基于量子衍生的圖像中值濾波算法

(江蘇開放大學(xué) 信息工程學(xué)院，南京 210019)

0 引言

量子力學(xué)是反映微觀粒子運動規(guī)律的物理理論。不受量子系統(tǒng)本身的物理限制和約束，量子衍生算法借鑒量子系統(tǒng)規(guī)律，構(gòu)造解決某些具體問題的新算法或者改進(jìn)現(xiàn)有的算法。目前，量子衍生算法的研究內(nèi)容，主要包括有：量子衍生圖像處理、量子衍生神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子衍生遺傳算法、量子衍生粒子群算法、量子衍生信號處理和量子衍生形態(tài)學(xué)等[1]。

2002年，美國麻省理工的Eldar Y.C.等，首次提出了量子信號處理(quantum signal processing，QSP)的概念和理論，并將量子力學(xué)的數(shù)學(xué)框架應(yīng)用到信號處理領(lǐng)域，設(shè)計了一種量子衍生信號處理算法[2]。QSP是量子力學(xué)在信號處理領(lǐng)域的衍生，不依賴于量子級的物理設(shè)備，只是借鑒和利用量子力學(xué)的基本概念和數(shù)學(xué)體系等，在經(jīng)典計算機上建立新的算法或?qū)鹘y(tǒng)的經(jīng)典算法進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[3]將QSP框架應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，借鑒量子力學(xué)基本理論，設(shè)計出了基于 QSP 的圖像處理算法。

利用量子信息的基本原理，文獻(xiàn)[4]定義了兩種不同的像素量子比特表示形式，并針對醫(yī)學(xué)圖像的特點，提出了一種基于量子概率統(tǒng)計的圖像增強算子，實驗結(jié)果表明，該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的圖像增強算法。文獻(xiàn)[5]結(jié)合量子衍生理論，提出了一種基于局部熵的量子衍生醫(yī)學(xué)超聲圖像去斑方法，與已有方法相比，該方法能在有效去除醫(yī)學(xué)超聲圖像斑點噪聲的同時，更好地保留圖像細(xì)節(jié)信息。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于量子衍生參數(shù)估計的醫(yī)學(xué)超聲圖像去除斑點噪聲的方法，與其它方法相比，該方法具有更好的圖像細(xì)節(jié)保持能力，且去除斑點噪聲效果顯著。文獻(xiàn)[7]借鑒量子疊加態(tài)建立圖像像素點之間的聯(lián)系，在分析一幅圖像和圖像的特征子圖的關(guān)系基礎(chǔ)上，提出了一種邊緣檢測方法。實驗仿真表明，該方法的有效性和優(yōu)越性。文獻(xiàn)[8]利用量子比特表示像素點灰度，建立了一種新的邊緣檢測方法。該方法具有視覺補償功能。文獻(xiàn)[9-10]基于量子信息處理理論，將數(shù)字圖像進(jìn)行量子比特的表示，提出了基于量子測量和量子態(tài)坍縮的自適應(yīng)中值濾波算法。與傳統(tǒng)中值濾波器相比，算法能在保留圖像細(xì)節(jié)的同時，具備更強的降噪能力，濾波效果更好。

1 量子比特和量子系統(tǒng)

比特(bit)是經(jīng)典信息理論中的一個基本概念，通常用0和1表示。類似的，在量子信息理論[11]中，相應(yīng)的一個概念是量子比特(qbit)。量子比特是量子信息理論的基礎(chǔ)。

在量子信息理論中，一個量子比特(qbit)是一個雙態(tài)量子系統(tǒng)，分別用基態(tài)|0>和基態(tài)|1>表示。量子比特的狀態(tài)，由Hilbert空間的矢量描述，用符號|φ>表示，如下式所示：

|φ>=α|0>+β|1>

(1)

公式(1)中，α和β是基態(tài)|0>和基態(tài)|1>的概率幅，且滿足|α|2+|β|2=1。|α|2和|β|2分別表示對量子比特|φ>進(jìn)行測量時，獲得基態(tài)|0>和基態(tài)|1>的概率。當(dāng)α=0或β=0時，量子比特就坍縮為|0>或|1>。

