數(shù)形結(jié)合 彰顯思維之美

殷小琳

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用。

一、 數(shù)形結(jié)合的價(jià)值

(一) 激活學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)教學(xué)既要讓學(xué)生學(xué)會(huì)，更要讓學(xué)生學(xué)通、學(xué)活。然而，在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常無(wú)法做到“舉一反三”“觸類旁通”“學(xué)以致用”，遇到一些稍復(fù)雜的問(wèn)題，更是顯得無(wú)從下手，混淆不已。究其原因，是學(xué)生找不到思維的落腳點(diǎn)。美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)圖形，那么思想就整體把握了問(wèn)題，并能創(chuàng)造性思索問(wèn)題的解法。”由此可見，數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)，激活思維。

(二) 簡(jiǎn)化解題的過(guò)程

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決具有靈活性、多樣性，正所謂“條條大路通羅馬”。假如用數(shù)形結(jié)合的方法去思考，也許就能從中找到一條捷徑。

例如：在計(jì)算1+3+5+7+9的值時(shí)，假如將這個(gè)算式轉(zhuǎn)化成圖形(如圖1)，就能快速地得出算式的結(jié)果為5×5=25。

(三) 溝通知識(shí)的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)常常以網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)存在，相互聯(lián)系、彼此溝通。然而，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解常常是點(diǎn)狀的、零散的、淺顯的。數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)，形成概括化、系統(tǒng)化的網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如：在學(xué)習(xí)了四邊形之后，可以借助圖形(如圖2)呈現(xiàn)出不同四邊形之間的關(guān)系。

二、 數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)狀

通過(guò)對(duì)學(xué)生課堂表現(xiàn)的觀察和對(duì)作業(yè)情況的分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)狀并不樂(lè)觀。雖然學(xué)生具有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，但是對(duì)于數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是盲目的、隨意的，只停留于問(wèn)題的解決，并未發(fā)展到提升思維的層次。主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

(一) 圖形的呈現(xiàn)不夠直觀

數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，拓展思維，然而學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，多了一些“模仿”與“記憶”，少了一些“聯(lián)系”與“變通”，更多地將數(shù)形結(jié)合作為解決某一類特定問(wèn)題的手段。當(dāng)遇到一個(gè)陌生的問(wèn)題時(shí)，一部分學(xué)生就不會(huì)靜下心來(lái)理性地分析，將題目中的數(shù)量關(guān)系以圖形的形式直觀、準(zhǔn)確、清晰地表達(dá)出來(lái)。

(二) 對(duì)問(wèn)題的分析不夠深入

“數(shù)”中有“形”，“形”中有“數(shù)”，學(xué)生將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”是思維的起點(diǎn)，也是理解題意的關(guān)鍵一步，但并非最后一步。很多學(xué)生卻止步于此，當(dāng)問(wèn)題得以解決的那一刻，思維也就此停留。不會(huì)再去想一想“為什么這樣做”“有沒(méi)有更好的方法”“圖形的背后還隱藏著哪些知識(shí)點(diǎn)”等。

(三) 對(duì)知識(shí)點(diǎn)的把握較零散

知識(shí)是相通的，但題目卻可以千變?nèi)f化。假如學(xué)生能將知識(shí)進(jìn)行梳理、溝通，建構(gòu)一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并將其不斷內(nèi)化，就可以以不變應(yīng)萬(wàn)變。然而，在解題時(shí)，雖然學(xué)生知道自己運(yùn)用的是什么知識(shí)點(diǎn)，但不會(huì)去追根究底，思考與這一知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的其它知識(shí)點(diǎn)以及相互之間的關(guān)系。

三、 數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合應(yīng)有的價(jià)值，彰顯出思維之美？我進(jìn)行了如下嘗試。

(一) 借“形”看“數(shù)”，讓思維清晰化

小學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，思維仍需要以具體表象為支撐?！靶巍弊畲蟮奶攸c(diǎn)就是直觀，它可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有利于學(xué)生更清晰地描述和分析問(wèn)題，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易，給人“柳暗花明又一村”的感覺(jué)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生變“解題者”為“參與者”，用心感受題目中的數(shù)量關(guān)系，并直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。

例如：有這樣兩道習(xí)題。習(xí)題1：3支鉛筆和1支鋼筆一共10.8元，鋼筆的單價(jià)是鉛筆的6倍，鋼筆和鉛筆的單價(jià)各是多少？習(xí)題2：師徒兩人一共做了120個(gè)零件，師傅比徒弟多做16個(gè)，兩人各做了多少個(gè)？

