金融工具中連續(xù)時(shí)間利息計(jì)算應(yīng)用研究

(廣州工商學(xué)院 廣東 廣州 510000)

2017年3月31日，財(cái)政部修訂發(fā)布了《企業(yè)會(huì)計(jì)準(zhǔn)則第22號(hào)——金融工具確認(rèn)和計(jì)量》(財(cái)會(huì)〔2017〕7號(hào))，在該準(zhǔn)則的第一章總則中第二條就明確規(guī)定了金融工具的含義。金融工具，是指形成一個(gè)企業(yè)的金融資產(chǎn)，并形成其他單位的金融負(fù)債或權(quán)益工具的合同。而貨幣時(shí)間價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)的量化是金融資產(chǎn)價(jià)值計(jì)量的基礎(chǔ)，金融資產(chǎn)的價(jià)值或價(jià)格就是由貨幣的時(shí)間價(jià)值和所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值共同決定的。貨幣的時(shí)間價(jià)值通常通過利息(或反過來，折現(xiàn))來體現(xiàn)。貨幣無疑是現(xiàn)代金融的核心，因而貨幣的時(shí)間價(jià)值及相關(guān)的利息、折現(xiàn)理論，既是整個(gè)金融的基礎(chǔ)，也是運(yùn)用各種工具和方法對金融資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)和計(jì)量的基礎(chǔ)。

一、關(guān)于利息計(jì)算的相關(guān)基礎(chǔ)理論概述

常見的計(jì)息方式有單利和復(fù)利兩種，其區(qū)別在于初始投資所產(chǎn)生的利息是否繼續(xù)計(jì)息，造成的結(jié)果則是單利方式下單位時(shí)間內(nèi)的利息為恒定常數(shù)，復(fù)利方式下單位時(shí)間內(nèi)的利率為恒定常數(shù)。例如，一個(gè)單位的投資經(jīng)歷任意一個(gè)單位的計(jì)息時(shí)間段所產(chǎn)生的利息都是一個(gè)常數(shù)，那么這種利息計(jì)算方式稱為單利方式，所對應(yīng)的利息稱為單利。按照利息累計(jì)函數(shù)的形式，單利方式下的累計(jì)函數(shù)：1個(gè)貨幣單位的本金在t時(shí)刻的價(jià)值a(t)=1+it，其中i為1個(gè)貨幣單位本金經(jīng)過1個(gè)計(jì)息期產(chǎn)生的利息，即為單利利率。

在單利方式下，實(shí)際利率是隨著時(shí)間發(fā)生變化的。這里實(shí)際利率是指在一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的利息除以期初的投資本金，由于隨著利息的積累，投資價(jià)值越來越大，但每單位的利息卻是恒定的，因此利率逐漸下降。設(shè)i為單利利率，那么第n個(gè)計(jì)息期的實(shí)際利率為

顯然，上面的in是n的遞減函數(shù)，因此單利計(jì)息方式下隱含的實(shí)際利率是遞減的。與單利不同，在復(fù)利計(jì)息方式下，已經(jīng)產(chǎn)生的利息收入自動(dòng)計(jì)入下一期的本金。毫無疑問，復(fù)利計(jì)息方式更加公平合理，也是現(xiàn)實(shí)中更加常見的計(jì)息方式。例如，1個(gè)貨幣單位的投資經(jīng)過任何一個(gè)單位的計(jì)息時(shí)間段的利率為常數(shù)，那么這種利息計(jì)算方式稱為復(fù)利方式，產(chǎn)生的利息稱為復(fù)利。復(fù)利意味著之前投資產(chǎn)生的利息經(jīng)過再投資后將產(chǎn)生新的利息，在復(fù)利方式下，在投資期間內(nèi)的每一個(gè)時(shí)刻，過去時(shí)間內(nèi)投入的所有本金和產(chǎn)生的全部利息都將用于下一時(shí)間段內(nèi)的再投資，從而產(chǎn)生新的利息。復(fù)利就是俗稱的“利滾利”的計(jì)息方式。復(fù)利方式下的累計(jì)函數(shù)：a(t)=(1+i)t。

