圓軌道欠驅(qū)動(dòng)航天器編隊(duì)重構(gòu)脈沖控制

鐘都都，黃 煦,2，賈曉曉，金學(xué)敏

(1.中國人民解放軍96901部隊(duì)，北京 100094； 2. 清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084； 3. 中國人民解放軍火箭軍駐北京地區(qū)第七代表室，北京 100039； 4. 中國人民解放軍96669部隊(duì)，北京 102208)

0 引言

航天器編隊(duì)飛行是空間任務(wù)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，可應(yīng)用于對(duì)地觀測(cè)、在軌服務(wù)、深空探測(cè)等任務(wù)[1-3]。不同于傳統(tǒng)單個(gè)大型航天器，航天器編隊(duì)將以往單個(gè)航天器的功能分布在一群近距飛行的小型航天器內(nèi)，因而具有低成本、低風(fēng)險(xiǎn)、高可靠性以及任務(wù)靈活性等優(yōu)勢(shì)[4-6]。其中，顯著改善的任務(wù)靈活性得益于編隊(duì)構(gòu)型的可重構(gòu)性，即編隊(duì)內(nèi)的航天器可根據(jù)不同任務(wù)需求通過相對(duì)軌道機(jī)動(dòng)的方式改變航天器間的相對(duì)位置，從而改變編隊(duì)的幾何構(gòu)型[7]。上述過程可定義為編隊(duì)重構(gòu)。作為編隊(duì)飛行中的關(guān)鍵技術(shù)，編隊(duì)重構(gòu)控制成為研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。

現(xiàn)有的編隊(duì)重構(gòu)控制方法可分為脈沖控制與連續(xù)推力控制方法。采用脈沖控制方法，VADDI等[8]設(shè)計(jì)了圓軌道編隊(duì)最優(yōu)重構(gòu)控制方案。ROSCOE等[9]進(jìn)一步考慮J2攝動(dòng)，設(shè)計(jì)了攝動(dòng)環(huán)境下圓軌道編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)脈沖控制策略。此外，SOBIESIAK等[10]進(jìn)一步對(duì)脈沖時(shí)刻進(jìn)行了優(yōu)化。對(duì)于連續(xù)推力控制方法，李靜等[11]采用同倫分析方法和間接優(yōu)化方法推導(dǎo)了連續(xù)小推力作用的燃耗最優(yōu)重構(gòu)控制軌跡。針對(duì)類似問題，吳寶林等[12]采用直接優(yōu)化方法求解了最優(yōu)控制軌跡。此外，滑?？刂芠13]、魯棒控制[14]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[15]等方法也被應(yīng)用于連續(xù)推力作用的重構(gòu)控制方案設(shè)計(jì)。

然而，上述脈沖或連續(xù)推力控制方法均基于相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為全驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)的假設(shè)設(shè)計(jì)，即航天器徑向、跡向和法向均存在獨(dú)立的控制通道。若某一方向的推力器出現(xiàn)故障，系統(tǒng)成為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即系統(tǒng)獨(dú)立控制數(shù)目小于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)[16]。此時(shí)，上述全驅(qū)動(dòng)控制方法均不再適用。顯然，針對(duì)推力器故障問題，最為直接的解決方法為安裝備份推力器[17]。但考慮到小型編隊(duì)航天器的質(zhì)量和成本約束，更為經(jīng)濟(jì)有效的方法為設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)控制器。

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)重構(gòu)控制問題，國內(nèi)外學(xué)者已開展了一系列研究，主要包括徑向欠驅(qū)動(dòng)和跡向欠驅(qū)動(dòng)兩類控制方法。對(duì)于徑向欠驅(qū)動(dòng)控制方法，LEONARD等[18]基于航天器間的相對(duì)大氣阻力近似作用于跡向的假設(shè)，提出了僅采用跡向相對(duì)大氣阻力進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型控制的概念。KUMAR等[19]采用線性反饋控制方法設(shè)計(jì)了圓軌道徑向欠驅(qū)動(dòng)編隊(duì)重構(gòu)控制器，且VARMA等[20]采用線性滑?？刂品椒ń鉀Q了類似問題。對(duì)于跡向欠驅(qū)動(dòng)控制方法，GODARD等[17]分析了跡向欠驅(qū)動(dòng)條件下的圓軌道編隊(duì)重構(gòu)可行性，并基此設(shè)計(jì)了線性滑模控制器。隨后，黃煦等[21]解析推導(dǎo)了兩類欠驅(qū)動(dòng)條件下的圓軌道編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)解析，并基此設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器。然而，上述控制方案均假設(shè)控制器為連續(xù)推力，故而不適用于脈沖推力的控制方式。考慮到脈沖推力更易于工程實(shí)現(xiàn)，本文將研究脈沖推力作用下的圓軌道徑向或跡向欠驅(qū)動(dòng)編隊(duì)重構(gòu)控制方法。