這兩題看起來(lái)類似，實(shí)則不同。但學(xué)生借助“形”，將問(wèn)題以圖文結(jié)合的方式展示出來(lái)(如圖3)，看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一經(jīng)加工處理，也能變得一目了然。

圖3：

題1中兩個(gè)量是倍數(shù)關(guān)系，把1支鋼筆換成6支鉛筆，也就是9支鉛筆是10.8元。題2中兩個(gè)量是相差關(guān)系，把徒弟換成師傅，總數(shù)就多了16個(gè)，也就是師傅所做的零件數(shù)的2倍是136個(gè)，這樣，就理清了數(shù)量關(guān)系，理順了學(xué)生的思維，從原來(lái)的不知從何入手到有章可循。

(二) 用“數(shù)”說(shuō)“形”，讓思維深刻化

“形”看似直觀，但如果用數(shù)學(xué)的眼光去打量它，用數(shù)學(xué)的思維去挖掘它，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在“形”的背后其實(shí)也藏著許多“數(shù)”的奧秘。而且學(xué)生思維能力、知識(shí)背景、生活經(jīng)驗(yàn)等方面均存在著一定的差異，觀察同一個(gè)“形”，不同的學(xué)生會(huì)有不一樣的思考，在交流和碰撞的過(guò)程中，也許還會(huì)產(chǎn)生新的思維火花。

例如：在“認(rèn)識(shí)平行四邊形”時(shí)，要求學(xué)生根據(jù)對(duì)平行四邊形特征的認(rèn)識(shí)，用小棒擺出不同的平行四邊形。通過(guò)操作，學(xué)生擺出了許多不同的平行四邊形。

師：觀察這些平行四邊形，你有沒(méi)有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生1：用4根、6根、8根小棒都可以擺出平行四邊形。

生2：小棒的根數(shù)都是雙數(shù)。

生3：5根可以擺一個(gè)平行四邊形嗎？

(生嘗試后發(fā)現(xiàn)只有偶數(shù)根小棒才能擺出一個(gè)平行四邊形)

生4：擺一個(gè)平行四邊形最少要用4根小棒。

生5：平行四邊形對(duì)邊所用的小棒根數(shù)相等，因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊相等。

生6：所用小棒根數(shù)越多，拼出來(lái)的平行四邊形就越大。

生7反駁：不一定小棒越多平行四邊形就越大，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拇笮『瓦叺拈L(zhǎng)度還有斜度(高)有關(guān)。

……

如果學(xué)生拼出平行四邊形后，不再進(jìn)行追問(wèn)，學(xué)生的思維可能就此止步。但當(dāng)學(xué)生再次觀察這些圖形的時(shí)候，不同的人能得到不一樣的感悟。也許學(xué)生的思維不夠嚴(yán)密，也許學(xué)生的表達(dá)不夠清晰，但是在觀察、歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于平行四邊形的認(rèn)識(shí)從直觀的感知提升到了理性的理解，甚至還延伸到了平行四邊形的周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系。學(xué)生的思維正在一步步地深入。

(三) “數(shù)”“形”互化，讓思維概括化

學(xué)生所學(xué)的知識(shí)是相互聯(lián)系、螺旋上升的，學(xué)生的學(xué)習(xí)常常會(huì)將新知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的知識(shí)，然后借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新的問(wèn)題。必要的知識(shí)梳理，可以幫助學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，把握知識(shí)本質(zhì)。

例如：在學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)方形和正方形的面積”這一課后，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，并將所學(xué)知識(shí)以圖形的形式整理出來(lái)。有學(xué)生是這樣整理的：

幾個(gè)簡(jiǎn)單的箭頭，不僅反映出了長(zhǎng)方形和正方形面積公式中各部分之間的關(guān)系?！耙还驳拿娣e單位=一行的面積單位×行數(shù)”說(shuō)明了在學(xué)生的頭腦中對(duì)于面積公式的由來(lái)有著清晰的認(rèn)識(shí)。一行的面積單位相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，行數(shù)相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬，有效地溝通了二維和一維之間的關(guān)系。清晰地解釋了長(zhǎng)方形和正方形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程。知識(shí)得以整合，思維得以概括。

總之，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)形結(jié)合能將看似雜亂無(wú)章的問(wèn)題與知識(shí)按一定的規(guī)律分析、梳理與整合，化抽象為直觀、化模糊為清晰、化零散為統(tǒng)一。數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生做到數(shù)中有形、形中有數(shù)，以數(shù)定形，看形思數(shù)，在數(shù)形結(jié)合中清晰把握問(wèn)題本質(zhì)，提升思維品質(zhì)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。