計(jì)息方式與累計(jì)函數(shù)是一一對應(yīng)的，單利計(jì)息方式下累計(jì)函數(shù)必須是上述線性函數(shù)的形式，復(fù)利計(jì)息方式下的累積函數(shù)必須是指數(shù)函數(shù)的形式。反之，線性累積函數(shù)必然是單利計(jì)息，指數(shù)累積函數(shù)必然是復(fù)利計(jì)息。例如，如圖1所示，本金100元，年利率10%的情況下單利和復(fù)利方式下的累積收益對比。

圖1 復(fù)利與單利的收益增長速度比較

折現(xiàn)是計(jì)息的反過程。由于幾乎所有的金融工具都是面向未來的，因此，在金融資產(chǎn)計(jì)算的過程中，折現(xiàn)的應(yīng)用甚至?xí)嘤谟?jì)息。正所謂金融資產(chǎn)計(jì)量中所體現(xiàn)的貨幣時(shí)間價(jià)值，都是通過折現(xiàn)因素來實(shí)現(xiàn)的。初始的本金在經(jīng)過一段時(shí)間的投資后會(huì)產(chǎn)生利息，從而導(dǎo)致投資貨幣的價(jià)值隨著時(shí)間產(chǎn)生變化，利息或投資貨幣隨時(shí)間的相對變化就是利率。利息體現(xiàn)了貨幣具有時(shí)間性，或者說，具有時(shí)間價(jià)值，初始投資的貨幣經(jīng)過一段時(shí)間價(jià)值會(huì)發(fā)生變化，而不同時(shí)間點(diǎn)的同樣數(shù)量的貨幣將具有不同的價(jià)值。利息的計(jì)算，反映了一般的金融投資活動(dòng)中的“順時(shí)針”過程，即在開始和結(jié)束兩個(gè)時(shí)刻中，從開始推演至結(jié)束時(shí)點(diǎn)，將這個(gè)過程反過來，從結(jié)束推演至開始，就是與計(jì)息過程相對應(yīng)的折現(xiàn)過程。

二、連續(xù)時(shí)間利息的計(jì)算

在復(fù)利方式下，由于已產(chǎn)生的利息要加入計(jì)息基數(shù)，即使是在利率相同的情況下，不同的計(jì)息頻率也會(huì)影響計(jì)息的結(jié)果。在實(shí)務(wù)中，計(jì)息頻率通常是一個(gè)確定的、客觀的時(shí)間段，如1年、1月或1天。但在理論上，計(jì)息期間可以無限分割、趨近于零，計(jì)息頻率可以無限大。最理想的情形，假設(shè)在每個(gè)時(shí)點(diǎn)瞬間都可以進(jìn)行計(jì)息和結(jié)息，那么投資的價(jià)值變化將非常頻繁，每個(gè)時(shí)點(diǎn)都在發(fā)生變化。這種理想化的計(jì)息方式稱為連續(xù)利息計(jì)算。實(shí)務(wù)中按年、按月、按日的計(jì)息方式則稱為離散利息計(jì)算。盡管在現(xiàn)實(shí)中永遠(yuǎn)不可能做到連續(xù)計(jì)息，總要有一個(gè)時(shí)間分割、總歸是離散計(jì)息，但對連續(xù)利息的分析和研究將有助于深化對利息的理解并輔助對一般離散情形的分析。特別是在關(guān)于復(fù)雜金融產(chǎn)品定價(jià)的連續(xù)時(shí)間模型中，經(jīng)常大量使用連續(xù)利息計(jì)算。

離散狀態(tài)的利率表示的是利息累積在一段給定時(shí)間(如1年、1月或1日等)內(nèi)的速度，利息力則是表示利息累積在“瞬時(shí)”的速度，這種定義和表達(dá)方式，將有利于計(jì)算連續(xù)時(shí)間下的金融資產(chǎn)定價(jià)，同時(shí)有利于在進(jìn)行定價(jià)時(shí)引入函數(shù)、微分、積分、隨機(jī)過程等成熟的數(shù)學(xué)工具。這一點(diǎn)優(yōu)勢，是離散利息所無法比擬的。因此，盡管現(xiàn)實(shí)中的計(jì)息都是“離散”的，但在金融資產(chǎn)價(jià)值計(jì)量的各種研究分析和實(shí)務(wù)計(jì)量中，卻大量使用連續(xù)計(jì)息模型。