由公式(1)可見，一個量子比特|φ>不僅僅是基態(tài)|0>和基態(tài)|1>這兩種狀態(tài)，而是可以是這兩種狀態(tài)的任意線性組合，稱為量子疊加態(tài)(superposition)。一個量子比特|φ>表示的是，從基態(tài)|0>到基態(tài)|1>之間所有可能的連續(xù)狀態(tài)。量子測量可以改變量子比特的狀態(tài)。一旦進(jìn)入量子測量，量子比特的狀態(tài)將從量子疊加態(tài)坍縮到一個特定的狀態(tài)。

若一個量子系統(tǒng)由n個量子位構(gòu)成，則其中第i個量子位的狀態(tài)為

|φi>=αi|0>+βi|1>

(2)

該量子系統(tǒng)的狀態(tài)|φ>可以表示為：

|φ>=|φ1>?|φ2>?...?|φn>=

α1α1...α1|00...0>+α1α2...βn|00...1>+...+

(3)

ib是量子系統(tǒng)|φ>的第i個基態(tài)，ωi是基態(tài)ib的概率幅，概率幅滿足歸一化條件：

(4)

類似的，對于n個量子位的量子系統(tǒng)，在量子測量前，量子系統(tǒng)以不同概率處于2n個基態(tài)中，當(dāng)進(jìn)行量子測量后，量子系統(tǒng)的狀態(tài)就會坍縮成其中一個的基態(tài)。

2 傳統(tǒng)中值濾波算法

實際獲得的圖像，常會受到噪聲信號的干擾。由于噪聲產(chǎn)生的原因不同，因此，圖像噪聲信號的特點和噪聲分布也不盡相同。常見的圖像噪聲信號，主要包括有：加性噪聲、乘性噪聲、量化噪聲、鹽和胡椒噪聲等。圖像去噪算法，通常分為空間域和頻率域兩種。傳統(tǒng)的中值濾波算法，是一種空間域圖像去噪算法。

傳統(tǒng)的中值濾波算法在進(jìn)行圖像去噪處理時，首先是確定中值濾波窗口的大小和形狀。中值濾波窗口，通常是3×3、5×5或7×7等包含奇數(shù)個像素點的方形窗口。根據(jù)待處理圖像的特點和應(yīng)用場合的不同，中值濾波窗口的形狀，還可以選擇圓形、圓環(huán)形、十字形等。實際上，中值濾波窗口的大小和形狀，對中值濾波算法的濾波去噪效果影響很大。選擇的中值濾波窗口越大，參與排序取中值的圖像像素點也越多，相應(yīng)地，算法的計算量也越大，算法運行時間也越長。

然后，將中值濾波窗口的中心像素點，與含噪聲待處理圖像的某個像素點重合，再對窗口覆蓋區(qū)域內(nèi)的所有圖像像素點的灰度值，進(jìn)行從小到大的排序，取排序結(jié)果的中間值，作為窗口中心位置所對應(yīng)的圖像像素點的灰度值。再將中值濾波窗口在待處理圖像上逐個漫游一遍，依次處理其它全部的圖像像素點。

一般，受噪聲干擾的圖像像素點的灰度值，與周圍圖像像素點的灰度值會有明顯的差異。中值濾波算法，可以替換掉被噪聲信號干擾的圖像像素點的灰度值，達(dá)到圖像去噪的目的。

3 量子衍生中值濾波算法

3.1 圖像的量子比特表示

利用量子衍生思想設(shè)計和改進(jìn)傳統(tǒng)的圖像處理算法時，首先需要將待處理圖像進(jìn)行歸一化處理，再用量子比特的形式進(jìn)行表示。

對于受噪聲信號干擾的待處理圖像而言，圖像中的某個像素點可能是圖像信號，也可能是圖像信號和噪聲信號的疊加。而量子比特描述了量子狀態(tài)之間所有可能的連續(xù)狀態(tài)，這種連續(xù)不確定的表示方式，可以描述受噪聲信號干擾的圖像中像素點的灰度值不確定的狀態(tài)。

