歐拉函數(shù)在循環(huán)小數(shù)中的一個(gè)妙用

摘要：在分?jǐn)?shù)化小數(shù)問題上，雖然可以利用同余工具求所化成的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長，但若結(jié)合歐拉函數(shù)，則可能會(huì)事半功倍。本文以純循環(huán)小數(shù)為例，闡述了如何借助歐拉函數(shù)巧求循環(huán)節(jié)長。

關(guān)鍵詞：歐拉函數(shù);分?jǐn)?shù);循環(huán)小數(shù);循環(huán)節(jié)長

一、問題概述

眾所周知，分?jǐn)?shù)化小數(shù)時(shí)，所化成小數(shù)的類型、位數(shù)、循環(huán)節(jié)長（即循環(huán)節(jié)的位數(shù)），也可以不通過“分子除以分母的結(jié)果”得知。對(duì)于最簡真分?jǐn)?shù)[ab]來說，依據(jù)分母的數(shù)字特征和同余工具便可以知道它能化成哪一類小數(shù)以及小數(shù)的位數(shù)或循環(huán)節(jié)長：

（一）當(dāng)blength skillfully

K與10互質(zhì)即（b，10）=1時(shí)，[ab]可化成無限純循環(huán)小數(shù)，且純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長是滿足[10x≡（mod? ? b）]的最小正整數(shù)[x]。

（二）當(dāng)b與10不互質(zhì)時(shí)，[ab]可化成有限小數(shù)或無限混循環(huán)小數(shù)：

（1）若[b=2α5β] （[α，β]是非負(fù)整數(shù)），則[ab]可化成有限小數(shù)，且有限小數(shù)的位數(shù)是[max（α，β）]。

（2）若[b=2α5β]k（[α，β]是非負(fù)整數(shù)，[k]與10互質(zhì)，[k]>1），則[ab]可化成無限混循環(huán)小數(shù)，且混循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長是滿足[10x≡1（mod? ? k）]的最小正整數(shù)[x]，小數(shù)點(diǎn)后不循環(huán)部分的位數(shù)是[max（α，β）。]

這里，值得探討的是循環(huán)節(jié)長度問題。僅以純循環(huán)小數(shù)為例，雖然滿足[10x≡1（mod? ? k）]的最小正整數(shù)[x]就是最簡真分?jǐn)?shù)[ab]所化成小數(shù)的循環(huán)節(jié)長，但在具體尋找那個(gè)“最小正整數(shù)”時(shí)，有時(shí)會(huì)非常繁瑣，因?yàn)榭赡苄枰鹨豢疾榈貙ふ?。例如[151]，難以一下子就找到那個(gè)滿足[10x≡1（mod? ? 51）]的最小正整數(shù)[x]，若從小到大逐一考查，則需考查如下16個(gè)同余式子，甚是麻煩。

二、歐拉函數(shù)的妙用

對(duì)于上述問題，若借助歐拉函數(shù)，則可縮小考查范圍、事半功倍！所謂歐拉函數(shù)就是以正整數(shù)b為自變量、不超過b的正整數(shù)中與b互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)為因變量的函數(shù)，記作[φ]（b），設(shè)b的標(biāo)準(zhǔn)分解式為[b=p1α1p2α2…pnαn]，（[p1，][p2，…pn]為相異質(zhì)數(shù)，[α1，α2…αn]為正整數(shù)），可以證明[φ]（b）=[p1α1-1p2α2-1…pnαn-1（p1-1）（p2-1）…（pn-1）] .

三、結(jié)語

在循環(huán)節(jié)長度問題上，盡管歐拉函數(shù)可以縮小排查范圍、提高效率，但并不是說利用歐拉函數(shù)就一定方便！對(duì)于有些最簡分?jǐn)?shù)來說，我們很容易發(fā)現(xiàn)那個(gè)滿足[10x≡1（mod? ? b）]的最小正整數(shù)x，如果還用歐拉函數(shù)來找，則“畫蛇添足”。例如[299]，很容易發(fā)現(xiàn)滿足[10x≡1（mod? ? 99）]的最小正整數(shù)是x=2，即[299]化成小數(shù)后循環(huán)節(jié)長為2（當(dāng)然也可直接相除），若用歐拉函數(shù)反倒麻煩。故本文的“妙用”只是對(duì)某些分?jǐn)?shù)而言的（相應(yīng)小數(shù)的循環(huán)節(jié)比較長且[φ（b）]的正因數(shù)易求）。

作者簡介：

畢文玲（1974-），男，河南南陽人，主要從事師范教育研究。