兩個隨機變量中,若一個隨機變量X的每個現(xiàn)實x,都只與另一個隨機變量Y的一個現(xiàn)實y對應(yīng),則稱這兩個隨機變量之間為函數(shù)關(guān)系,又稱確定性關(guān)系。根據(jù)物理意義,兩水文隨機變量的函數(shù)關(guān)系屬于因果函數(shù)關(guān)系。水文隨機變量隨時間、空間的變化雖然也是一種函數(shù)關(guān)系,但不是因果函數(shù)關(guān)系,而是數(shù)量函數(shù)關(guān)系。兩個隨機變量中,若對應(yīng)一個隨機變量X的每個現(xiàn)實x,另一個隨機變量Y將以不同的概率取不同的值,或者說,對應(yīng)于隨機變量X的每一個實現(xiàn)x,隨機變量Y將有不同的條件分布,則稱這兩個隨機變量之間為相關(guān)關(guān)系。兩個隨機變量中,若對應(yīng)一個隨機變量X的每個現(xiàn)實x,另一個隨機變量Y將有完全相同的條件分布,則稱這兩個隨機變量之間為獨立關(guān)系。

    兩個隨機變量的二維分布函數(shù)就是它們之間關(guān)系的最完整描述。因為,若兩個隨機變量X與Y為函數(shù)關(guān)系,則由隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)理論知,只要已知其中一個的分布函數(shù),另一個的分布函數(shù)就可以推導(dǎo)出來。這表明這時二維分布實際上已退化為一維分布了。若兩個隨機變量X和Y相互獨立,則由概率論知,二維分布將等于這兩個隨機變量的分布函數(shù)之乘積:

    f(x,y)=fx(x)·fy(y)

    (1)

    F(x,y)=Fx(x)·Fy(y)

    (2)

    若兩個隨機變量X與Y為相關(guān)關(guān)系,則由概率論知,二維分布將為邊際分布與條件分布之乘積:

    f(x,y)=fx(x)·fy(yx)=fy(y)·fx(xy)

    (3)

    F(x,y)=Fx(x)·Fy(yx)=Fy(y)·Fx(xy)

    (4)

    式中:f(x,y)和F(x,y)分別兩個隨機變量X和Y的二維密度函數(shù)和二維分布函數(shù);fx(x)和Fx(x)分別為隨機變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù),或稱二維分布關(guān)于X的邊際密度函數(shù)和邊際分布函數(shù);fy(y)和Fy(y)分別為隨機變量Y的密度函數(shù)和分布函數(shù),或稱二維分布關(guān)于Y的邊際密度函數(shù)和邊際分布函數(shù);fy(yx)和Fy(yx)分別為X發(fā)生條件下Y的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù);fy(yx)和Fy(yx)分別為Y發(fā)生條件下的X的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù)。

    命題“兩個隨機變量之二維分布是它們之間關(guān)系的最完整描述”的科學(xué)性之所以毋庸置疑是因為,如果兩個隨變量為函數(shù)關(guān)系,那么其二維分布必退化為一維分布,反之,如果一個二維分布可表達為一維分布,那么這兩個隨機變量必為函數(shù)關(guān)系;如果兩個隨機變量相互獨立,那么必滿足式(1)或式(2),反之,如果二維分布可表達成式(1)或式(2),那么這兩個隨機變量必相互獨立;如果兩個隨機變量之間只具有一定的相關(guān)關(guān)系,那么必滿足式(3)或式(4),反之,如果二維分布可表達成式(2)或式(3),那么這兩個隨機變量之間必定只具有一定的相關(guān)關(guān)系。

    因此,所謂兩個隨機變量之間的數(shù)學(xué)描述,實際上就是構(gòu)建兩個隨機變量的二維分布函數(shù)。

    2 二維正態(tài)分布的兩個隨機變量之間的關(guān)系

    二維正態(tài)分布是迄今為止,為數(shù)不多的能給出解析數(shù)學(xué)表達式的二維分布,其密度函數(shù)為[1-3]:

    (5)

    由式(5)可得,二維正態(tài)分布的兩個邊際分布均為一維正態(tài)分布,分別為

    (6)

    (7)

    兩個條件分布也都是一維正態(tài)分布,分別為

    (8)

    (9)

    由以上兩點并非充分條件,因為反之并不一定成立。

    由式(5)還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)r=0時,式(5)和式(8)、式(9)將分別變?yōu)?/p>

    (10)

    (11)

    (12)

    這就說明,對于二維正態(tài)分布,兩個隨機變量X與Y的Pearson相關(guān)系數(shù)r=0是與式(10)~(12)完全等價的,也就是說,r=0是服從二維正態(tài)分布的兩個隨機變量相互獨立的必要和充分條件。這個“完全等價”對不服從二維正態(tài)分布的兩個隨機變量則是不成立的。

    進一步考察二維正態(tài)分布的條件分布,還會有新的發(fā)現(xiàn)。事實上,由式(8)可知,Y倚X的條件均值和條件均方差分別為

    (13)

    (14)

    由式(9)可知X倚Y的條件均值和條件方差分別為

    (15)

    (16)

    圖1 二維正態(tài)分布不同r的Y倚X的回歸線

    圖2 二維正態(tài)分布不同r的條件密度函數(shù)

    (17)

    (18)