假設(shè)原始圖像用f(m,n)表示，其中(m,n)∈Z2。對原始圖像f(m,n)進(jìn)行歸一化處理后，結(jié)果圖像為g(m,n)，則g(m,n)∈[0,1]，設(shè)g(m,n)=x，x∈[0,1]，歸一化圖像g(m,n)的量子比特表示為：

(5)

(6)

從概率統(tǒng)計的觀點看，x是圖像歸一化處理后，像素點灰度值取值為黑點|0>的概率，1-x是像素點灰度值取值為白點|1>的概率。

傳統(tǒng)的圖像中值濾波算法，是基于中值濾波窗口的圖像去噪算法。設(shè)原始圖像為f(m,n)，窗口的中心像素點是fm,n，則3×3大小的方形中值濾波窗口，如式(7)所示：

(7)

量子衍生圖像中值濾波算法，也是基于中值濾波窗口的去噪算法。具體來說，先對中值濾波窗口的圖像像素點進(jìn)行歸一化處理，再對中值濾波窗口的圖像像素點進(jìn)行量子比特的表示。對式(7)所示的原始圖像f(m,n)的3×3大小的中值濾波窗口圖像，進(jìn)行歸一化處理。歸一化處理公式，如式(8)所示：

(8)

其中:fmax和fmin是中值濾波窗口中，圖像像素點的灰度最大值和灰度最小值?？梢姡兄禐V波窗口中灰度值較小的像素點和灰度值較大的像素點，歸一化處理后的灰度值分別接近0和1。

經(jīng)過式(8)的歸一化處理后，中值濾波窗口的圖像像素點，可以表示為量子比特的形式，如式(9)所示：

(9)

其中，

(10)

從量子信息的角度看，量子比特表示的中值濾波窗口，是一系列二值圖像窗的量子疊加，當(dāng)采用某種測量方式進(jìn)行量子測量時，就會坍縮為一個二值圖像窗。

3.2 量子Hadamard變換

根據(jù)量子信息理論，對量子比特|φ>進(jìn)行量子Hadamard變換[12]，如式(11)所示：

H·|φ>=H|(α|0>+β|1>)=

(11)

根據(jù)式(11)，對黑點|0>和白點|1>的量子Hadamard變換，如式(12)所示：

(12)

由式(12)可見，對H·|0>和H·|1>的量子Hadamard變換結(jié)果進(jìn)行測量，獲得|0>的概率均為0.5。

可見，與非黑、白點相比，灰度值較小的黑點和灰度值較大的白點，經(jīng)過量子Hadamard變換后，獲得基態(tài)|0>的概率較小。

根據(jù)式(11)和式(12)的量子Hadamard變換公式，對式(9)中用量子比特形式表示的圖像中值濾波窗口中的每個像素點，進(jìn)行量子Hadamard變換，如式(13)所示：

(13)

式(13)窗口中每個元素的量子Hadamard變換結(jié)果，以H·|gm,n>為例，如式(14)所示：

(14)

對式(13)中，每個像素點的Hadamard變換結(jié)果進(jìn)行測量，用基態(tài)|0>的概率生成構(gòu)成新的中值濾波窗口。由于圖像局部區(qū)域特征不同，新中值濾波窗口的大小和形狀不盡相同。

4 算法仿真與結(jié)果分析

4.1 不同強度的椒鹽噪聲

以MATLAB圖像處理工具箱的圖像pout.tif為測試圖像，圖像大小為291×240，椒鹽噪聲的強度分別為0.1、0.2、0.3和0.4。選擇3×3和5×5大小的方形中值濾波窗口，比較傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法的去噪效果。如圖1所示，是添加了不同強度的椒鹽噪聲后的圖像pout。

