對(duì)貨幣時(shí)間價(jià)值的再認(rèn)識(shí)
——年計(jì)息n次的復(fù)利計(jì)息現(xiàn)值計(jì)算探討

武國(guó)輝，周一萍

(黃岡師范學(xué)院 商學(xué)院，湖北 黃州 438000)

對(duì)貨幣時(shí)間價(jià)值的再認(rèn)識(shí)
——年計(jì)息n次的復(fù)利計(jì)息現(xiàn)值計(jì)算探討

武國(guó)輝，周一萍

(黃岡師范學(xué)院 商學(xué)院，湖北 黃州 438000)

貨幣時(shí)間價(jià)值原理在企業(yè)籌資、投資決策當(dāng)中起著基礎(chǔ)性作用，在對(duì)復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算進(jìn)行介紹的基礎(chǔ)上，對(duì)該例題進(jìn)行了深入剖析，并對(duì)半年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值低于一年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值原理進(jìn)行了歸納。進(jìn)一步的運(yùn)用二項(xiàng)式定理得出了年計(jì)息m次復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算規(guī)律，復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算規(guī)律的歸納總結(jié)能夠指導(dǎo)企業(yè)的投融資決策。對(duì)于企業(yè)籌資而言，在相同的名義利率下，計(jì)息期越短，其實(shí)際負(fù)擔(dān)的資本成本越高。對(duì)于銀行等金融機(jī)構(gòu)的貸款行為而言，在相同的名義利率下，計(jì)息期越短，意味著其實(shí)際收益率越高。

貨幣時(shí)間價(jià)值；復(fù)利現(xiàn)值；二項(xiàng)式定理

貨幣時(shí)間價(jià)值原理是財(cái)務(wù)管理的一項(xiàng)基本價(jià)值觀念，長(zhǎng)期投融資決策必須考慮時(shí)間價(jià)值因素，時(shí)間越長(zhǎng)，貨幣時(shí)間價(jià)值的影響就越大。因此，貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算是財(cái)務(wù)管理中的一個(gè)基礎(chǔ)性的問題。特別是計(jì)息期短于一年時(shí)間價(jià)值的計(jì)算，是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問題。本文將通過對(duì)教學(xué)案例的講解和剖析，試圖運(yùn)用數(shù)學(xué)原理說明每年計(jì)息n次復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算中的一些規(guī)律性問題。

1 教材例題講解

根據(jù)貨幣時(shí)間價(jià)值計(jì)算原理，當(dāng)計(jì)息期短于1年，而利率又是年利率時(shí)，計(jì)息期數(shù)和計(jì)息利率存在如下?lián)Q算關(guān)系：

t=m×n

式中，R表示期利率；i表示年利率；m表示每年的復(fù)利計(jì)息頻數(shù)；n表示年數(shù)；t表示換算后的計(jì)息期數(shù)。

為了說明問題方便，本文從一個(gè)教學(xué)案例談起[1]，教學(xué)案例選取的是荊新、王化成、劉俊彥主編，中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的《財(cái)務(wù)管理學(xué)》第七版第2章的一個(gè)例題，詳見該書第39頁(yè)例2-13。

某人準(zhǔn)備在第5年年末獲得1000元，年利息率為10%。試計(jì)算：(1)如果每年計(jì)息一次，則現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢？(2)如果每半年計(jì)息一次，則現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢？

(一)如果每年計(jì)息一次，即n=5，i=10%，F(xiàn)V5=1000，則

PV=FV5×PVIF10%,5=1000×0.621=621元

(二)如果每半年計(jì)息一次，即m=2，則

t=m×n=2×5=10

PV=FV10×PVIF5%,10=1000×0.614=614元

需要強(qiáng)調(diào)的是，復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算的基本規(guī)則是折現(xiàn)率和計(jì)息期數(shù)應(yīng)該配比。如果折現(xiàn)率選擇年利率，那么計(jì)息期數(shù)是以年為一期(如例題第一種情況所示)；如果折現(xiàn)率選擇半年期利率，那么計(jì)息期數(shù)是以半年為一期(如例題第二種情況所示)；相應(yīng)的，如果折現(xiàn)率選擇季度、月、星期、天等，計(jì)息期數(shù)也應(yīng)該分別以季度、月、星期、天為一期。當(dāng)然，同樣道理，復(fù)利終值的計(jì)算也應(yīng)該注意折現(xiàn)率和計(jì)息期數(shù)的配比。對(duì)于年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算，則應(yīng)關(guān)注年金A和折現(xiàn)率、計(jì)息期數(shù)的配比[2]。

2 對(duì)教材例題的進(jìn)一步分析

應(yīng)該注意到，第二種情形下復(fù)利現(xiàn)值為614元，第一種情形下復(fù)利現(xiàn)值為621元，也就是說半年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值小于一年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值。這是為什么呢？老師們通常是這樣解釋的：因?yàn)閺?fù)利計(jì)息，半年計(jì)息一次的情形下在半年到期就產(chǎn)生利息，參與了下一期利息孳生利息的計(jì)算，因此比一年計(jì)息一次利息孳生的速度要快，因此第一種情形的復(fù)利現(xiàn)值大于第二種復(fù)利現(xiàn)值[3]。

這樣定性的解釋并沒有錯(cuò)，但是如果能用數(shù)學(xué)的方法把這個(gè)問題作進(jìn)一步的解釋，似乎更加符合學(xué)術(shù)研究的基本邏輯，也能使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加深刻。