    3 Copula函數(shù)理論和方法

    若兩個隨機變量均服從正態(tài)分布,則其二維分布即為式(5)。若兩個隨機變量中只有一個為正態(tài)分布或者兩個均不為正態(tài)分布,則其二維分布就不能用式(5)表達,在這種情況下,將如何尋找其二維分布呢?顯然,尋求兩個隨機變量的二維分布函數(shù)一般要比尋求一維隨機變量分布函數(shù)困難得多,正因為如此,在水文學(xué)中二維分布的研究相對薄弱。本節(jié)和下一節(jié)僅對確定任意兩個隨機變量二維分布的Copula函數(shù)和形變函數(shù)的理論和方法進行討論。

    Copula函數(shù)的起源可追溯到1959年[4],是年,Sklan指出:可以將任意一個n維分布函數(shù)分解為n個邊際分布和一個Copula函數(shù),其中邊際分布描述每個隨機變量的一維分布函數(shù),Copula函數(shù)則描述這些隨機變量之間的相關(guān)性。因此,Copula函數(shù)是一個將多個隨機變量的一維分布“連接”成為多維分布的函數(shù),顧名思義,可將Copula函數(shù)譯作“連接函數(shù)”。Sklan這一基本思想是以定理的形式公布于世的,以構(gòu)建二維分布為例就是:令H為具有邊際分布F和G的兩個隨機變量的二維分布,那么將存一個Copula函數(shù)C,使得

    H(x,y)=C[F(x),G(y)]

    (19)

    在式(19)中,若F和G是連續(xù)的,則Copula函數(shù)C將是唯一的。根據(jù)這一定理,可以得到如下推論:若H為具有邊際分布為F和G的兩個隨機變量的二維分布函數(shù),C為其Copula函數(shù),F(xiàn)-1和G-分別為F和G的反函數(shù),則對于C的定義域I2即[0,1]2內(nèi)的任意(u,v),有

    C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]

    (20)

    上述Sklan定理及其推論顯然表明,在兩個隨機變量的二維分布未知時,將可以通過邊際分布和Copula函數(shù)來構(gòu)建,而在二維分布已知時又可以利用邊際分布的反函數(shù)求出相應(yīng)的Copula函數(shù)。筆者認為,Copula函數(shù)理論提出的意義不僅在于可以通過尋找Copula函數(shù),繼而構(gòu)建出二維分布,而且在于能夠揭示出隱含在二維分布中過去未曾被發(fā)現(xiàn)的Copula函數(shù)及其所描述的相關(guān)性質(zhì)。

    現(xiàn)有的文獻表明,根據(jù)生成元的不同,Copula函數(shù)可分為橢圓型、Archimede型、二次型、極值型等類型[5]。其中Archimede型Copula函數(shù),由于構(gòu)造方便,使用容易,已得到較為廣泛的應(yīng)用,它又有3種具體型式:

    a. Gumbel-Hougaard Copula函數(shù),公式為

    (21)

    式中:u=F(x);v=G(y);θ為Copuar參數(shù),θ≥1。當(dāng)θ=1時,u與v相互獨立,當(dāng)θ→∞時,u與v為函數(shù)關(guān)系。由于兩個隨機變量均為較大值時變化敏感,故式(21)能較好地描述具有上尾相關(guān)特性的兩個隨機變量之間的相關(guān)性。

    b. Clayton Copular函數(shù),公式為

    C(u,v)=u+v+[(1-u)-θ+(1-v)-θ]-1

    (22)

    式中:符號意義同前述。當(dāng)θ→0時,u與v相應(yīng)獨立;當(dāng)θ→∞時,u與v為函數(shù)關(guān)系。由于兩個隨機變量均為較小值時變化敏感,故式(22)能較好地描述具有下尾相關(guān)特性的兩個隨機變量之間的相關(guān)性。

    c. Frank Copula函數(shù),公式為

    (23)

    式中:符號意義同前述。當(dāng)θ>0時,u與v為正相關(guān);當(dāng)θ<0時,u與v為負相關(guān);當(dāng)θ→0時,u與v相互獨立。由于兩個隨機變量無論較大值還是較小值變化均不敏感,故式(23)難以快速捕捉到兩者相關(guān)性的尾部變化。

    以上3種常用的Copula函數(shù)中均包含有參數(shù)θ,在數(shù)學(xué)上現(xiàn)已研究出了一些確定θ值的途徑和方法,其中以根據(jù)Kendall秩次相關(guān)系數(shù)τ與θ之間的關(guān)系確定θ值最為常見。對于Archimede型Copula函數(shù),其參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ之間的關(guān)系列于表1。

    表1 Archimede型Copula函數(shù)的參數(shù)θ與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的關(guān)系

    Copula函數(shù)理論和方法在快速發(fā)展的金融業(yè)刺激下,已有了長足的進展,水文學(xué)中使用它僅僅是近十多年來的事。

    4 形變函數(shù)理論和方法

    早在1923年,Narumi就指出,在估計二維樣本的聯(lián)合分布即二維分布時應(yīng)當(dāng)考慮二維分布函數(shù)的兩個最重要的數(shù)字特征:兩個隨機變量的回歸線和條件方差[6]。前者描寫了倚變量條件均值隨另一隨機變化的每個現(xiàn)實的變化;后者可看出倚變量的條件方差隨另一隨機變量的每個現(xiàn)實的變化。嗣后,1934年別倫斯謙、1954年薩爾馬諾夫、1951年可歷克賽也夫[7]分別根據(jù)二維分布這兩個重要數(shù)字特征先后提出了剛性相關(guān)、彈性相關(guān)和撓曲相關(guān)等概念,從而豐富了Narumi的學(xué)術(shù)思想。