綜上，與現(xiàn)有成果相比，本文的不同與改進(jìn)之處在于：1)與全驅(qū)動(dòng)重構(gòu)控制方法[7-15]相比，本文提出的控制方法可適用于徑向和跡向欠驅(qū)動(dòng)兩類情況，故而可有效避免由推力器故障引起的重構(gòu)任務(wù)失效；2)與現(xiàn)有全驅(qū)動(dòng)重構(gòu)控制方案相比，采用本文提出的欠驅(qū)動(dòng)控制方案可有效減小控制器數(shù)目，進(jìn)而減輕航天器系統(tǒng)質(zhì)量，降低系統(tǒng)成本，更加符合未來小型化、低成本的編隊(duì)航天器的發(fā)展需求；3)與連續(xù)推力作用的欠驅(qū)動(dòng)控制方法[17-21]相比，本文提出的控制方法采用脈沖推力方式，故而更貼合工程實(shí)際，減少操作難度。

1 動(dòng)力學(xué)建模與分析

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

坐標(biāo)系定義如圖1所示。由圖可見，主航天器運(yùn)行于圓軌道，從航天器飛行于主航天器附近，并與其構(gòu)成編隊(duì)。OEXIYIZI為地心慣性坐標(biāo)系，OE為地心。主從航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)在軌道坐標(biāo)系OCxyz中描述，其中，OC為主航天器質(zhì)心，x軸沿主航天器地心距矢量RC方向，z軸沿主航天器軌道面法向，y軸與x、z軸構(gòu)成右手笛卡爾直角坐標(biāo)系。OD為從航天器質(zhì)心，且RD為從航天器地心距矢量。

圖1 坐標(biāo)系定義Fig.1 Definition of coordinate frames

定義ρ=RD-RC=[xyz]T為主從航天器相對(duì)位置矢量，假設(shè)主從航天器相對(duì)距離遠(yuǎn)小于其地心距，則主從航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可表述為[22]

(1)

其中

(2)

(3)

(4)

需要指出的是，上述線性化模型僅對(duì)近距航天器成立。一般地，對(duì)于相對(duì)距離在100 km范圍的航天器，由線性化假設(shè)引起的誤差不超過0.03%[23]。本文中討論的航天器編隊(duì)范圍在幾千米范圍之內(nèi)，因此，由線性化引起的誤差可忽略不計(jì)。

1.2 能控性分析

主從航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型式(1)為線性時(shí)不變系統(tǒng)。根據(jù)線性系統(tǒng)理論[24]，系統(tǒng)(A,B1)在徑向欠驅(qū)動(dòng)條件下仍完全可控。相反，跡向欠驅(qū)動(dòng)條件下，系統(tǒng)(A,B2)非完全可控，可按能控性結(jié)構(gòu)分解為

(5)

其中

(6)

1.3 可行性分析

2 脈沖控制

如式(1)所示，對(duì)于近距圓軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平面內(nèi)與平面外的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)解耦。同時(shí)，對(duì)于徑向或跡向欠驅(qū)動(dòng)情況，法向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與徑向和跡向相對(duì)運(yùn)動(dòng)獨(dú)立，且法向相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為全驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)。因此，法向脈沖控制可采用常規(guī)全驅(qū)動(dòng)脈沖控制方法設(shè)計(jì)，且對(duì)徑向和跡向相對(duì)運(yùn)動(dòng)無影響?；耍疚膬H對(duì)平面內(nèi)的欠驅(qū)動(dòng)脈沖控制方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，法向全驅(qū)動(dòng)控制方法可參考文獻(xiàn)[25]。

2.1 徑向欠驅(qū)動(dòng)

(7)

式中

(8)

式(7)的解析解為

(9)

式中：t0，tf分別為初始和終端時(shí)刻；ti為施加跡向脈沖的時(shí)刻。Φ1(τ2,τ1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

(10)

式中：Δτ=τ2-τ1；s=sinnΔτ且c=cosnΔτ。Φ1v=Φ1(:,4)，即Φ1v為矩陣Φ1的第4列。

ΔX1=F1ΔV1

(11)

