實驗探究玩“數(shù)學”，綜合實驗用“數(shù)學”
——“自行車里的數(shù)學”教學實錄

江西省豐城市子龍小學 鄢細民

【課前思考】

自行車是日常生活中最常見的交通工具之一，生活中學生很容易忽略探究自行車里到底有哪些數(shù)學問題?！白孕熊嚴锏臄?shù)學”這個課題是義務教育教科書六年級下冊里的一節(jié)綜合應用課，為了減少學生在活動中的盲目性，本課清晰地呈現(xiàn)了兩個活動：一是探究自行車蹬一圈能走多遠；二是探究蹬同樣的圈數(shù)，使自行車走得更遠的方法。讓學生通過親自動手、觀察、體驗，解決生活中常見的有關自行車里的問題，了解數(shù)學與生活的廣泛聯(lián)系，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—建立數(shù)學模型—求解—解釋與應用”的解決問題的基本過程，獲得運用數(shù)學解決實際問題的思考方法，充分調動學生的觀察能力、總結能力、運用已有知識解決問題的能力，并加深對所學知識及其相互關系的理解。

【教學內容】

人教版《義務教育教科書·數(shù)學》六年級下冊第67頁

【教學目標】

1.綜合運用所學知識解決實際問題，經(jīng)歷“提出問題—分析問題—建立數(shù)學模型—求解—解釋與應用”的問題解決的基本過程。

2.經(jīng)歷問題解決的基本過程，獲得運用數(shù)學解決實際問題的方法，并加深對所學知識及其相互關系的理解。

3.感受數(shù)學與生活的廣泛聯(lián)系。

【教學重點】

通過實踐活動，研究普通自行車的速度與其內在結構的關系和變速自行車能變化出多少種速度。

【教學難點】

體會運用知識解決實際問題的思想方法。

【教學準備】

學生提前了解自行車的結構、課件、計算器、齒輪實驗模型

【教學過程】

一、依據(jù)經(jīng)驗，提出猜想，發(fā)現(xiàn)并提出問題

師：同學們有多少人會騎自行車？覺得自己騎得怎么樣？都覺得不錯啊。

師：你知道自行車是怎樣運動的嗎？

生1：腳踏板帶動前齒輪，前齒輪帶動鏈條，鏈條帶動后齒輪，后齒輪帶動后輪，后輪推動前輪。

師：看來大家對自行車還是有些研究的，我們班有兩位同學準備參加騎自行車的比賽，想請大家做裁判，你覺得騎幾號自行車的同學速度會快一些？說說你的理由。（教師通過ppt 呈現(xiàn)兩位同學騎自行車比賽的圖片，1 號同學騎得是車輪直徑50cm 的普通自行車，2 號同學騎得是車輪直徑66cm 的變速自行車）

生1：2 號同學可能會快一些，因為2 號同學騎的自行車的車輪直徑大一些

生2:2 號騎得是變速自行車。

師：在身體條件相當?shù)那闆r下，選手蹬踏自行車踏板的速度就基本是一致的，蹬一圈踏板自行車前進的路程就決定了選手的成績。

師：蹬一圈，自行車所前進的路程和什么有關呢？今天這節(jié)課，我們就來研究“自行車里的數(shù)學”。

二、借助實物，初步探究，分析問題

師：“自行車蹬一圈，能走多遠”是什么意思呢？

生：也就是蹬一圈自行車的腳踏板，自行車后輪在地面上滾動的路程。

師：滾動的路程，這個詞用得好?。╬pt 播放自行車行駛動畫）“蹬一圈”到底是什么轉動了一圈？

生：腳踏板轉動了一圈。

師：“走多遠”指的是什么呢？

生：指的是自行車車輪滾動所行駛的路程。

師：你描述得太精準了，自行車是由后輪驅動的，所行駛的路程也就是后輪在地面上滾動的距離。

師：這里有一點需要說明，今天我們研究的這個距離應不含滑行距離，因為路面不同、坡度不同、蹬的力度不同，自行車滑行的距離有很大的差別，所以滑行距離不作為本節(jié)課研究的內容，今天只研究蹬的過程中鏈條帶動自行車后輪所行駛的路程。