    剛性相關(guān)是指倚變量的條件均值隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變,而條件均方差則保持不變的相關(guān)。這里回歸線可為線性,也可為非線性。剛性相關(guān)的兩個隨機變量相關(guān)散點圖如圖3所示。彈性相關(guān)是指倚變量的條件均值不隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變,為常數(shù),但倚變量的條件方差卻隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變,并在引進一個變形函數(shù)后則不隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變的相關(guān)。彈性相關(guān)的兩個隨機變量散點圖如圖4所示。撓曲相關(guān)是指雖然倚變量的條件均值和條件均方差隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變,但在引進一個變形函數(shù)后可以使條件均值和條件均方差都不再隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變的相關(guān)。撓曲相關(guān)的兩個隨機變量相關(guān)散點圖如圖5所示。不難看出,剛性相關(guān)和彈性相關(guān)都是撓曲相關(guān)的特例。這3種相關(guān)雖不能蓋全,但由于抓住了二維分布中條件均值和條件均方差兩個最主要的數(shù)字特征的變化特點,已能適用于許多情況了,因此,若能解決這3種相關(guān)的二維分布構(gòu)建問題,則就能基本上滿足水文學(xué)中構(gòu)建二維分布的需要了。

    圖3 剛性相關(guān)散點分布

    圖4 彈性相關(guān)散點分布

    圖5 撓曲相關(guān)散點分布

    利用形變函數(shù)構(gòu)建兩個隨機變量二維分布的基本思想是;首先根據(jù)兩個隨機變量X與Y的相關(guān)散點圖的點據(jù)分布特點識別相關(guān)類型;然后將X和Y的現(xiàn)實x和y經(jīng)由形變函數(shù)變換成新的變量u和v,以達到消除原隨機變量X與Y之間的相關(guān)性的目的 。因為兩個新隨機變量U和V相互獨立,故可得U和V的二維密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(u,v)和F(u,v);最后通過變換再由求得的f(u,v)和F(u,v)分別得到原隨機變量X與Y的二維密度函數(shù)和分布函數(shù)f(x,y)和F(u,v)。

    對于剛性相關(guān),通過下列變換就可將原隨機變量X和Y轉(zhuǎn)變成兩個相互獨立的新隨機變量U和V:

    u=x

    (24)

    (25)

    式中:φ(x)為Y倚X的回歸方程;(1-φ(x)/y)為剛性形變函數(shù)。

    對于彈性相關(guān),通過下列變換就可將原隨機變量X和Y轉(zhuǎn)變成兩個相互獨立的新隨機變量U和V

    u=x

    (26)

    v=yλ(x)

    (27)

    式中:λ(x)為彈性形變函數(shù)。

    一般地,對于撓曲相關(guān),則通過變換:

    u=x

    (28)

    (29)

    就可將原隨機X和Y轉(zhuǎn)變成兩個相互獨立的新隨機變量U和V。式(29)中之λ(x)[1-φ(x)/y]稱為撓曲形變函數(shù)。

    由上述可知,根據(jù)形變函數(shù)理論構(gòu)建剛性相關(guān)、彈性相關(guān)和撓曲相關(guān)的二維分布需要解決的問題有:尋找合適的彈性形變函數(shù)、檢驗新隨機變量U和V的獨立性、導(dǎo)出原隨機變量與新隨機變量的二維分布函數(shù)或密度函數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系等。尋找合適的形變函數(shù),至今尚無理論方法,一般只能根據(jù)相關(guān)散點圖的點據(jù)分布特點,用經(jīng)驗試錯法確定。本文僅就后兩個問題做進一步討論。

    在概率論中,檢驗兩個隨機變量之間獨立性的最嚴(yán)格方法是它們的二維分布函數(shù)等于兩個邊際分布函數(shù)的乘積,或者是它們的二維密度函數(shù)等于兩個邊際密度函數(shù)的乘積。若對兩個具有相關(guān)關(guān)系的隨機變量X和Y已經(jīng)獲得了n個二維現(xiàn)實:(x1,x1)、(x2,x2)、(x3,x3)、…、(xn,xn),這n個二維現(xiàn)實實際上就是一個來自其總體的二維樣本。按照數(shù)理統(tǒng)計理論,利用這個二維樣本可以對總體的二維分布函數(shù)和兩個邊際分布作出估計,事實上有F(xi,yi)=P{x≥xi∩y≥yi},F(xi)=P{X≥xi},F(yi)=P{Y≥yi}(i=1,2,…,n)。因此,如果

    P{X≥xi∩Y≥yi}=P{X≥xi}·P{Y≥yi}

    (30)

    那么X與Y將是相互獨立的。圖6是利用式(30)檢驗兩個隨機變量獨立性的一個實例,圖中點據(jù)“×”為原變量的計算結(jié)果,點據(jù)“?”則為由形變變函數(shù)轉(zhuǎn)換成新變量的計算結(jié)果。不難看出,對于兩個具有相關(guān)性的隨機變量,引入適當(dāng)?shù)男巫兒瘮?shù)可使它們的相關(guān)性減弱,甚至消除,從而使兩個新隨機變量相互獨立。

    圖6 獨立性檢驗

    為了導(dǎo)出原隨機變量與新隨變量二維分布函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,只需利用重積分知識,即有

    (31)

    式中:J為雅可比行列式,其計算式為

    (32)

    例如:對于剛性相關(guān),可以通過式(24)和式(25)表達的變換來使新隨機變量相互獨立的,因此其雅可比行列應(yīng)為

    (33)

