基于FRFT的Wigner-Ville分布交叉項抑制方法

(合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

線性調(diào)頻信號是一種特殊的非平穩(wěn)信號，廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、聲吶和地震勘探等系統(tǒng)中[1]。對于非平穩(wěn)信號，時頻分析能清楚地描述信號頻率隨時間變化的關(guān)系。目前，常用的時頻分析方法有短時傅里葉變換[2-3]、魏格納-維爾分布(Wigner-Ville Distribution,WVD)[4-5]、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT)[6-7]等。

WVD因其具有良好的時頻聚集性和時頻邊緣特性成為重要的時頻分析方法之一。多分量線性調(diào)頻信號WVD存在交叉項干擾，不利于對信號的時頻分析。因此，多分量線性調(diào)頻信號WVD的交叉項抑制是時頻分析的研究熱點(diǎn)之一[8-9]。文獻(xiàn)[10]在實(shí)際信號分析過程中提出了一種自適應(yīng)核時頻分析方法抑制交叉項，但其中的時窗寬度和核函數(shù)體積這兩個關(guān)鍵參數(shù)難以確定。文獻(xiàn)[11]根據(jù)自項和交叉項在頻域上的差異及FRFT時頻旋轉(zhuǎn)性，在旋轉(zhuǎn)變換域上對多分量線性調(diào)頻信號低通濾波處理，消除交叉項，該方法在信號參數(shù)未知時需要提前估計多個參數(shù)。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于變分模態(tài)分解的WVD交叉項抑制方法，該方法需知被分解信號的頻域特性才能完成信號頻帶的自適應(yīng)分解，不適合頻域特性未知的多分量線性調(diào)頻信號。

為了抑制多分量線性調(diào)頻信號WVD存在的交叉項，本文提出在FRFT域上對信號進(jìn)行分解，將多分量信號分解為多個單分量信號，疊加各單分量信號的WVD即可抑制交叉項。所提出的方法不僅可以抑制交叉項對時頻分析的影響，而且在保持較高的時頻分辨率的同時具有一定的抗噪能力。

1 線性調(diào)頻信號的WVD和FRFT

1.1 線性調(diào)頻信號的WVD

WVD具有很好的時頻聚集性，可得到時頻域的局部特征，多用于非平穩(wěn)信號的分析處理。信號的WVD定義為信號x(t)的局部相關(guān)函數(shù)Rx(t,τ)做關(guān)于時延τ的傅里葉變換[4-5]，即

(1)

雖然WVD方法比其他的時頻分布更適合線性調(diào)頻信號，但是WVD變換的雙線性導(dǎo)致多分量信號存在交叉項干擾。例如，兩分量的線性調(diào)頻信號x(t)=x1(t)+x2(t)的WVD為

Wx(t,f)=Wx1(t,f)+Wx2(t,f)+Wx1,x2(t,f)+Wx2,x1(t,f)

(2)

式中，等號右邊前兩項Wx1(t,f)、Wx2(t,f)稱為自項，即x1(t)、x2(t)理想的時頻分布；后兩項Wx1,x2(t,f)、Wx2,x1(t,f)稱為交叉項，即WVD雙線性引起的干擾。

1.2 線性調(diào)頻信號的FRFT

信號x(t)的FRFT的定義[6]為

(3)

其中，F(xiàn)RFT的變換核Kp(t,u)為

Kp(t,u)=

(4)

Xp(u)的逆變換為[6]

(5)

單分量線性調(diào)頻信號的時頻分布如圖1所示，線性調(diào)頻信號在最佳分?jǐn)?shù)階域中呈現(xiàn)出能量聚集[13]。

圖1 線性調(diào)頻信號的時頻分布

2 基于FRFT的WVD交叉項抑制方法研究

由于多分量信號的WVD存在交叉項，提出了基于FRFT的WVD交叉項抑制方法，此方法的流程如圖2所示，具體實(shí)現(xiàn)過程見本節(jié)內(nèi)容。

圖2 基于FRFT的WVD交叉項抑制方法流程圖

2.1 多分量信號FRFT的最佳變換階次

線性調(diào)頻信號的FRFT在能量聚集時的變換階次p和在FRFT域中位置u由對Xp(u)的能量的最大似然估計得到。

(6)