三、實驗探究、層層分解，建立模型

師：我們知道了自行車蹬一圈所走的路程就是腳踏板蹬一圈，后車輪出發(fā)點與結束點之間的距離，為了研究方便我們就以后車輪作為研究的對象。

師：我們想一想，這兩點之間的距離等于什么？可以用一個關系式來表示嗎？

師根據(jù)學生的回答小結：那自行車蹬一圈所走的路程（貼板書)我們就可以表示為后車輪的周長（貼板書）×后車輪轉動的圈數(shù)（貼板書）

師追問：后車輪的周長可以計算嗎？那后車輪轉動的圈數(shù)能否計算呢？（板書“？”）這就是我們這節(jié)課重點解決的一個問題。

師：老師的微信朋友圈有一段關于自行車的視頻——高手在民間，引起我的興趣，想看看嗎？

師：看了這位大叔的視頻，先讓我們?yōu)檫@位大叔點個贊吧！你從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)大叔蹬腳踏板一圈，后車輪就轉動一圈。

生2：大叔的自行車沒有鏈條。

師：大叔認為，自行車腳踏板蹬一圈，后車輪就轉一圈，蹬一圈走的路就是車輪一周的周長，你認為是真的嗎？

師：光有大膽的猜想總不夠的，還需科學的驗證。接下來讓我們一起走進數(shù)學實驗室，一起來研究自行車蹬一圈，后車輪究竟能轉多少圈。

師：我們可以先從自行車的內部結構入手來研究。

師：觀察一下自行車，你發(fā)現(xiàn)自行車是怎樣運動的？

生：大家可以觀察一下自行車，可以發(fā)現(xiàn)：自行車運動時，腳踏板和前齒輪安裝在中軸上，它們是結合在一起的，它們的轉動是同步的；后輪和后齒輪安裝在后軸上，它們也是結合在一起的，它們的轉動也是同步的。

師：同學們觀察得真仔細，表達描述得也很嚴謹完整。我們要研究自行車蹬一圈，后車輪究竟能轉多少圈，為了便于觀察和研究，我們干脆把后輪及腳踏板去掉，直接研究前后齒輪轉動的關系，也就是研究前齒輪轉一圈，后齒輪會轉多少圈？

師：現(xiàn)在我們就以小組為單位來探究一下？大家先齊讀一下探究目標。為了方便研究，前后齒輪的齒數(shù)用白色油漆標注在實驗器材上。

師：小組長可以拿出實驗器材——齒輪模型，然后分好工，一位同學搖動腳蹬把柄，一個同學監(jiān)督把柄是否轉了一圈，兩位同學觀察后齒輪的指針轉了多少圈，另外同學協(xié)助組長把小組研究的結論填在學習探究單中（操作時注意安全）。

____類型 內容實驗目標探究前齒輪轉一圈，后齒輪轉多少圈？轉的圈數(shù)與前、后齒輪的齒數(shù)有什么關系？_____________________實驗器材______自行車齒輪實驗模型實驗__現(xiàn)象我們發(fā)現(xiàn)：當前齒輪轉一圈，后齒輪轉了（ ）圈。我們實驗的前齒輪齒數(shù)為（ ）個齒，后齒輪齒數(shù)為（ ）個齒。實驗過程提示：鏈條間的孔與前、后兩個齒輪的每個齒布對應，前齒輪轉個齒，后齒輪轉（ ）個齒；前齒輪轉 個齒，后齒輪轉（ ）個齒；前齒輪轉（ ）個齒，后齒輪轉（ ）個齒。所以前齒輪所走的總齒數(shù)與后齒輪所走的總齒數(shù)有什么關系？_____實驗________________結論實驗成因自行車蹬一圈，能走多遠？蹬一圈的路程_______________________________________________