    這就表明,對于剛性相關(guān),式(31)變?yōu)?/p>

    因為已證明U與V相互獨立,故上式變?yōu)?/p>

    (34)

    同理可得彈性相關(guān)和撓曲相關(guān)情況下原隨機變量與新隨機變量二維分布函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

    5 在水文學(xué)中的應(yīng)用

    在求解眾多的水文學(xué)科學(xué)和應(yīng)用問題時,常常會遇到求解邊際分布、條件分布、復(fù)雜事件概率、隨機變數(shù)函數(shù)的分布等問題。求邊際分布指的是在具有相關(guān)性的兩個變量中,由一個變量X的分布函數(shù)推求另一個變量Y的分布函數(shù)。由概率論知,這個問題可表達為

    (35)

    求條件分布指的是:在具有相關(guān)性的兩個隨機變量中,當(dāng)其中一個X取現(xiàn)實x時求另一個Y的分布函數(shù)。由概率論知,這個問題可表達為

    (36)

    求復(fù)雜事件概率指的是推求包括有兩個或兩個以上隨機變量的復(fù)雜隨機事件的概率。由概率論知,構(gòu)成復(fù)雜事件有“或”和“交”兩種基本類型。因此,若復(fù)雜事件僅涉及兩個隨機變量,則其“或”和“交”的概率分別為

    P{X≥x∪Y≥y}=P{X≥x}+P{Y≥y}-

    P{X≥x∩Y≥y}=Fx(x)+Fy(y)-F(x,y)

    (37)

    P{X≥x∩Y≥y}=F(x,y)

    (38)

    求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)指的是,當(dāng)隨機變量Z是另外一些隨機變量X1、X2、…的函數(shù)即X=g(X1,X2,…)時,通過X1、X2、…的聯(lián)合分布函數(shù)推求Z的分布函數(shù)。由概率論知,有

    (39)

    若Z僅是兩上隨機變量X和Y的函數(shù)即Z=g(X,Y),則式(39)變?yōu)?/p>

    (40)

    式中:Ω為積分域。

    由式(35)~(40)容易看出,無論是求邊際分布和條件分布,還是求復(fù)雜事件概率和隨機變量函數(shù)的分布,都要涉及二維或多維分布問題。

    在水文學(xué)中,資料的插補展延屬于求邊際分布問題[6]。概率水文預(yù)報屬于求條件分布問題[7]。非一致性樣本頻率分析,有的屬于求復(fù)雜事件概率問題,有的則屬于求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)問題。水工程風(fēng)險率[8]、設(shè)計洪水[9-10]、干支流洪水和洪與潮遭遇組合[9,11]、地貌瞬時單位線[12-14]等一般均屬于求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)問題。因其中大多數(shù)問題可在現(xiàn)有的文獻中找到,故本文僅對二維分布在不一致性樣本頻率分析中的應(yīng)用作具體討論。

    用數(shù)理統(tǒng)計理論和方法確定隨機變量分布函數(shù)的思路,是通過分析樣本的統(tǒng)計規(guī)律來推斷總體的統(tǒng)計規(guī)律。因此前提必然是樣本必須來自同一總體,如果樣本不完全來自同一整體,那么這個樣本就是非一致性樣本,這種不一致性樣本不加區(qū)別地放在一個樣本中顯然是不能反映總體的統(tǒng)計規(guī)律的。從物理成因可知,一個樣本之所以不一致,可能是形成機理上的差異,也可是受到了外因,如人類活動的干擾。由后一個原因?qū)е碌臉颖静灰恢滦约捌涓恼椒ㄒ延性S多文獻討論過[15],而由前一個原因?qū)е碌臉颖静灰恢滦约案恼?,筆者發(fā)現(xiàn)有一種錯誤的觀點正在流行[16]。這種錯誤觀點認為若樣本中有來自不同總體的兩種信息,則其總體分布函數(shù)F(z)是這兩種信息所對應(yīng)的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)分別以α和(1-α)為權(quán)重的加權(quán)平均即F(z)=αF1(x)+(1-α)F2(y)。現(xiàn)以某站降雨頻率分析為例來說明其錯誤所在。由分析得知該站年最大一日雨量可能出現(xiàn)在梅雨季,也可能出現(xiàn)在臺風(fēng)季。也就是說,該站年最大一日雨量可能是由梅雨和臺風(fēng)兩種天氣系統(tǒng)形成的。如果不分形成機理而將所得年最大一日雨量系列作為樣本,那么這個樣本將不具備一致性。在這種情況下,正確的思維應(yīng)是先分別從梅雨季和臺風(fēng)季中各選取最大一日雨量樣本,在求得這兩個樣本的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)后,再按式(4)求得該站年最大一日雨量的分布函數(shù)F(z)。因為

    {Z≥z}={X≥z∪Y≥z}

    所以P{Z≥z}=P{X≥z}+P{Y≥z}-

    P{X≥z∩Y≥y}

    即F(z)=F1(z)+F2(z)-F(z,z)

    (41)

    如果欲求該站年降雨量分布函數(shù),那么由于年降雨量Z為梅雨季雨量X和臺風(fēng)季雨量Y之和,即Z=X+Y,而梅雨雨量和臺風(fēng)雨量的形成機理不同,正確的思維應(yīng)是先分別建立梅雨季雨量樣本和臺風(fēng)季雨量樣本,在求得這兩個樣本的分布函數(shù)F(x)和F(y)后,再按下式求得年降雨量的分布函數(shù):