圖1 不同強度椒鹽噪聲干擾圖像

首先，選擇3×3大小的方形中值濾波窗口，用傳統(tǒng)中值濾波算法對圖1受不同強度椒鹽噪聲干擾圖像進(jìn)行處理，結(jié)果圖像如圖2所示。

如圖2所示，當(dāng)椒鹽噪聲強度為0.3和0.4時，用3×3大小的傳統(tǒng)中值濾波算法去噪處理后，結(jié)果圖像上仍存在一些黑點和白點。

其次，采用3×3大小中值濾波窗口的量子衍生中值濾波算法，處理圖1的椒鹽噪聲干擾圖像，結(jié)果圖像如圖3所示。

圖3 3×3量子衍生中值濾波算法結(jié)果

比較圖2和圖3的結(jié)果圖像可見，當(dāng)椒鹽噪聲強度為0.3和0.4時，雖然同樣是3×3大小的中值濾波窗口，但從主觀視覺角度觀察，與圖2的傳統(tǒng)中值濾波算法圖像去噪處理效果相比，圖3的量子衍生中值濾波算法的去噪效果明顯更好。

為比較不同大小的中值濾波窗口時，量子衍生圖像中值濾波算法的去噪效果，采用5×5大小的中值濾波窗口，處理圖1受不同強度椒鹽噪聲干擾的圖像，結(jié)果圖像如圖4所示。

從圖3和圖4的結(jié)果圖像可見，椒鹽噪聲強度為0.3和0.4時，5×5大小的量子衍生中值濾波算法明顯比3×3大小的量子衍生中值濾波算法的去噪效果好。

4.2 椒鹽噪聲強度增加

增加椒鹽噪聲強度，比較3×3大小和5×5大小的中值濾波窗口時，傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生的中值濾波算法的去噪效果。

為圖像pout分別添加噪聲強度為0.6和0.7的椒鹽噪聲，如圖5所示。可見，與圖1中的椒鹽噪聲強度相比，圖5中的椒鹽噪聲已經(jīng)幾乎完全覆蓋原始圖像pout，無法辨認(rèn)清楚。

圖5 椒鹽噪聲強度增加時干擾圖像

選擇3×3和5×5大小的中值濾波窗口，分別采用傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法，對圖5所示的椒鹽噪聲強度為0.6和0.7的圖像進(jìn)行去噪處理，算法處理結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 椒鹽噪聲強度0.6時算法去噪結(jié)果

從圖6可見，對于椒鹽噪聲強度為0.6的受干擾噪聲圖像而言，無論是傳統(tǒng)中值濾波算法，還是量子衍生中值濾波算法，相比3×3大小的中值濾波窗口，5×5大小的中值濾波窗口時，算法的去噪效果都更好一些。當(dāng)中值濾波窗口大小一樣時，量子衍生中值濾波算法的去噪效果，顯然是優(yōu)于傳統(tǒng)中值濾波算法的。

如圖7所示，當(dāng)椒鹽噪聲強度為0.7時，中值濾波窗口為3×3時，傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法，去噪效果均較差。中值濾波窗口為5×5時，兩種算法的去噪效果有明顯改善。此時，相比傳統(tǒng)中值濾波算法，量子衍生中值濾波算法的去噪效果最好。

圖7 椒鹽噪聲強度0.7時算法去噪結(jié)果

4.3 客觀評價指標(biāo)

針對受不同強度椒鹽噪聲干擾的圖像，對于傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法的算法去噪效果比較，除了主觀視覺評價外，還可以采用信噪比SNR、邊緣保持度β等客觀評價指標(biāo)來評價衡量算法去噪效果。

客觀評價指標(biāo)信噪比SNR，反映的是算法處理后的結(jié)果圖像和原始圖像之間的像素灰度值的差異。信噪比SNR的計算公式，如下所示：

(15)

假設(shè)f1(x,y)表示原始圖像，f2(x,y)表示算法處理后的結(jié)果圖像。根據(jù)式(15)的計算公式可以看出，如果SNR的值越大，則表示原始圖像和算法去噪處理后的結(jié)果圖像的差異越小，說明算法的去噪效果好。

比較圖6和圖7中，椒鹽噪聲強度為0.6和0.7時，采用不同大小中值濾波窗口時，傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法處理后，圖像信噪比SNR的計算結(jié)果，如表1所示。

由表1可以看出，表1中的信噪比SNR數(shù)值，與從主觀視覺角度觀察圖6和圖7的算法處理結(jié)果是一致的。從主觀視覺角度看，圖6和圖7中，都是中值濾波窗口為5×5

