全等三角形證明中角的轉(zhuǎn)化

湖北省武漢市華中科技大學(xué)同濟(jì)附中(430030)王凱旋

全等三角形的證明和應(yīng)用是平面幾何證明的一個(gè)重要開端,線段的轉(zhuǎn)化和角的轉(zhuǎn)化是兩個(gè)重要的方向,相比較線段轉(zhuǎn)化的明確性,角的轉(zhuǎn)化具有一定的隱蔽性,一些全等三角形的證明中,對應(yīng)角的相等關(guān)系的證明卻頗費(fèi)周折,往往因?yàn)椴荒苷f明對應(yīng)角相等而導(dǎo)致不能完成全等三角形的證明.因此,我們需要發(fā)掘角的轉(zhuǎn)化的方法,以利于我們更好的完成全等的證明.筆者通過歸納總結(jié),得到如下的幾種轉(zhuǎn)化途徑.

一、互余轉(zhuǎn)化

利用直角三角形中的兩銳角互余或者兩個(gè)角的和為90°,進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)建角的相等關(guān)系.

例1如圖1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AN是過點(diǎn)A的一條直線,且BM ⊥AN于點(diǎn)M,CN ⊥AN于點(diǎn)N,求證：AM=CN.

圖1

證：因?yàn)锽M ⊥AN,CN ⊥AN,所以∠AMB=∠CNA=90°,又因?yàn)椤螧AC=90°,所以∠1+∠3=90°,∠2 + ∠3=90°,所以∠1=∠2.在△AMB和△CNA中,,所以△AMB～=△CNA,所以AM=CN.

二、和差轉(zhuǎn)化

利用幾個(gè)角的和差運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)建角的相等關(guān)系.

例2如圖2,AD是△ABC的中線,點(diǎn)E在BC的延長線上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求證：AE=2AD.

圖2

證：如圖3,延長AD到F,使AF=2AD,連接CF.在△ABD和△FCD中,

圖3

所以△ABD～=△FCD.

所以CF=AB,∠FCD=∠B.

因?yàn)椤螧AC=∠BCA,∠ACF=∠FCD+∠ACB,∠ACE=∠BAC+∠B,所以∠ACF=∠ACE,因?yàn)镃E=AB,所以CF=CE.在△ACF和△ACE中,

所以△ACF～=△ACE.所以AE=AF,所以AE=2AD.

三、特殊角轉(zhuǎn)化

利用特殊角之間的和差運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)建角的相等關(guān)系(可以看做和差轉(zhuǎn)化的特例).

例3已知,如圖4,在△ABC中,∠A,∠B的角平分線交于點(diǎn)O,若BO的延長線交AC于E,CO的延長線交AB于F,若∠A=60°,求證：OE=OF.

圖4

圖5

證：如圖5,在邊上截取BG=BF,連接OG.因?yàn)椤螦=60°,∠A,∠B,的角平分線交于點(diǎn)O,所以∠BOF=∠COE=60°,∠BOC=120°.因?yàn)镺B平分∠ABC,所以∠FBO=∠GBO.在△BFO和△BGO中,,所以△BFO～=△BGO.所以O(shè)F=OG,∠BOF=∠BOG=60°,所以∠COG=∠COE=60°.因?yàn)镺C平分∠ACB,所以∠GCO=∠ECO.在△CGO和△CEO中,所以△CGO～=△CEO.所以O(shè)G=OE,所以O(shè)E=OF.

四、平行轉(zhuǎn)化

利用平行線同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)建角的相等關(guān)系.

例4如圖6,∠ACB=120°,以AC,BC為邊向外作正三角形△ACF,△BCE,點(diǎn)P,M,N分 別 為AB,CF,CE的中點(diǎn).求證：PM=PN.

圖6

圖7

證：如圖7,取CB,CA的中點(diǎn)G,H,連接GM,GP,HN,HP.因?yàn)槿切巍鰽CF,△BCE是正三角形,所以AC=FC,BC=EC.因?yàn)辄c(diǎn)P,M,N分別為AB,CF,CE的中點(diǎn),所以所以∠MGC=∠CAF=60°.因?yàn)椤螦CB=120°,所以所以∠PGC=180° -∠ACB=60°,所以∠MGP=∠MGC+ ∠PGC=120°.同理：,∠NHP=120°,所以MG=PH,PG=NH,∠MGP=∠NHP.在△MGP和△PHN中,,所以△MGP～=△NHP,所以PM=PN.

五、內(nèi)角和轉(zhuǎn)化

利用多邊形的內(nèi)角和以及三角形外角和內(nèi)角之間的關(guān)系,構(gòu)建角的相等關(guān)系.

例6如閣8，已知＜ BAE 與＜ BCD互為補(bǔ)角，AB=AE,CB=CD，連接ED，點(diǎn)P 為ED 的中點(diǎn)，若點(diǎn)A，B，C不在同一直線上，求證AP ⊥CP.

圖8

圖9

證：如圖9，延長AP 到F，使PF=AP，延長CB 交AE 于G，連接AC，DF，CF，在LAEP 和LFDP 中，所以△AEP≌△FDP，所以AE ＝FD，＜E=＜FDP.因?yàn)锳B=AE，所以AB=FD.設(shè)＜ E＜FDP ＝x，＜CDP ＝y(tǒng)，＜BAE＝z，則＜BCD=180°一z .所以＜ CDF=＜CDP+ ＜ FDP=x + y，所以＜EGC=360°- (x + y)- (180°- z)=180° + z 一(x+y)，＜EGC=180°一＜ ABC +z 所以＜ABC=x + y，所以＜ ABC=＜FDC .在△ABC 和△FDC 中，所以△ABC≌△FDC,所以CA=CF，所以AP⊥ CP.

六、綜合轉(zhuǎn)化

在一個(gè)問題中角的轉(zhuǎn)化的方式不是單一的，而是以上多種方式結(jié)合進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建角的相等關(guān)系.

例7如圖10，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD ⊥AC，點(diǎn)M 為BC 的中點(diǎn)，求證：DE 2AM.

圖10

證:如圖11，延長AM 到點(diǎn)N，使MN=AM，連接BN，因?yàn)辄c(diǎn)M 為BC的中點(diǎn)，所以BM=CM，在△AMC 和△NMB 中，

圖11

所以△AMC ≌△NMB，所以AC=NB,＜ACM=＜NBM.因?yàn)锳D＝AC，所以NB＝DE.因?yàn)锳B⊥ AE,AD ⊥ AC，所以＜ BAE ＝＜ CAD＝90°，所以＜ DAE＝180°－ ＜BAC.因?yàn)椋糔BA＝＜ABM +＜NBM ＝＜ABM + ＜ACM＝180°－＜BAC，所以＜DAE＝＜NBA.在△NBA 和△DAE中，，所以△NBA ≌△DAE，所以DE=2AM.

在全等三角形判定的證明中角的轉(zhuǎn)化是一個(gè)難點(diǎn).對于部分幾何問題，角的轉(zhuǎn)化相比線段的轉(zhuǎn)化都有一定的隱蔽性，對于學(xué)生而言，知難而上，克服困難，才能取得進(jìn)步，而如何克服困難，需要依賴一定的方法通過學(xué)習(xí)過程中的歸納總結(jié)，不失一種好的途徑.