考慮徑向間隙的非理想雙圓弧滾道滾珠絲杠副接觸角建模和分析

姜洪奎， 宋現(xiàn)春， 許向榮， 李彥鳳， 王樂源， 劉 濤， 杜 偉， 榮伯松

(1.山東建筑大學 機電工程學院，濟南 250010；2.山東濟寧博特有限公司，濟寧 272071)

精密滾珠絲杠副是數(shù)控機床進給系統(tǒng)的關鍵部件，由于滾珠絲杠副傳動效率高，且能夠消除傳動間隙、精度高以及運動平穩(wěn)，因而在數(shù)控機床和機械制造中得到廣泛應用。雙圓弧滾道(哥特式滾道)是目前精密滾珠絲杠副廣泛采用的截型形式。相對于單圓弧滾道，雙圓弧滾道型面的滾珠絲杠副能夠使接觸角基本保持不變，從而其傳動效率、承載能力和軸向剛度比較穩(wěn)定，但是雙圓弧滾道的精磨削相對于單圓弧滾道磨削比較困難，在這一磨削工藝過程中即使采用砂輪修整方法，也容易造成滾道的截形誤差[1]。在實際生產(chǎn)中，螺母側(cè)和絲杠側(cè)滾道加工后的接觸角與理想接觸角相差較大，有的滾道相差2°～3°，哥特式滾道實際加工誤差如圖1所示。彈性變形接觸角是衡量滾珠絲杠副裝配質(zhì)量的關鍵技術(shù)參數(shù)。彈性變形接觸角的大小不僅決定了滾珠絲杠副的整體傳動效率，而且與載荷分布、剛度、摩擦力矩、磨損等性能密切相關[2-5]。

由于精密滾珠絲杠副的彈性變形接觸角無法直接測量，應用成熟的力學模型對彈性變形接觸角進行理論計算成為控制滾珠絲杠副裝配質(zhì)量的主要方法。由于滾動軸承與滾珠絲杠副存在結(jié)構(gòu)的相似點，而且其彈性接觸角[6-8]的計算相對成熟，因此許多工程人員往往參考其計算模型進行計算。胡建忠等[9]以雙螺母定位預緊滾珠絲杠副為研究對象，對軸向接觸剛度的影響因素進行分析。Wang等[10]在計算滾珠絲杠副彈性接觸角的理論指導下，探索了使用磁致伸縮材料改變滾珠絲杠副預緊力的方法。趙國平等[11]根據(jù)彈塑性變形理論，研究了在超負荷工況下的滾珠絲杠副變形和剛度的計算方法。趙訓貴等[12]在假設彈性變形接觸角等于45゜的條件下，研究了制造誤差對彈性變形接觸角的影響，并給出了計算彈性接觸角的簡易公式。李夢奇等[13]基于赫茲理論和滾道控制理論，建立了滾珠絲杠動態(tài)接觸角模型，得到面向結(jié)構(gòu)參數(shù)的接觸角非線性方程組。對于研究不同工況下的結(jié)構(gòu)參數(shù)對滾珠絲杠副動態(tài)接觸角的影響規(guī)律有很好的指導作用。張承瑞等[14]基于MEAS仿真建模方法，建立了考慮黏性摩擦和傳動剛度的滾珠絲杠進給系統(tǒng)的二階數(shù)學模型，對于提高滾珠絲杠進給系統(tǒng)的控制性能具有重要的工程應用意義。黃俊等[15]考慮絲杠螺母副,支撐軸承及直線滾動導軌結(jié)合面參數(shù)對動態(tài)剛度的影響，利用能量法建立了雙驅(qū)動進給系統(tǒng)多自由度模型為了研究雙驅(qū)動進給系統(tǒng)的動態(tài)特性。楊勇等[16]充分考慮滾珠絲杠進給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)柔性以及耦合特性,構(gòu)建了滾珠絲杠進給系統(tǒng)多柔體動力學模型,為實現(xiàn)滾珠絲杠進給系統(tǒng)與伺服控制系統(tǒng)的集成建模提供了重要理論和方法。

這些計算方法和理論或者沒有考慮徑向間隙、滾道參數(shù)不相等的情況或者限定了彈性變形接觸角的取值，不能適用于新型的具有不同滾道參數(shù)的滾珠絲杠副的裝配和研制開發(fā)。

圖1 螺紋滾道實際加工廓形Fig.1 The actual machining profiles of Gothic raceway

基于上述原因，本文充分考慮滾珠絲杠副在實際加工中產(chǎn)生的滾道截型磨削誤差、加工接觸角不對等、徑向間隙等因素，以非理想滾道的滾珠絲杠副為研究對象，根據(jù)赫茲理論和幾何變形關系建立了通用的滾珠絲杠副彈性接觸角的計算模型和相應的數(shù)值方法，分析了螺母滾道、絲杠滾道、滾珠半徑、徑向間隙的幾何誤差對彈性變形接觸角的影響。該研究對研制開發(fā)新型滾珠絲杠副產(chǎn)品、優(yōu)化滾珠絲杠副裝配工藝、提升滾珠絲杠副的保養(yǎng)效率具有實際意義。