學生小組活動：感知齒輪與轉數(shù)的關系，引導學生在實驗的過程中試著把發(fā)現(xiàn)用關系式表示出來。

小組匯報發(fā)現(xiàn)的實驗現(xiàn)象，教師依次板書后齒輪轉的圈數(shù)、前齒輪的齒數(shù)、后齒輪的齒數(shù)。

生1：我們小組發(fā)現(xiàn)：當前齒輪轉一圈，后齒輪轉了2 圈。我們實驗的前齒輪齒數(shù)為32 個齒，后齒輪齒數(shù)為16 個齒。

生2：我們小組發(fā)現(xiàn)：當前齒輪轉一圈，后齒輪轉了3 圈。我們實驗的前齒輪齒數(shù)為48 個齒，后齒輪齒數(shù)為16 個齒。

生3：我們小組發(fā)現(xiàn)：當前齒輪轉一圈，后齒輪轉了1.6 圈。我們實驗的前齒輪齒數(shù)為32 個齒，后齒輪齒數(shù)為20 個齒。

引導學生發(fā)現(xiàn)實驗成因及結論：鏈條間的孔與前后兩個齒輪的每個齒相對應，前齒輪轉過一個齒，后齒輪也跟著轉過一個齒。前齒輪轉動一圈的長度就是鏈條走過的長度，后齒輪也要轉動同樣的長度。所以前后齒輪所走的總齒數(shù)是一樣的。所以得出：前齒輪齒數(shù)×前齒輪轉數(shù)=后齒輪齒數(shù)×后齒輪轉數(shù)。

當前齒輪的轉數(shù)為1 圈時，后齒輪的轉數(shù)=前齒輪的齒數(shù)：后齒輪的齒數(shù)

師：那現(xiàn)在你們是不是就知道自行車蹬一圈所走的路程怎樣求了吧？

生：蹬一圈的路程=后車輪的周長×（前齒輪的齒數(shù)：后齒輪的齒數(shù)）

四、拓展應用，體驗價值，解釋應用

師：根據(jù)剛才我們探究的結果，要解決“自行車蹬一圈能走多遠”這一問題需要知道哪些條件呢？

生：要知道自行車后輪的周長（或后輪半徑、直徑）與前、后齒輪的齒數(shù)。

師：結論的得出是辛苦的，但也是快樂的。對嗎？好，接下來我們就帶著快樂的心情進入下一環(huán)節(jié)。

ppt 課件出示：先估測，哪輛自行車蹬一圈行駛的路程最遠？再進行計算。

課件出示三組數(shù)據(jù)

images/BZ_62_1391_1340_1424_1370.png__自行車的類型________車輪直徑______________________________前齒輪齒數(shù)_后齒輪齒數(shù)號自行車_____號自行車_______________________________________________________號自行車