    (42)

    6 結(jié) 語

    水文現(xiàn)象是十分復(fù)雜的,這不僅表現(xiàn)為其形成機理和時空變化十分復(fù)雜,而且表現(xiàn)為變量之間的關(guān)系十分復(fù)雜。對有些水文問題的解決,一維分布理論和方法已不能適應(yīng),而有待引入多維分布理論和方法。多維密度函數(shù)或多維分布函數(shù)是多維變量之間關(guān)系的最完整描述。揭示水文現(xiàn)象有關(guān)變量之間的關(guān)系,尋求多維分布函數(shù),用于解決有關(guān)水文學(xué)問題已成為水文學(xué)的重要研究內(nèi)容。

    近一個世紀(jì)以來,無論是數(shù)學(xué),還是水文學(xué),對二維分布的研究都有了一些進步。在數(shù)學(xué)上提出了由兩個邊際分布,通過尋找連結(jié)函數(shù)構(gòu)建二維分布的Copula函數(shù)理論和方法。在水文學(xué)上則發(fā)展了根據(jù)兩個隨機變量相關(guān)散點圖的特點,通過引入形變函數(shù)構(gòu)建二維分布的形變函數(shù)理論和方法。這兩種理論和方法,各有千秋,如能深入研究,也許會碰撞出一些新的火花。

    迄今為止,二維分布在資料插補展延、概率水文預(yù)報、非一致性頻率分析、水工程風(fēng)險率、設(shè)計洪水、干支流洪水及洪與潮遭遇組合、地貌瞬時單位線等水文學(xué)問題中得到了應(yīng)用。筆者將二維分布處理以上問題歸納為三類:一是直接應(yīng)用二維分布性質(zhì),如資料系列插補展延、概率水文預(yù)報等問題;二是通過分析事件而應(yīng)用二維分布,如水工程風(fēng)險率等問題;三是通過建立功能函數(shù)而應(yīng)用二維分布,如設(shè)計洪水、干支流水和洪與潮遭遇組合、地貌瞬時單位線等。當(dāng)然也有一些水文學(xué)問題涉及以上三類中之二,例如非一致性樣本頻率分析。正確應(yīng)用二維分布的性質(zhì),正確分析事件之關(guān)系,以及正確選擇和建立功能函數(shù),就成為二維分布由理論通向應(yīng)用的橋梁。

    在水文觀測年限不長,水文資料還不夠豐富時,二維分布的使用必然受到很大的限制,因此在半個世紀(jì)前談?wù)摱S分布在水文學(xué)中應(yīng)用似乎過于超前,但現(xiàn)在面臨的是信息爆炸時代,不失時機地將二維分布的研究提上議事日程,也許是當(dāng)代水文學(xué)者的歷史責(zé)任。