1 非理想滾道彈性變形接觸角建模

為了使問題得到簡化，準確地構(gòu)造求解模型，本文做出以下假設：①滾珠絲桿副中各滾珠受力均勻；②假設滾珠不出現(xiàn)打滑現(xiàn)象；③滾珠與滾道之間為赫茲接觸；④非理想滾道為幾何中心與滾珠中心成一定角度的雙半圓弧。

1.1 非理想滾道的初始接觸角

圖2 消除徑向間隙前后滾珠與滾道幾何關系Fig.2 Geometric relation between ball and raceway before and after diametric clearance is diminished

螺母沒有發(fā)生平動前，滾珠中心位于點Oon(0,Sd/2)處時，直線OonOn與y軸之間夾角為螺母側(cè)設計接觸角αn，點On(xn,yn)位于螺母側(cè)右半外圓曲率中心，設rs,rn,rb,分別為絲杠側(cè)滾道半徑、螺母側(cè)滾道半徑、滾珠半徑，因此，

(1)

(2)

滾珠中心位于點Os(xs,ys)處時，滾珠與絲杠側(cè)滾道右半外圓接觸，直線OosOs與y軸之間夾角為絲杠側(cè)設計接觸角αs，因為OosOs的距離為滾道半徑與滾珠半徑之差rs-rb，所以

(3)

(4)

(xo-xs)2+(yo-ys)2=(rs-rb)2

(5)

(6)

(7)

將公式(2)，(3)代入式(7)，可以得出初始接觸角α0為

(8)

1.2 滾珠與滾道之間的彈性變形協(xié)調(diào)模型

(rn+rs-2rb)cosα0=(rs+rn-2rb+δns+δnm)cosα

(9)

圖3 預載后滾珠與滾道之間的彈性變形協(xié)調(diào)幾何關系Fig.3 Displacements of ball and raceway before and after axial preload is applied

將式(8)代入式(9)可得彈性變形接觸角α為

(10)

由式(10)可以看出，只要求出滾珠與兩側(cè)滾道的法向變形量就可以得出彈性變形接觸角α。

由于軸承鋼是滾珠絲杠副常用的材料，根據(jù)赫茲理論[14]可得出，滾珠與滾道之間的法向變形量δns和δnn為

(11)

式中i=n表示螺母側(cè)，i=s表示絲杠側(cè)，Qi為單個滾珠承受的法向載荷，∑ρi為滾珠與滾道接觸表面的曲率和。根據(jù)文獻[17]單個滾珠承受的法向載荷Qi的計算公式為

(12)

式中：Fa為絲杠副所承受的軸向預緊載荷，z為單個螺母內(nèi)的承載滾珠個數(shù)，λ為螺旋升角。忽略重力對滾珠平衡狀態(tài)的影響，滾珠在兩側(cè)滾道內(nèi)法向載荷大小相等，即Qn=Qs。將式(11)～(12)代入式(10)可得初始接觸角α0和實際彈性接觸角α之間的關系式。

(13)

式(13)涉及到橢圓積分是一個非線性程度較高的方程，需要采用相應的數(shù)值算法對其進行求解。該方法已獲得專利[18]。

2 案例及討論

為了驗證本文提出的計算方法的通用性和正確性，應用本文提出的計算方法對雙半內(nèi)圈球軸承和3210的滾珠絲杠副進行了計算和對比分析。

2.1 雙半內(nèi)圈球軸承

雙半內(nèi)圈球軸承是非等適應度圓弧滾道的另一個特例。如圖4所示雙半內(nèi)圈球軸承的滾珠和滾道之間的幾何關系。雙半內(nèi)圈球軸承的外圈為單圓弧，雙半內(nèi)圈球軸承的內(nèi)圈為兩個半圓弧組成。在內(nèi)圈磨削時，在兩半內(nèi)圈之間加有墊片，當移去墊片并將雙半內(nèi)圈靠緊組合成軸承內(nèi)圈。墊片角αs(即滾珠與外滾道的接觸角)通過墊片厚度確定。由于螺母滾道為單圓弧，可以確定滾珠與螺母側(cè)接觸角為αn=0，代入式(8)可以得出雙半內(nèi)圈球軸承的初始接觸角α0為

(14)