如果直接運(yùn)用復(fù)利現(xiàn)值的計(jì)算公式，上述答案可以寫為： (一)如果每年計(jì)息一次，即n=5，i=10%，F(xiàn)V5=1000，則

(二)如果每半年計(jì)息一次，即m=2，則

t=m×n=2×5=10

同樣可以正確計(jì)算出復(fù)利現(xiàn)值，并且得出半年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值小于一年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值的結(jié)論。下面，我們把上述結(jié)論按照如下思路進(jìn)行推演：

因?yàn)椋?/p>

所以：

(Ⅰ)

3 年計(jì)息兩次復(fù)利現(xiàn)值規(guī)律

根據(jù)上述推理，可以得出每半年計(jì)息一次復(fù)利現(xiàn)值小于每年計(jì)息一次復(fù)利現(xiàn)值的基本規(guī)律，具體論證如下：

其中，m、n為自然數(shù)。當(dāng)m=1時(shí)，有：

(Ⅱ)

上述推理過程正是例題的論證過程，不同的是，這里的利率是一個(gè)更加一般化的大于零的利率，n可以為任意自然數(shù)，F(xiàn)Vn可以為任意大于零的值。

4 年計(jì)息m次復(fù)利現(xiàn)值規(guī)律

上述推理過程較好的證明了半年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值小于一年計(jì)息一次的復(fù)利現(xiàn)值的結(jié)論。但是，上述推理過程不具有普遍性。為了探索更具一般性的復(fù)利現(xiàn)值計(jì)算規(guī)律，假設(shè)復(fù)利現(xiàn)值為PVt,復(fù)利終值為FVt，(本文用FVt表示每年計(jì)息m次的復(fù)利終值，用FVn表示每年計(jì)息1次的復(fù)利終值，而且FVt=FVn)；R表示期利率；i表示年利率，i>0；m表示每年的復(fù)利計(jì)息頻數(shù)；n表示年數(shù)；t表示換算后的計(jì)息期數(shù)。則：

更一般地，根據(jù)二項(xiàng)式定理(也稱楊輝三角)：

(Ⅲ)

當(dāng)m=1時(shí)：

當(dāng)m=2時(shí)：

當(dāng)m=3時(shí)：

觀察楊輝三角系數(shù)可知，當(dāng)m≥2時(shí)：

(Ⅳ)

根據(jù)上述推理可知，年計(jì)息m次的復(fù)利現(xiàn)值小于年計(jì)息m-1次的復(fù)利現(xiàn)值。

在既定的利率和終值下，隨著每年計(jì)息次數(shù)的增加，復(fù)利現(xiàn)值會(huì)變小。也就是說計(jì)息期越短，貨幣時(shí)間價(jià)值所起的作用越大。貨幣時(shí)間價(jià)值原理對(duì)企業(yè)的投融資行為具有重要影響。對(duì)于企業(yè)而言，意味著在進(jìn)行籌資時(shí)，在相同的名義利率下，計(jì)息期越短，其實(shí)際負(fù)擔(dān)的資本成本越高。對(duì)于銀行等金融機(jī)構(gòu)的貸款行為而言，在相同的名義利率下，計(jì)息期越短，意味著其實(shí)際收益率越高[4]。復(fù)利計(jì)息計(jì)算規(guī)律提示公司財(cái)務(wù)經(jīng)理：在簽訂借款合同時(shí)，除了要注意利率、抵押條件等條款外，還應(yīng)該注意利息計(jì)算方式的影響，利息計(jì)算方式的差異會(huì)導(dǎo)致資本成本的差異。復(fù)利計(jì)息計(jì)算規(guī)律提示商業(yè)銀行客戶經(jīng)理：在放貸過程中，除了控制信貸風(fēng)險(xiǎn)和獲得收益外，可以利用計(jì)息條件的差異調(diào)節(jié)實(shí)際利率，從而獲得更高的收益率水平。同樣，保險(xiǎn)公司、基金公司的精算師們?cè)谠O(shè)計(jì)金融產(chǎn)品時(shí)，同樣可以通過收益支付方式的精細(xì)化設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)和收益的最佳匹配，在迎合不同客戶需求時(shí)獲得最大程度的主動(dòng)權(quán)。

[1] 荊新，王化成，劉俊彥.財(cái)務(wù)管理學(xué) (第七版)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2015：39.

[2] 姚暉.會(huì)計(jì)準(zhǔn)則中的貨幣時(shí)間價(jià)值：發(fā)展歷程與展望[J].財(cái)會(huì)通訊，2009,(09)：63-66.

[3] 張萍香.貨幣時(shí)間價(jià)值在投資決策中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)與管理，2012,(02)：35-38.

[4] 劉秀英.貨幣時(shí)間價(jià)值在企業(yè)籌資中的應(yīng)用[J].天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,(01)：24-26.

責(zé)任編輯 周覓

2017-04-06 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.16

武國(guó)輝，男，河北張家口人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)樨?cái)務(wù)管理；周一萍，女，江西寧都人，教授，碩士，主要研究方向?yàn)闀?huì)計(jì)學(xué)。

黃岡師范學(xué)院科研項(xiàng)目(KYCH/2014017603)。

F012

A

1003-8078(2017)03-0072-04