    猜你喜歡
    水文學(xué)邊際正態(tài)分布
    中文水文學(xué)溯源及傳播
    隨身新配飾
    追求騎行訓(xùn)練的邊際收益
    社會治理的邊際成本分析
    基于對數(shù)正態(tài)分布的出行時長可靠性計算
    簡述現(xiàn)代水文學(xué)的現(xiàn)狀及展望
    正態(tài)分布及其應(yīng)用
    正態(tài)分布題型剖析
    涇河中游龍山文化晚期特大洪水水文學(xué)研究
    χ2分布、t 分布、F 分布與正態(tài)分布間的關(guān)系
    久久久久久久久久成人| 美女黄网站色视频| 91久久精品国产一区二区成人| 午夜爱爱视频在线播放| 一本精品99久久精品77| 免费无遮挡裸体视频| 亚洲乱码一区二区免费版| 床上黄色一级片| 欧美在线一区亚洲| 精品一区二区三区视频在线| 国产欧美日韩一区二区精品| 亚洲精品影视一区二区三区av| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 成人午夜高清在线视频| 乱人视频在线观看| 久久精品综合一区二区三区| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 听说在线观看完整版免费高清| 69av精品久久久久久| 日本 欧美在线| 日本精品一区二区三区蜜桃| 国产免费av片在线观看野外av| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 99热只有精品国产| 国产精品,欧美在线| 国产91精品成人一区二区三区| 一级毛片久久久久久久久女| 老司机午夜福利在线观看视频| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区 | 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 日韩精品中文字幕看吧| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 夜夜爽天天搞| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 国语自产精品视频在线第100页| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| or卡值多少钱| 国产v大片淫在线免费观看| 欧美日韩国产亚洲二区| 精华霜和精华液先用哪个| 黄色视频,在线免费观看| 在线看三级毛片| av专区在线播放| 日本黄色视频三级网站网址| 88av欧美| 亚洲成人久久爱视频| 可以在线观看毛片的网站| 不卡一级毛片| 欧美性猛交黑人性爽| 亚洲成人久久爱视频| av专区在线播放| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| АⅤ资源中文在线天堂| x7x7x7水蜜桃| 伊人久久精品亚洲午夜| 黄色女人牲交| 亚洲av免费高清在线观看| 国产精品一区二区免费欧美| 老熟妇仑乱视频hdxx| 亚洲内射少妇av| 好男人在线观看高清免费视频| 国产高清三级在线| 国产一区二区三区视频了| 十八禁网站免费在线| 给我免费播放毛片高清在线观看| 国产激情偷乱视频一区二区| av在线观看视频网站免费| 国产精品女同一区二区软件 | 色综合亚洲欧美另类图片| 亚洲精品影视一区二区三区av| 日本三级黄在线观看| 国产精品98久久久久久宅男小说| 亚洲av免费在线观看| 毛片女人毛片| 18+在线观看网站| 97碰自拍视频| 99国产精品一区二区蜜桃av| 欧美另类亚洲清纯唯美| av.在线天堂| 精品午夜福利在线看| 亚洲四区av| 黄色欧美视频在线观看| 日本五十路高清| 极品教师在线免费播放| 免费黄网站久久成人精品| 国产精品1区2区在线观看.| 久久久久久伊人网av| 性色avwww在线观看| 一本精品99久久精品77| 成人国产一区最新在线观看| 国产成年人精品一区二区| 免费人成视频x8x8入口观看| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产免费一级a男人的天堂| 精品一区二区免费观看| 乱人视频在线观看| 午夜精品在线福利| 日韩欧美在线二视频| 不卡视频在线观看欧美| 色在线成人网| 久久久精品欧美日韩精品| 久久久国产成人免费| 精品久久久噜噜| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 精华霜和精华液先用哪个| 亚洲七黄色美女视频| 女人被狂操c到高潮| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 熟女电影av网| 日韩精品有码人妻一区| 成人特级av手机在线观看| 亚洲精品影视一区二区三区av| 成年女人毛片免费观看观看9| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 欧美三级亚洲精品| 最好的美女福利视频网| 欧美日韩精品成人综合77777| 91久久精品国产一区二区三区| 舔av片在线| а√天堂www在线а√下载| 99久久精品国产国产毛片| 国产精品一区www在线观看 | 欧美一区二区精品小视频在线| 色在线成人网| 精品一区二区免费观看| 偷拍熟女少妇极品色| 亚洲va在线va天堂va国产| 欧美丝袜亚洲另类 | 神马国产精品三级电影在线观看| 啦啦啦韩国在线观看视频| 色综合色国产| 日韩精品青青久久久久久| 在线免费观看的www视频| 淫秽高清视频在线观看| 啪啪无遮挡十八禁网站| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 一夜夜www| 成人午夜高清在线视频| x7x7x7水蜜桃| 精品一区二区三区av网在线观看| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 一区二区三区高清视频在线| 国产免费av片在线观看野外av| 长腿黑丝高跟| 日韩高清综合在线| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 九色国产91popny在线| 色5月婷婷丁香| 日韩人妻高清精品专区| 99久久中文字幕三级久久日本| 两个人视频免费观看高清| 成人性生交大片免费视频hd| 中文字幕高清在线视频| 黄色女人牲交| 色视频www国产| 亚洲av五月六月丁香网| 99在线人妻在线中文字幕| 免费在线观看成人毛片| 黄色一级大片看看| 国产精品日韩av在线免费观看| 欧美丝袜亚洲另类 | 天美传媒精品一区二区| 99热精品在线国产| 国内揄拍国产精品人妻在线| x7x7x7水蜜桃| av福利片在线观看| a级毛片a级免费在线| 中文字幕免费在线视频6| 国产精品久久久久久久电影| 我要搜黄色片| 欧美最黄视频在线播放免费| 少妇被粗大猛烈的视频| 国产中年淑女户外野战色| 黄色一级大片看看| a级毛片a级免费在线| 日本熟妇午夜| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 能在线免费观看的黄片| 在线观看66精品国产| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 亚洲欧美精品综合久久99| 国产视频一区二区在线看| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 黄色丝袜av网址大全| 欧美+亚洲+日韩+国产| 99国产精品一区二区蜜桃av| 