式(6)是二維搜索，計算量大,采用由粗略到精確的最大幅值算法[14]可以減少其計算量。對原信號進(jìn)行最佳變換階次p1的FRFT，如式(7)所示。

Xp1(u)=Sp1(u)+Wp1(u)

(7)

式中，Sp1(u)為線性調(diào)頻信號的FRFT;Wp1(u)為噪聲的FRFT。單分量信號的能量絕大部分集中在p1階次FRFT域以u1為中心的窄帶內(nèi)，而噪聲和其他信號分量不會呈現(xiàn)出明顯的能量聚集[13]。

在分?jǐn)?shù)階為p1的FRFT域內(nèi)使用窄帶濾波器濾除單分量信號，即

=Sp1(u)M(u)+Wp1(u)M(u)

(8)

式中，M(u)為中心頻率為u1的窄帶帶阻濾波器。

若剩余信號的幅值不低于設(shè)定的閾值，重復(fù)上述過程，直到剩余信號的幅值低于設(shè)定的閾值，即求得多分量線性調(diào)頻信號的每一個分量的最佳變換階次為p={p1,p2,…,pN}，及其在相應(yīng)的FRFT域中u軸的值為u={u1,u2,…,uN}。

2.2 多分量信號WVD交叉項抑制方法

提出一種多分量線性調(diào)頻信號的WVD交叉項抑制方法，首先將多分量線性調(diào)頻信號在FRFT域中使用窄帶帶通濾波器提取固定調(diào)頻斜率的信號，得到多個單分量線性調(diào)頻信號；再計算單分量線性調(diào)頻信號的WVD；最后將結(jié)果線性疊加即可得到抑制交叉項后的信號時頻分布。

多分量線性調(diào)頻信號WVD交叉項抑制方法具體步驟如下：

① 根據(jù)2.1節(jié)獲得的多分量線性調(diào)頻信號的最佳變換階次估計方法估計p={p1,p2,…,pN}、u={u1,u2,…,uN}；

② 分別對原多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行pi階次的FRFT，得到Xpi(u)；

⑤ 分別對單分量信號xi(t)進(jìn)行WVD，再線性疊加即可得到原信號的WVD。

(9)

3 仿真驗證以及改進(jìn)處理

3.1 仿真驗證

在Matlab中對多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行仿真，驗證本文方法的有效性和適用性。選擇平行多分量線性調(diào)頻信號和非平行多分量線性調(diào)頻信號作為仿真對象。

仿真實(shí)驗通過與Choi-Williams分布(CWD)[2]、自適應(yīng)核時頻分布[10]方法對比，驗證所提出的基于FRFT的WVD方法抑制交叉項的效果。

多分量線性調(diào)頻信號模型為

(10)

式中，fi為線性調(diào)頻信號的起始頻率；ki為調(diào)頻斜率；w(t)為噪聲信號；信噪比(Signal Noise Ratio， SNR)為6 dB；信號總長度為10 ms；采樣頻率為50 MHz。

3.1.1 平行多分量線性調(diào)頻信號

平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，時頻曲線對比圖如圖3所示。

表1 平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)表

圖3 平行多分量線性調(diào)頻信號時頻曲線對比圖

圖3中，WVD時頻曲線(圖3(a))信號之間存在明顯的交叉項；CWD時頻曲線(圖3(b))仍存在部分交叉項，且時頻分辨率較差，信號時頻分析可讀性差；自適應(yīng)核時頻分析方法的時頻曲線(圖3(c))抑制了部分交叉項，但是時頻分辨率仍然不高；基于FRFT的WVD時頻曲線(圖3(d))中，交叉項得到抑制，時頻分辨率高，時頻分析可讀性好。通過與CWD、自適應(yīng)核時頻分析方法對比可知，所提出的方法可對平行多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行時頻分析，且抑制WVD的交叉項的效果明顯。

3.1.2 非平行多分量線性調(diào)頻信號

非平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)設(shè)置如表2所示，時頻曲線對比圖如圖4所示。