表1 不同算法的信噪比SNR值

時，量子衍生中值濾波算法效果最佳。相應(yīng)地，該算法在表1中對應(yīng)的SNR計算值也是最大，分別為15.282和12.914，也說明算法去噪效果最佳。

如圖7所示，當(dāng)椒鹽噪聲強度為0.7，中值濾波窗口為3×3時，傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法的效果都較差。相應(yīng)地，根據(jù)表1中的信噪比SNR數(shù)據(jù)，算法對應(yīng)的信噪比SNR值分別為3.376 6和2.033 4。可以看出，信噪比SNR值也較小，這說明結(jié)果圖像與原始圖像之間的像素灰度值差異較大，算法的去噪處理效果不佳。

如圖7所示，當(dāng)中值濾波窗口為5×5時，傳統(tǒng)中值濾波算法和量子衍生中值濾波算法的效果有所改善。根據(jù)表1中的信噪比SNR數(shù)據(jù)，兩種算法處理后，SNR的計算值分別為7.658 3和12.914，SNR值有明顯增加，表明結(jié)果圖像與原始圖像之間差異較小，算法去噪處理效果好。其中，5×5大小的量子衍生中值濾波算法去噪效果最好，信噪比SNR的值也最大。

對于椒鹽噪聲為強度為0.6的噪聲干擾圖像而言，3×3大小中值濾波窗口的量子衍生中值濾波算法的效果，不如5×5大小的量子衍生中值濾波算法，這點從圖6的結(jié)果圖像和表1的結(jié)果圖像SNR值都可以看出。

客觀評價指標(biāo)邊緣保持度β，表示的是算法去噪處理后的結(jié)果圖像與原始圖像之間的邊緣差異，用來衡量算法對圖像邊緣信息的保持能力。邊緣保持度β的計算公式如下：

f1是原始圖像，Δf1是原始圖像f1經(jīng)過拉普拉斯高通濾波算子濾波處理后的圖像。f2是某算法對原始圖像f1處理后的結(jié)果圖像，Δf2是結(jié)果圖像f2經(jīng)過拉普拉斯高通濾波算子濾波處理后的圖像。

邊緣保持度β的取值范圍在0～1之間，β的取值越大，表明結(jié)果圖像邊緣信息保持的越好。當(dāng)β=1時，說明結(jié)果圖像f2和原始圖像f1完全一樣。

利用公式(16)的邊緣保持度β的公式，計算圖6和圖7中結(jié)果圖像的邊緣保持度β，結(jié)果如表2所示。計算時采用的拉普拉斯高通濾波算子系數(shù)為(-1,0,-1;-1,4,-1;0,-1,0)。

從表2的不同算法結(jié)果圖像的邊緣保持度β數(shù)據(jù)可以看出，椒鹽噪聲強度為0.6時，5×5的量子衍生中值濾波算法處理后，結(jié)果圖像的邊緣保持度最佳，3×3中值濾波算法最差。對應(yīng)表1的SNR數(shù)據(jù)，3×3中值濾波算法處理后，結(jié)果圖像的信噪比值SNR也是最小。

表2 不同算法結(jié)果圖像的邊緣保持度

椒鹽噪聲強度為0.7時，3×3量子衍生中值濾波算法處理后的結(jié)果圖像的邊緣保持度最差，5×5量子衍生中值濾波算法處理后的結(jié)果圖像的邊緣保持度最佳，這與圖7的主觀視覺角度的觀察結(jié)論一致。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于量子衍生的圖像中值濾波算法，針對不同程度的椒鹽噪聲，先后采用不同大小的中值濾波窗口，與傳統(tǒng)中值濾波算法相比較，對受椒鹽噪聲信號干擾的圖像進(jìn)行算法去噪仿真，并對算法處理后的結(jié)果圖像，進(jìn)行了主客觀評價。算法仿真結(jié)果表明，較之傳統(tǒng)中值濾波算法，當(dāng)分別選擇3×3和5×5大小的中值濾波窗口時，5×5大小的量子衍生中值濾波算法是一種更為有效的去噪算法。