18+在线观看网站| 搡女人真爽免费视频火全软件 | 性欧美人与动物交配| 又紧又爽又黄一区二区| 日本a在线网址| 日本一本二区三区精品| 少妇人妻一区二区三区视频| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 日韩,欧美,国产一区二区三区 | 亚洲无线观看免费| 99在线人妻在线中文字幕| 91精品国产九色| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 最近中文字幕高清免费大全6 | 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 国产人妻一区二区三区在| 国产精品乱码一区二三区的特点| 久久久久久国产a免费观看| 99热这里只有精品一区| 中文字幕av成人在线电影| 色播亚洲综合网| 国产伦精品一区二区三区四那| 18禁黄网站禁片免费观看直播| 一本一本综合久久| 精品福利观看| 深爱激情五月婷婷| 成人一区二区视频在线观看| 亚洲av.av天堂| 在线看三级毛片| 亚洲成人免费电影在线观看| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 精品无人区乱码1区二区| 尾随美女入室| 亚洲欧美日韩无卡精品| 日本爱情动作片www.在线观看 | 久9热在线精品视频| 亚洲av不卡在线观看| 国产免费男女视频| 神马国产精品三级电影在线观看| 国产av不卡久久| 午夜老司机福利剧场| 日本三级黄在线观看| 一个人看的www免费观看视频| 精品久久久久久久久亚洲 | 国产亚洲精品综合一区在线观看| 人妻夜夜爽99麻豆av| 久久精品影院6| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 国产精品电影一区二区三区| 国产爱豆传媒在线观看| 嫩草影院精品99| 热99re8久久精品国产| 在线播放无遮挡| 亚洲成人精品中文字幕电影| 91久久精品国产一区二区成人| 久久精品国产鲁丝片午夜精品 | 男人的好看免费观看在线视频| 观看免费一级毛片| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 能在线免费观看的黄片| 亚洲成av人片在线播放无| 97碰自拍视频| 亚洲内射少妇av| 99热6这里只有精品| 色尼玛亚洲综合影院| 成年女人毛片免费观看观看9| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片 | 亚洲五月天丁香| 国产淫片久久久久久久久| 欧美中文日本在线观看视频| 国产中年淑女户外野战色| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 熟女人妻精品中文字幕| 国产探花极品一区二区| 亚洲av美国av| 少妇人妻精品综合一区二区 | 丰满的人妻完整版| 国产精华一区二区三区| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片 | 国产精品久久电影中文字幕| 国产精品一区二区性色av| 18禁在线播放成人免费| 免费黄网站久久成人精品| 999久久久精品免费观看国产| 久久精品综合一区二区三区| 午夜福利成人在线免费观看| 一个人看的www免费观看视频| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 国产亚洲av嫩草精品影院| 欧美潮喷喷水| 久久久午夜欧美精品| 欧美黑人巨大hd| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| avwww免费| 能在线免费观看的黄片| 白带黄色成豆腐渣| 有码 亚洲区| 日本在线视频免费播放| 悠悠久久av| 狠狠狠狠99中文字幕| 国产久久久一区二区三区| 中文字幕av成人在线电影| 欧美成人a在线观看| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 男人舔女人下体高潮全视频| 麻豆成人午夜福利视频| 亚洲最大成人中文| 免费高清视频大片| 欧美极品一区二区三区四区| 91久久精品电影网| 久久久久久国产a免费观看| 99久国产av精品| 少妇高潮的动态图| 我的女老师完整版在线观看| x7x7x7水蜜桃| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 日本黄色片子视频| 国产精品久久久久久久电影| 天堂动漫精品| 国产亚洲欧美98| 老司机深夜福利视频在线观看| 久久人人精品亚洲av| 两个人视频免费观看高清| 久久久久精品国产欧美久久久| 国产高潮美女av| 久久久久久大精品| 亚洲精品影视一区二区三区av| 日韩在线高清观看一区二区三区 | 欧美在线一区亚洲| 精品国内亚洲2022精品成人| 亚洲成人中文字幕在线播放| 性色avwww在线观看| 中文字幕高清在线视频| 婷婷色综合大香蕉| 亚洲av免费高清在线观看| 国产伦精品一区二区三区四那| 色在线成人网| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| av黄色大香蕉| 国产一级毛片七仙女欲春2| 日韩强制内射视频| 中出人妻视频一区二区| 久久久久久久久中文| 2021天堂中文幕一二区在线观| 91久久精品国产一区二区成人| 精品一区二区三区av网在线观看| 国产男靠女视频免费网站| 深爱激情五月婷婷| 直男gayav资源| 久久精品91蜜桃| 精品午夜福利在线看| 在线看三级毛片| .国产精品久久| 有码 亚洲区| 夜夜夜夜夜久久久久| 白带黄色成豆腐渣| 九色成人免费人妻av| 久久99热6这里只有精品| 婷婷精品国产亚洲av| 国产精品一区二区三区四区久久| 99热6这里只有精品| 亚洲av二区三区四区| 天堂√8在线中文| 国产视频内射| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 香蕉av资源在线| 国产视频内射| 网址你懂的国产日韩在线| АⅤ资源中文在线天堂| 欧美高清性xxxxhd video| 男女啪啪激烈高潮av片| 性插视频无遮挡在线免费观看| 免费一级毛片在线播放高清视频| 亚洲精品成人久久久久久| 日韩亚洲欧美综合| 老司机深夜福利视频在线观看| 波多野结衣高清作品| 特大巨黑吊av在线直播| 国产三级中文精品| 美女cb高潮喷水在线观看| 国产毛片a区久久久久| 国产精品日韩av在线免费观看| 国产精品永久免费网站| 国产精品福利在线免费观看| 国产欧美日韩一区二区精品| 国内精品一区二区在线观看| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 久久精品国产亚洲av天美| 午夜福利18| 精品人妻熟女av久视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 一夜夜www| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 丰满的人妻完整版| 中出人妻视频一区二区| 亚洲精品亚洲一区二区| 在现免费观看毛片| av福利片在线观看| 嫩草影院新地址| 亚洲中文日韩欧美视频| 我的女老师完整版在线观看| 成人av在线播放网站| 久久久久久久久久成人| 国产亚洲91精品色在线| 久久精品国产鲁丝片午夜精品 | 在线观看午夜福利视频| 亚洲最大成人中文| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 国产欧美日韩精品一区二区| 