幾何思維水平理論視角下的2019廣東省中考題分析

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)肖琳莉 劉秀湘

“圖形與幾何”是我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》中四大課程板塊內(nèi)容之一,義務(wù)課標(biāo)(2011 版)中提出：“在數(shù)學(xué)課程中,應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想.”幾何在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有不可替代的作用,自然也成為了歷年中考試題的考查重點、難點.基于范希爾幾何思維水平理論的視角對中考幾何試題進(jìn)行分析,對于挖掘命題意圖、把握命題趨勢并開展有效的教學(xué)具有積極意義.下面以范希爾幾何思維水平理論為依據(jù),對2019年廣東省中考數(shù)學(xué)試題中的幾何題進(jìn)行分析,旨在從中獲得教學(xué)啟示.

一、試題組成

廣東省21 個地市中,廣州市采用《2019 廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試》(下面簡稱廣州卷),有10 道選擇題、6 道填空題、9 道解答題,滿分為150 分;深圳市采用《2019年深圳市中考數(shù)學(xué)試卷》(下面簡稱深圳卷),有12 道選擇題、4 道填空題、7 道解答題,滿分為100 分;其他市均采用《2019年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試》(下面簡稱廣東卷),有10 道選擇題、6道填空題、9 道解答題,滿分為120 分,因此共有3 份試卷.表1是3 份試卷中的幾何試題概況一覽表.

表1 廣東省2019年中考卷幾何試題概況

由表1可知,無論是從題型分布、題量還是從分值上看,幾何內(nèi)容都在中考試卷中占據(jù)著重要地位.三份試卷在幾何題目分布上略有區(qū)別,廣州卷幾何題目在選擇題與解答題分布相當(dāng),多于填空題;深圳卷集中在選擇題中考查幾何內(nèi)容;廣東卷則分布均勻;在幾何題目數(shù)量上相差不大,在8 道～10 道之間;在幾何題目分值占比上差異也不大,其中廣州卷與廣東卷十分接近,深圳卷略少.

二、試題的幾何思維水平

范希爾將學(xué)生的幾何思維水平劃分為5 個層次,依次是水平1——視覺、水平2——分析、水平3——非形式化演繹、水平4——形式化演繹、水平5——嚴(yán)密性[1].由于現(xiàn)有的初中幾何內(nèi)容都處于歐式幾何體系下,不涉及水平5 的考查,范希爾理論不能直接應(yīng)用于幾何試題的分析,并且部分幾何試題體現(xiàn)綜合性考查,因此本文基于以上考慮,結(jié)合范希爾理論相關(guān)研究并對各指標(biāo)進(jìn)行細(xì)化[1][2][3][4][5],構(gòu)建了表2所示的范希爾理論用于數(shù)學(xué)試題幾何思維水平的定位框架.

表2 范希爾理論用于數(shù)學(xué)試題幾何思維水平的定位

圖1 中考試卷幾何試題的幾何思維水平分布

試題分析的標(biāo)準(zhǔn)是選擇題與填空題以涉及的最高水平記,解答題有多個小問的分別按各小題的最高水平記,再計算各水平的試題分值占幾何總分值的比重.圖1為3 份中考試卷幾何試題的幾何思維水平分布.

由圖1可知,三份中考卷試題在水平1 至水平4 均有分布但在分布上差異較大,重在考查水平2、3、4.廣州卷幾何試題分值比重隨幾何思維水平的提升而增加,高思維水平(水平3 與水平4)試題分值占比達(dá)到69.49%,比平均占比高出7.71%;深圳卷對水平3 考查最多,水平2 與水平4 次之,并且相較于其他兩份試卷水平1 占有較大的比重;廣東卷對水平2 與水平3 考查相對平均,水平4 的占比略小;平均來看,試題考查的幾何思維水平以水平3 居多,水平4 次之,水平1最少,可見中考試題對于學(xué)生推理論證能力、綜合運用能力有較高要求.

三、試題特點分析

3.1 基礎(chǔ)性與綜合性相結(jié)合

3 份試卷既不乏綜合性強(qiáng)的幾何試題,如廣州卷第16 題與第24 題、深圳卷第23 題(壓軸題)、廣東卷第24 題;但也注重對基礎(chǔ)知識的考查,如廣州卷第11 題直接考查點到直線的距離定義;深圳卷第7 題考查角平分線的性質(zhì);廣東卷考查鄰補(bǔ)角概念.

3.2 直觀想象與推理論證并重

3 份試題對于推理論證能力的重視從水平3 及水平4 試題的分值比重高于水平1 與水平2 可見一斑.盡管水平1、2的試題對于初中畢業(yè)學(xué)生來說是容易的,但水平1 所涉及的直觀想象能力與空間想象能力同樣是學(xué)生不可或缺的幾何素養(yǎng).3 份試題對水平1、2 均有考查但側(cè)重點不一,如深圳卷第4 題考查了正方體的展開圖;廣東卷第5 題考查了學(xué)生對于軸對稱、中心對稱圖形的辨認(rèn);廣州卷第15 題考查了圓錐的正視圖.