表2 非平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)表

圖4中，WVD時頻曲線(圖4(a))交叉項嚴(yán)重；由CWD時頻曲線(圖4(b))可知，CWD只抑制了部分交叉項，無法抑制信號在時頻平面上間隔較小時出現(xiàn)的交叉項，信號的時頻分析可讀性差；由自適應(yīng)核時頻分析方法的時頻曲線(圖4(c))可知，無法抑制交叉點(diǎn)處的交叉項；基于FRFT的WVD的時頻曲線(圖4(d))中，充分抑制交叉項的干擾，時頻分析可讀性好。通過與CWD、自適應(yīng)核時頻分析方法對比可知，所提出的方法可對非平行多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行時頻分析，抑制WVD的交叉項的效果明顯。

圖4 非平行多分量線性調(diào)頻信號時頻曲線對比圖

3.2 改進(jìn)過程

當(dāng)仿真信號為調(diào)頻連續(xù)波信號時，采用所提出的方法仍存在交叉項干擾。根據(jù)所提出的方法理論推理及調(diào)頻連續(xù)波信號的周期特性，分析得到分解后的單分量信號周期之間存在影響。針對這一問題，先估計調(diào)頻連續(xù)信號的周期，再將分解后的信號在時域按周期遮蔽處理，避免其他周期對本周期的信號影響。經(jīng)過改進(jìn)，有效解決了調(diào)頻連續(xù)波的WVD時頻分布交叉項的問題。

調(diào)頻連續(xù)波信號模型為

(11)

式中，mod(·)為取余運(yùn)算；T為周期。

調(diào)頻連續(xù)波信號以鋸齒波為例，仿真取3個周期的鋸齒波。參數(shù)設(shè)置為：調(diào)頻斜率為1 MHz·s-1，周期T為10 ms，SNR為6 dB,采樣頻率為50 MHz。

鋸齒波線性調(diào)頻信號時頻曲線對比如圖5所示。其中，CWD時頻曲線(圖5(a))雖然交叉項得到了抑制，但是犧牲了時頻分辨率；自適應(yīng)核時頻曲線(圖5(b))受到了信號的周期干擾并且時頻分辨率不高；基于FRFT的WVD時頻曲線(圖5(c))中，交叉項得到了抑制，并且時頻分辨率高，但是受到了信號的周期干擾；改進(jìn)的基于FRFT的WVD時頻曲線(圖5(d))無交叉項干擾、時頻分辨率高，并且消除信號的周期干擾。

圖5 鋸齒波線性調(diào)頻信號時頻曲線對比圖

3.3 抗噪性能

為了研究所提出的基于FRFT的WVD時頻分布抗噪性能，在高斯白噪聲環(huán)境下，以仿真實(shí)驗中的平行多分量線性調(diào)頻信號為對象，采用WVD、CWD、自適應(yīng)核時頻分析和基于FRFT的WVD方法估計調(diào)頻斜率，并計算其均方誤差(Mean Square Error,MSE)，MSE的計算公式為

(12)

在不同SNR情況下進(jìn)行500次Monte-Carlo實(shí)驗，隨SNR變化的曲線如圖6所示。

圖6 估計調(diào)頻斜率k的均方誤差

從圖6可知，由于WVD方法對信號以及噪聲間產(chǎn)生的交叉項不具有抑制作用，其MSE小于CWD、自適應(yīng)核時頻分析和本文方法。CWD、自適應(yīng)核時頻分析與本文方法相比，所提出的基于FRFT的WVD具有更強(qiáng)的抑制交叉項的能力，在低信噪比情況下仍可取得不錯的估計精度。

4 結(jié)束語

針對多分量線性調(diào)頻信號WVD存在交叉項和噪聲干擾問題，提出了一種基于FRFT的多分量線性調(diào)頻信號WVD的交叉項抑制方法。通過多分量線性調(diào)頻信號在FRFT域的時頻聚集性將其分解為多個單分量信號，線性疊加每一個單分量信號WVD，即可抑制交叉項。仿真結(jié)果表明,對于多分量線性調(diào)頻信號，該方法能夠有效抑制交叉項，且具有一定的抗噪性能。在實(shí)際過程中，例如雷達(dá)的發(fā)射信號為調(diào)頻連續(xù)波信號，受信號周期性影響無法濾除周期間的交叉項，本文進(jìn)一步提出在基于FRFT的WVD中增加周期遮蔽處理，改進(jìn)后可以有效解決該問題。本文的研究對提取多分量線性調(diào)頻信號的調(diào)制域的特征信息具有積極的意義。