久久中文看片网| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产高清视频在线播放一区| а√天堂www在线а√下载| 赤兔流量卡办理| 免费高清视频大片| 亚洲第一电影网av| 午夜a级毛片| aaaaa片日本免费| 欧美日韩黄片免| 嫩草影院入口| av在线亚洲专区| 国产精品一区二区三区四区久久| 国产精品久久电影中文字幕| 国产精品福利在线免费观看| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 熟女电影av网| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 老司机深夜福利视频在线观看| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 桃色一区二区三区在线观看| 久久久久久九九精品二区国产| 啪啪无遮挡十八禁网站| 伦精品一区二区三区| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 99久久成人亚洲精品观看| 99视频精品全部免费 在线| 天美传媒精品一区二区| 麻豆一二三区av精品| 色综合亚洲欧美另类图片| 亚洲欧美精品综合久久99| 久久久久久九九精品二区国产| 午夜老司机福利剧场| 老司机深夜福利视频在线观看| 色综合站精品国产| 又黄又爽又刺激的免费视频.| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 亚洲18禁久久av| 真人做人爱边吃奶动态| 日本a在线网址| av福利片在线观看| 在线免费十八禁| 神马国产精品三级电影在线观看| 特大巨黑吊av在线直播| 在线免费观看的www视频| 99精品在免费线老司机午夜| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 欧美不卡视频在线免费观看| 国内精品宾馆在线| 亚洲真实伦在线观看| 精品日产1卡2卡| 91麻豆精品激情在线观看国产| 99热精品在线国产| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 99久久九九国产精品国产免费| 高清毛片免费观看视频网站| 在线观看av片永久免费下载| 啦啦啦啦在线视频资源| 99热网站在线观看| 成人美女网站在线观看视频| 国产精品精品国产色婷婷| 亚洲国产精品合色在线| a在线观看视频网站| ponron亚洲| 麻豆av噜噜一区二区三区| 少妇丰满av| 国产在线精品亚洲第一网站| a级毛片免费高清观看在线播放| 免费看光身美女| 日韩高清综合在线| 又粗又爽又猛毛片免费看| 老司机午夜福利在线观看视频| 免费av毛片视频| 免费观看精品视频网站| 午夜亚洲福利在线播放| 全区人妻精品视频| 一进一出抽搐动态| 久久精品国产自在天天线| av在线老鸭窝| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 又黄又爽又免费观看的视频| 在现免费观看毛片| 色在线成人网| 观看免费一级毛片| 乱人视频在线观看| .国产精品久久| 成人性生交大片免费视频hd| 美女免费视频网站| 久久久精品大字幕| 制服丝袜大香蕉在线| 在线观看免费视频日本深夜| 国产麻豆成人av免费视频| 精品久久久久久久久亚洲 | 国产高清视频在线观看网站| 国产亚洲精品av在线| 夜夜爽天天搞| 一进一出抽搐gif免费好疼| 免费看日本二区| 99久久精品热视频| 麻豆一二三区av精品| 亚洲欧美日韩卡通动漫| av在线蜜桃| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 久久精品国产清高在天天线| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 午夜福利在线观看吧| 日韩人妻高清精品专区| 亚洲久久久久久中文字幕| 五月玫瑰六月丁香| 欧美高清成人免费视频www| 免费搜索国产男女视频| 午夜福利高清视频| 精品久久久久久成人av| 国产精品三级大全| 亚洲av五月六月丁香网| 午夜爱爱视频在线播放| 男人舔女人下体高潮全视频| 可以在线观看毛片的网站| 岛国在线免费视频观看| 麻豆久久精品国产亚洲av| 欧美丝袜亚洲另类 | 真人做人爱边吃奶动态| 久久亚洲真实| 91午夜精品亚洲一区二区三区 | 久久精品影院6| 天天一区二区日本电影三级| 欧美色视频一区免费| 亚洲美女黄片视频| 亚洲人成网站高清观看| 日本免费a在线| 一区二区三区激情视频| 欧美中文日本在线观看视频| 国产精品人妻久久久影院| 国产精品99久久久久久久久| 春色校园在线视频观看| av在线观看视频网站免费| 亚洲天堂国产精品一区在线| 日韩强制内射视频| 国产视频一区二区在线看| 国产视频内射| 亚洲av免费在线观看| 日韩在线高清观看一区二区三区 | 欧美精品啪啪一区二区三区| 亚洲国产色片| 国内揄拍国产精品人妻在线| 午夜视频国产福利| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 欧美又色又爽又黄视频| 午夜久久久久精精品| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| x7x7x7水蜜桃| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 伦精品一区二区三区| 亚洲av免费高清在线观看| 搡老岳熟女国产| 欧美潮喷喷水| 精品久久久久久久末码| 亚洲精品在线观看二区| 真实男女啪啪啪动态图| 观看美女的网站| 国产免费一级a男人的天堂| 人妻久久中文字幕网| 国产黄a三级三级三级人| h日本视频在线播放| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 日日撸夜夜添| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 亚洲国产色片| 黄色女人牲交| 亚洲,欧美,日韩| 99久久精品国产国产毛片| av国产免费在线观看| 国产伦精品一区二区三区四那| 午夜福利在线观看吧| 日本与韩国留学比较| 午夜精品一区二区三区免费看| 久久久久久久精品吃奶| 久久欧美精品欧美久久欧美| 精品人妻一区二区三区麻豆 | 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 国产精品福利在线免费观看| 国产色婷婷99| 性插视频无遮挡在线免费观看| 亚洲真实伦在线观看| 亚洲在线观看片| 99久久无色码亚洲精品果冻| av天堂在线播放| 亚洲在线观看片| 啪啪无遮挡十八禁网站| 亚洲真实伦在线观看| 国内精品久久久久精免费| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 亚洲 国产 在线| 一本精品99久久精品77| 日日干狠狠操夜夜爽| 中文字幕av成人在线电影| 国产大屁股一区二区在线视频| 免费观看人在逋| 悠悠久久av| 国产av一区在线观看免费| 观看美女的网站| 亚洲专区中文字幕在线| 国产综合懂色| av视频在线观看入口| 亚洲精品在线观看二区| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 啪啪无遮挡十八禁网站| 国产精品福利在线免费观看| 精品国内亚洲2022精品成人| 97热精品久久久久久| 国产一区二区三区av在线 | 九九爱精品视频在线观看| 天堂动漫精品| 亚洲性久久影院| 成人无遮挡网站|