關(guān)于空腔導(dǎo)體球電勢分布的求解

陳秀武

（蘭州文理學(xué)院傳媒工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

0 引言

求解空腔導(dǎo)體球的電勢分布，其定解問題是泊松方程的邊值問題，若用通常的分離變量法求解，過程十分復(fù)雜。但運(yùn)用電像法求解空腔導(dǎo)體的電勢分布，則顯得簡單明了。電像法的基本思想是在求解區(qū)域外設(shè)置像電荷，使之不改變求解區(qū)域內(nèi)的電荷分布和邊界條件。則原電荷和像電荷共同產(chǎn)生的電場就等價于原電荷與邊界上感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的電場。電像法的依據(jù)是唯一性定理，電像法的實質(zhì)是“移荷保場”。

1 接地導(dǎo)體球空間電勢分布

如圖1所示，真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為α（α＞R0）處有一點電荷Q，求空間導(dǎo)體球的電勢分布[1]。

圖1 接地導(dǎo)體球模型

取坐標(biāo)系原點在球心O，x軸沿OQ方向，球內(nèi)空間電勢是零，電勢滿足的定解問題[2]：

由唯一性定理可知，其解是唯一的，球外電場是由點電荷Q和球面上感應(yīng)電荷共同激發(fā)的。假設(shè)球面上感應(yīng)電荷對球外電場電場的貢獻(xiàn)用位于球內(nèi)的假想點電荷Q’代替，根據(jù)對稱性，設(shè)在OQ的連線上距球心為b處置像電荷Q’，根據(jù)導(dǎo)體球面的邊界條件b、Q’。則球外電勢：

（2）代入（1）得：

化簡再比較系數(shù)得方程組：

解得：

（7）代入（4）得空腔導(dǎo)體球的電勢分布：

2 推廣

2.1 不接地中性導(dǎo)體球的電勢分布

定解問題為：

2.2 帶電導(dǎo)體球的電勢分布

定解問題為：

2.3 接電源導(dǎo)體球的電勢分布

定解問題為：