3.3 難度梯次設(shè)置基本合理

根據(jù)范希爾理論,學(xué)生幾何思維水平具有次序性,即思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的,要在特定的水平順利發(fā)展,必須掌握前一個水平的的各個概念和策略[1].通過具體的分析可知雖然三份試卷各思維水平試題分值占比不一,但基本上仍保持著難度梯次設(shè)置的合理性,這也遵循了學(xué)生幾何思維發(fā)展的特點.如廣州卷與廣東卷第24 題設(shè)置了3 個小問,各小問的幾何思維水平遞增;深圳卷選擇題中的幾何內(nèi)容占據(jù)了“半壁江山”,由淺入深考查了學(xué)生水平1 至水平3.

四、典型試題分析

例1(深圳卷第8 題)如圖2,AB=AC,AB=5,BC=3,以AB兩點為圓心,大于的長為半徑畫圓弧,兩弧相交于點M、N,連接MN與AC相交于點D,則△BDC的周長為( )

A.8 B.10 C.11 D.13

試題剖析本題不同于以往直接考查學(xué)生線段垂直平分線的基本作圖能力,而是給出直線MN的作法,學(xué)生需要識別出這樣作出的直線MN是線段AB的垂直平分線,進(jìn)行利用垂直平分線的性質(zhì)將線段DB長度進(jìn)行等量代換.

例2 (廣東卷第16 題)如圖3所示是一個軸對稱圖形,且每個角都是直角,長度如圖所示,小明按圖4所示方法玩拼圖游戲,兩個相扣,相互間不留空隙,那么小明用9 個這樣的圖形(圖3)拼出來的圖形總長度是多少___(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示).

圖3

圖4

試題剖析本題考查圖形規(guī)律探索,解題關(guān)鍵在于對圖形合理拆分、組合找到計算規(guī)律,再用代數(shù)式表示出來.對圖形進(jìn)行拆分、組合的方式有多種,試題開放性強(qiáng).

例3(廣州卷第24 題)如圖5,等邊△ABC中,AB=6 ,點D在BC上,BD=4,點E為邊AC一動點(不與點C重合),△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE.

圖5

(1)當(dāng)點F在AC上時,求證：DF//AB;

(2)設(shè)△ACD的面積為S1,△ABF的面積為S2,記S=S1- S2,S是否存在最大值; 若存在,求出S的最大值;若不存在,請說明理由.

(3)當(dāng)B、F、E三點共線時,求AE的長.

試題剖析本題是綜合性很強(qiáng)的一道題目,考查的知識點涵蓋了等邊三角形、軸對稱、勾股定理、銳角三角函數(shù)、動點、“隱圓”等,題目設(shè)置了3 個小問,涉及到的幾何思維水平從水平2 遞增到水平4,這也為學(xué)生正確而完整地解答出本題起到了鋪墊作用.第1 小問考查學(xué)生溝通“已知”與“求證”進(jìn)行推理論證的能力;第2 小問考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,表面上雖是關(guān)于“面積差的最大值”問題,但結(jié)合圖形分析便可轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的“線段最短問題”進(jìn)而求解;第3 小問方法多樣,可構(gòu)造直角三角形運用銳角三角函數(shù)求值也可依據(jù)翻折是全等變換找到解題突破口.

五、若干教學(xué)啟示

5.1 教會學(xué)生讀圖、識圖、辨圖

幾何內(nèi)容考查離不開圖形,幾何問題的“復(fù)雜”也常常源于圖形的“復(fù)雜”,但一經(jīng)仔細(xì)剖析發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形都是由若干基本圖形復(fù)合而成的,解題的關(guān)鍵就在于能正確在復(fù)雜圖形中將基本圖形分解出來,或是通過合理添加輔助線顯現(xiàn)出隱含的基本圖形,從而使復(fù)雜的幾何問題變得簡明[7].因此,教師在日常的幾何教學(xué)中應(yīng)注重基本圖形的教學(xué),帶領(lǐng)學(xué)生讀圖、識圖、辨圖.

5.2 開展探究式教學(xué)培養(yǎng)綜合推理能力

中考卷中幾何難題往往對學(xué)生綜合推理能力有很高的要求,而綜合推理能力的培養(yǎng)并非一朝一夕之功,這需要教師在課堂上多開展探究式教學(xué),通過設(shè)置有探究趣味的問題情境并充分暴露自己的思考、推理過程,使學(xué)生親歷解答的形成過程并理解、內(nèi)化.

5.3 以促進(jìn)學(xué)生幾何思維水平發(fā)展為幾何教學(xué)的出發(fā)點和落腳點

范希爾理論自誕生起,便引起了全世界的廣泛關(guān)注,并認(rèn)為是有關(guān)學(xué)生的幾何概念發(fā)展與學(xué)習(xí)的研究中最有影響的理論之一,按照范希爾理論的觀點,學(xué)生的幾何思維從一個水平向另一個水平的過渡不是平緩的,而要經(jīng)歷一個“思維的危機(jī)”[1].幾何思維水平的高低與學(xué)生的幾何成績呈顯著正相關(guān)[2][6],幾何教學(xué)應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生幾何思維水平發(fā)展為出發(fā)點和落腳點,對處于不同水平的學(xué)生給予有針對性的教學(xué)措施幫助學(xué)生化解“思維的危機(jī)”向更高水平過渡.