公式(14)與文獻[14]中的計算公式相同。

圖4 雙半內(nèi)圈球軸承墊片角Fig.4 the diametric clearance of split inner-ring ball bearing

2.2 方法對比

以雙圓弧型的滾珠絲杠副為例，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：鋼球5.953 mm，公稱直徑32 mm，徑向間隙0.038 mm,滾珠與滾道的彈性變形法向變形量0.069 mm。應用本文所提出計算方法和文獻[12]中關于彈性接觸角的計算方法進行對比。

表1 新方法與文獻[8]方法計算結(jié)果對比Tab.1 Comparison of results from new method and method from literature [8]

從表1給出的兩種計算方法的計算結(jié)果可以看出：文獻[8]計算方法只能對絲杠、螺母滾道適應比、接觸角均相同的情況進行計算，當絲杠、螺母滾道的適應比、接觸角不完全相同時就無法給出相應的結(jié)果；在滾道適應比、接觸角相同的情況下，兩種方法的計算結(jié)果基本一致；文獻[12]的計算方法沒有考慮導程的因素，如在滾道幾何參數(shù)不變的情況下，導程10 mm和20 mm所得出的結(jié)果沒有變化。

新方法與文獻[12]的計算結(jié)果存在差異的原因是由于二者的方法不同。文獻[12]的關于雙圓弧滾道的彈性接觸角的計算方法求解思路是先假定彈性接觸角等于45°，然后對彈性變形接觸角的幾何關系式進行微分，得出設計接觸角增量、滾道尺寸增量、滾珠半徑增量和彈性接觸角之間的關系。由于采用微分方法得出各個幾何因素之間的關系式，因此各個參數(shù)的變動量必須變化較小，才能符合方法二的要求。本文的模型考慮了滾珠絲杠副公稱直徑和螺旋升角因素，用數(shù)值求解方法求解變形協(xié)調(diào)方程，避免了計算過程中偏差值較大的情況，而且沒有等接觸角、等滾道半徑的限制。因此與原有手段相比，本文提出的計算方法準確度高，通用性強，應用廣泛，所得結(jié)果更可信。

3 非理想滾道截形誤差的影響分析

以雙圓弧滾道3210滾珠絲杠副為研究對象，分析設計接觸角誤差、滾道半徑誤差對彈性變形接觸角的影響。3210型滾珠絲杠副的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2，滾珠和絲杠、螺母的材料都是軸承鋼。

表2 滾珠絲杠副參數(shù)表Tab.2 Parameters of example ball screw mechanism

(1)不對等的螺母、絲杠滾道設計接觸角的影響

為了方便分析螺母、絲杠滾道接觸角的不對等對彈性變形接觸角的影響，本文以3210滾珠絲杠副為研究對象，分別設定螺母、絲杠滾道設計接觸角變化范圍36.5°～39.5°，滾道適應比為0.54，以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為加載條件，徑向間隙0.067 mm，應用本文方法計算相同滾道半徑情況下不同滾道設計接觸角對滾珠絲杠副的彈性變形接觸角變化情況，其計算結(jié)果如圖5。

圖5 不同設計接觸角條件下的彈性接觸角等值線圖Fig.5 The contour map of elastic contact Angle under different design contact angle

從圖5可以看出，不同設計接觸角條件下滾珠絲杠副彈性接觸角等高線沿著圖8的對角線對稱分布。滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°的等高線近似一個斜放置的“M”字分布。在絲杠側(cè)設計接觸角(37.2°～38.8°)、螺母側(cè)設計接觸角(37.2°～38.8°)的范圍內(nèi)，45°的等高線的形狀接近直線，周圍的等高線分布范圍最為稀疏，而在圖5的四個角處等高線分布相對致密，絲杠側(cè)、螺母側(cè)設計接觸角分別等于(37.8°，37.8°)是“M”線的核心位置。因此從設計角度來看，37.8°是絲杠側(cè)、螺母側(cè)滾道設計接觸角的最佳值，因為這樣可以使得兩側(cè)滾道的接觸角加工誤差對滾珠絲杠副的彈性接觸角影響最小。從滾珠絲杠副的裝配理論來看，由于45°等高線接近斜度45°的直線，因此只要絲杠側(cè)、螺母側(cè)實際的接觸角滿足之和等于75.6°就可以保證滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°的最優(yōu)裝配性能。

(2)不對等的螺母、絲杠滾道半徑的影響

螺母、絲杠滾道半徑不標準、不對等是絲杠副磨削過程常見的加工誤差之一。以3210滾珠絲杠副為研究對象，分別設定螺母、絲杠滾道適應比變化范圍0.525～0.555，同樣以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為加載條件，絲杠側(cè)、螺母側(cè)接觸角均等于38°，徑向間隙0.067 mm，應用本文方法計算相同滾道設計接觸角下不同滾道半徑情況對滾珠絲杠副的彈性變形接觸角變化情況，其計算結(jié)果如圖6。