三、實(shí)務(wù)中引入連續(xù)計(jì)息的原因分析

現(xiàn)實(shí)中，所有的計(jì)息都是“離散”的，無論計(jì)息期間分割地多么精細(xì)，總有一個(gè)大于零的“間隔”，連續(xù)利息事實(shí)上只在理論中存在。那么，為什么要引入和分析連續(xù)時(shí)間利息?筆者認(rèn)為主要有以下三點(diǎn)原因。

第一，利率往往是隨時(shí)間變動(dòng)的，甚至帶有一定的隨機(jī)性，為了更好地反映利率這一特征，需要引入連續(xù)時(shí)間利息。連續(xù)時(shí)間利息是在時(shí)間區(qū)間趨近于無窮小時(shí)，分析利率和投資價(jià)值的變化，這與積分的理念一致。例如，在單利方式下，假設(shè)利率為i，那么單位本金經(jīng)過t時(shí)間后產(chǎn)生的利息即為it,這是非常簡單明了的。但是，如果利率是隨時(shí)間變化的，則情況將變得復(fù)雜。假設(shè)利率是時(shí)間函數(shù)i(t)，那么在每個(gè)計(jì)息期間1單位本金產(chǎn)生的利息近似于i(s),最極端的情況下，當(dāng)計(jì)息區(qū)間趨近于無窮小時(shí)，所計(jì)算的結(jié)果也趨近于“精確結(jié)果”，因此在時(shí)間t內(nèi)，在隨時(shí)間變化的利率i(s)下產(chǎn)生的利息為

在復(fù)利下，情況類似，當(dāng)利率為恒定常數(shù)i時(shí)，復(fù)利方式下1單位本金在t時(shí)間后的投資價(jià)值為

于是，當(dāng)復(fù)利變動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為時(shí)利息力函數(shù)在隨時(shí)間變化，因此，1單位初始本金在t時(shí)間的投資價(jià)值為

上邊的表達(dá)式其實(shí)就是復(fù)利方式下連續(xù)時(shí)間利息的累積函數(shù)。從這個(gè)角度理解，累積函數(shù)實(shí)際上就是在一定的計(jì)息時(shí)間內(nèi)，使用積分的方法將利息力函數(shù)“累加”起來得到投資價(jià)值，而利息力函數(shù)則代表了“瞬間”的利率。類似地，也可以從這個(gè)角度去理解貼現(xiàn)函數(shù)和貼現(xiàn)力函數(shù)。有了如上表達(dá)式，分析一些連續(xù)時(shí)間下的復(fù)雜金融工具將變得非常方便。

第二，使用連續(xù)時(shí)間利息進(jìn)行分析，可以避免計(jì)息期間的“選擇恐懼癥”。實(shí)務(wù)中經(jīng)常采用的計(jì)息方法是1年以上用復(fù)利、1年以內(nèi)采用單利的方式進(jìn)行計(jì)息，那么即使名義利率相同，但由于計(jì)息期間的選擇不同，仍將導(dǎo)致不同的計(jì)息結(jié)果。假設(shè)年利率為i，如果以1年為計(jì)息期，那么無疑投資價(jià)值為1+i；而如果對計(jì)息期進(jìn)行細(xì)分，假設(shè)分為n份，相應(yīng)地每期的利率為i/n,那么到期投資價(jià)值為(1+i)n。顯然n越大，到期投資價(jià)值就越大，而當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，投資價(jià)值就趨向于連續(xù)時(shí)間下的計(jì)息結(jié)果。

第三，引入連續(xù)時(shí)間計(jì)息，可以在金融資產(chǎn)價(jià)值計(jì)量時(shí)方便地使用各種成熟量化分析工具。在離散狀態(tài)下，可以使用的數(shù)學(xué)工具是非常有限的，而在連續(xù)時(shí)間模型里，則有大量的分析工具可供使用，這極大地方便了金融資產(chǎn)的量化分析。