師：不計算，你能知道蹬一圈,哪輛自行車走得最遠嗎？

生：3 號自行車走得最遠。

師：說說你的理由。

生：3 號自行車的車輪直徑最長，前、后齒輪齒數(shù)的比值也最大，它們相乘的積也一定是最大的，所以三輛自行車中，3 號自行車走得最遠。

師：分析得真是太精彩了，那我們再計算出結果，驗證一下我們的估測吧。

生1 ：3.14×50×（48÷16）=471（cm）。

生2 ：3.14×66×（32÷16）=414.48（cm）。

生3 ：3.14×66×（48÷16）=621.72（cm）。

師：那你能設計改裝，使2 號自行車蹬一圈比3 號自行車走得更遠一些嗎？

生1：我們還可以給2 號自行車的車輪加大一些。

生2：可以把前齒輪的齒數(shù)再多增加一些，超過48 個。

師：這樣改裝為什么能使它走得更遠呢？

生2：前齒輪的齒數(shù)增加后，后輪轉的圈數(shù)就能變多，它就能走得更遠。

師：你還有其他改裝方法嗎？

生3：還可以減少后齒輪的齒數(shù)，因為后齒輪的齒數(shù)減少，也能使后輪轉的圈數(shù)變多，從而使自行車走得更遠。

師：咱們握握手，聰明你擁有。

生3：剛才兩個同學說的辦法也可以同時進行，增加前齒輪齒數(shù)的同時減少后齒輪的齒數(shù)，這樣2 號自行車走得還會更遠些。

引導學生說出：車輪大小不變時，前后齒輪的齒數(shù)的比值越大，蹬一圈自行車的路程就越遠，速度也就越快。

師：同學們，科學探索的道路是充滿艱辛、充滿樂趣的，只要你勇于探索，一定能發(fā)現(xiàn)一些別人還沒有發(fā)現(xiàn)的真理，要敢于相信自己。

師：記得我班兩位同學比賽騎自行車嗎？大家都認為2 號選手會快一些，現(xiàn)在我們通過計算來比較一下，還是2 號自行車會快？為什么？

課件ppt 呈現(xiàn)：1 號自行車齒輪直徑50cm, 前齒輪齒數(shù)為48，后齒輪齒數(shù)為16；2 號自行車齒輪直徑66cm,前齒輪齒數(shù)為32，后齒輪齒數(shù)為16。

生：1 號自行車的齒輪直徑雖小，但前后齒輪的齒數(shù)比為3；2 號自行車的齒輪直徑雖大一些，但前后齒輪的齒數(shù)比為2，它們的乘積還是1 號自行車大些，也就是1 號自行車反而快一些。

師：1 號自行車挑戰(zhàn)2 號自行車，以弱勝強，實現(xiàn)成功的關鍵是前后齒輪的齒數(shù)比大，也就是蹬一圈，后輪轉的圈數(shù)多。如果現(xiàn)在讓你騎2 號自行車與1 號自行車再來一場比賽，你有信心快一下嗎？

生：有。我只要調大前后齒輪的齒數(shù)比，就可以比1 號自行車快。

師：是的，前、后齒輪齒數(shù)發(fā)生改變，后車輪轉動的圈數(shù)也就會發(fā)生改變。利用這樣的原理，我們的自行車設計師就設計出了變速自行車。你見過變速自行車嗎？它是怎樣實現(xiàn)變速的？

生：變速自行車的前齒輪和后齒輪都有好幾個，通過鏈條連接不同的前、后齒輪來達到變速的目的。

師：老師收集了一輛有2 個前齒輪和6 個后齒輪的變速自行車數(shù)據(jù)，前齒輪齒數(shù)分別為48、40，后齒輪齒數(shù)分別為28、24、20、18、16、14。

小組內討論：（1）這輛自行車能變化出多少種速度？（2）蹬同樣的圈數(shù)，哪種組合使自行車走得最遠？

合作學習，小組匯報。

同學們觀察得很仔細，研究得很好?，F(xiàn)在你們認為這輛自行車能變化出多少種速度？還是12 種嗎？

生：12 種組合，但速度只有11 種。

生：因為當前齒輪齒數(shù)48，后齒輪齒數(shù)24 時的比值為2，當前齒輪齒數(shù)40，后齒輪齒數(shù)20 時的比值也是2，它們都是前齒輪轉1 圈，后齒輪轉2 圈，所以速度是相等的。

師：蹬同樣的圈數(shù)，哪種組合使自行車走得最遠？為什么？哪種組合使自行車走得最近？

引導學生得出結論：前齒輪的齒數(shù)越多，后齒輪的齒數(shù)越少，也就是前、后齒輪齒數(shù)的比值越大，蹬同樣的圈數(shù)，自行車走的距離越遠，但人費力。當前、后齒輪齒數(shù)比值較小時，前后齒輪轉動圈數(shù)差不多，后齒輪帶動后車輪前進距離較短，車速慢，但人省力。

五、課堂總結、感悟提升，升華問題解決

師：通過這節(jié)課的學習，我想同學們已經(jīng)成為了一位自行車的設計與改裝師啦！誰愿意和大家分享一下你的收獲？

師：孩子們，只要我們善于觀察，勤于思考，就會發(fā)現(xiàn)生活中的許多問題都可以用數(shù)學知識來解決。在生活中，大家要學會用數(shù)學的眼光，去發(fā)現(xiàn)、提出問題，并用數(shù)學的方法去分析、解決問題，做生活中的有心人。