從圖6可以看出，不同滾道適應比條件下滾珠絲杠副彈性接觸角等高線沿對角線對稱分布。滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°的區(qū)域分布在一個長軸與對角線平行的近似橢圓以及兩個近似半圓區(qū)域內(nèi)。 在預緊載荷、徑向間隙不變的情況下，在螺母滾道適應比：0.531～0.548，絲杠滾道適應比：0.548～0.531這個近似橢圓區(qū)域內(nèi)，滾珠絲杠副彈性變形接觸角的變化基本在45°附近。即在一定幾何參數(shù)范圍內(nèi)滾道誤差的變化對滾珠絲杠副彈性變形接觸角的影響相對設計接觸角的影響較小。

圖6 不同滾道適應比條件下的彈性接觸角等值線圖Fig.6 The contour map of elastic contact Angle under different ratio of raceway

(3)徑向間隙的影響

不同加工方式的滾珠絲杠副的徑向間隙也各不相同，如對于公稱直徑28～32 mm之間的扎制絲杠最大間隙在0.14 mm，而同樣直徑范圍內(nèi)的精密滾珠絲杠副則在0～0.005 mm。為了方便分析徑向間隙對彈性變形接觸角的影響，本文以3210滾珠絲杠副為研究對象，分別設置徑向間隙為0.001 mm，0.01 mm，0.04 mm，螺母、絲杠滾道適應比等于0.54，以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為預緊條件。針對不同的徑向間隙，繪制相應的滾珠絲杠副的彈性接觸角等高線，如圖7所示。

圖7 不同徑向間隙下的彈性接觸角等值線圖Fig.7 The contour map of elastic contact Angle under different radial clearance

由圖7可以看出：圖(b)中45°的彈性接觸角等高線位于圖的中心，而且呈現(xiàn)為“M”形狀；圖(a)，(c)中的45°的彈性接觸角等高線位于圖的斜上角，而且呈現(xiàn)為“V”形狀；圖(a),(b),(c)中最為稀疏的等高線中心都各不相同。當徑向間隙為0.01 mm時，45°的彈性接觸角等高區(qū)域最大，因此三種徑向間隙的對比中，0.01 mm是3210型滾珠絲杠副在預緊變形為0.006 9 mm條件下的最佳值。圖7比較結(jié)果可以得出，滾珠絲杠副徑向間隙是影響滾珠絲杠副彈性接觸角的區(qū)域形狀大小的主要因素，因此要根據(jù)具體的滾珠絲杠副滾道的加工方式和加工誤差，合理設計徑向間隙的大小。

(4)滾珠大小的影響

在實際滾珠絲杠副的裝配中，往往采用非標滾珠調(diào)節(jié)滾珠絲杠副的彈性接觸角，所以分析滾珠直徑大小對彈性接觸角的影響非常有必要。以3210滾珠絲杠副為研究對象，螺母、絲杠滾道適應比變化范圍0.54，徑向間隙0.047 mm，以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為加載條件，參考軸承鋼球國家標準分別設定滾珠直徑大小為5.953 mm， 5.954 mm，5.958 mm。應用本文方法計算不同滾珠直徑對滾珠絲杠副的彈性變形接觸角等高線變化情況，其計算結(jié)果如圖8。

圖8 不同滾珠直徑的彈性接觸角等值線圖Fig.8 The contour map of elastic contact Angle under different diameter ball

比較圖11中(a)，(b)，(c)可以看出：滾珠直徑5.953～5.958 mm范圍內(nèi)，45°的彈性接觸角等高區(qū)分布變化不大。滾珠直徑大小不改變兩側(cè)滾道加工誤差對彈性接觸角的影響，因此采用改變滾珠直徑大小調(diào)節(jié)滾珠絲杠副的彈性接觸角的工藝比較合理。

4 結(jié) 論

(1)本文提出的非理想滾道滾珠絲杠副的彈性接觸角的計算方法具有通用性和正確性，不僅適合雙圓弧滾道的滾珠絲杠副，同樣適用于單圓弧滾道的滾珠絲杠副和雙半內(nèi)圈球軸承的彈性接觸角的計算。

(2)滾道半徑大小、滾珠直徑大小對滾珠絲杠副的彈性接觸角分布規(guī)律影響相對較小，徑向間隙對滾珠絲杠副的彈性接觸角分布規(guī)律影響相對較大；采用改變滾珠直徑大小調(diào)節(jié)滾珠絲杠副的彈性接觸角的工藝比較合理。

(3)對于特定型號的滾珠絲杠副，在預緊變形相同的條件下絲杠側(cè)、螺母側(cè)實際的接觸角之和等于一固定值，就可以保證裝配后滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°或者特定值。