式(11)為k元一次方程組，其中，ΔX1∈R4，F(xiàn)1∈R4×k且ΔV1∈Rk，R表示實(shí)數(shù)域。顯然，當(dāng)k<4時(shí)，方程組無解；當(dāng)k=4時(shí)，若rank(F1)=4，方程組有唯一解，其中rank表示矩陣的秩；當(dāng)k>4時(shí)，方程組有無窮組解。由此可得，一般情況下，實(shí)現(xiàn)徑向欠驅(qū)動(dòng)編隊(duì)重構(gòu)脈沖控制的最小次數(shù)為4，并且當(dāng)4次脈沖的時(shí)刻ti確定時(shí)，每次脈沖施加的速度增量ΔVyi也隨之確定，即

(12)

2.2 跡向欠驅(qū)動(dòng)

(13)

式中

(14)

同理可得，式(14)的解析解為

(15)

式中：Φ2v為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ2(τ2,τ1)的第2列，即Φ2v=Φ2(:,2)；Φ2(τ2,τ1)的表達(dá)式為

(16)

ΔX2=F2ΔV2

(17)

同理，式(17)為k元一次方程組，其中ΔX2∈R3，F(xiàn)2∈R3×k且ΔV2∈Rk。顯然，當(dāng)k<3時(shí)，方程組無解；當(dāng)k=3時(shí)，若rank(F2)=3，則方程組有唯一解；當(dāng)k>3時(shí)，則方程組有無窮組解。由此可得，一般情況下，實(shí)現(xiàn)跡向欠驅(qū)動(dòng)編隊(duì)重構(gòu)脈沖控制的最小次數(shù)為3，并且當(dāng)3次脈沖的時(shí)刻ti確定時(shí)，每次脈沖施加的速度增量ΔVxi也隨之確定，即

(18)

3 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

假設(shè)主航天器運(yùn)行于軌道高度為500 km的圓軌道，初始時(shí)刻主從航天器構(gòu)成半徑r=0.5 km的投影圓編隊(duì)，其幾何構(gòu)型表達(dá)式為[7]

(19)

式中：r為投影圓編隊(duì)半徑，且φ0為相位角。本算例中假設(shè)初始編隊(duì)構(gòu)型的相位角為0，即φ0=0。

選取待重構(gòu)的構(gòu)型為r=1.0 km且φ0=π/2的投影圓編隊(duì)，且終端時(shí)刻選定為tf=T，其中T表示主航天器軌道周期。兩類欠驅(qū)動(dòng)情況下的仿真結(jié)果如下所述。

3.1 徑向欠驅(qū)動(dòng)

選取的4次脈沖時(shí)刻見表1。由式(12)計(jì)算得到的脈沖速度增量也總結(jié)于表1?？梢姡瑢?shí)現(xiàn)重構(gòu)所需的脈沖數(shù)量級(jí)在10-1至10-2m/s數(shù)量級(jí)，所需的總速度增量消耗約為0.76 m/s。對(duì)于比沖為3 km/s的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)，所耗燃料質(zhì)量約為航天器總質(zhì)量的0.025%，符合工程實(shí)際的合理范圍。

表1 脈沖時(shí)刻與速度增量(Vx=0)

圖2和圖3分別給出了重構(gòu)過程中的相對(duì)位置和相對(duì)速度軌跡，且圖4給出了重構(gòu)過程中的相對(duì)轉(zhuǎn)移軌道。由圖可見，從航天器從較小的編隊(duì)構(gòu)型出發(fā)，經(jīng)過4次脈沖變軌后，進(jìn)入較大的編隊(duì)構(gòu)型，從而實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)重構(gòu)，證明了式(12)的正確性。

圖2 相對(duì)位置軌跡(Vx=0)Fig.2 Time histories of relative position (Vx=0)

圖3 相對(duì)速度軌跡(Vx=0)Fig.3 Time histories of relative velocity (Vx=0)

圖4 重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌道(Vx=0)Fig.4 Transfer trajectory of formation reconfiguration (Vx=0)

3.2 跡向欠驅(qū)動(dòng)

選定的3次脈沖時(shí)刻見表2。對(duì)應(yīng)地，由式(18)計(jì)算得到的脈沖速度增量也列于表2?？梢姡瑔未蚊}沖的速度增量消耗約為10-1m/s數(shù)量級(jí)，且總速度增量消耗約為0.83 m/s，在本算例中略多于徑向欠驅(qū)動(dòng)情況。同理，對(duì)于比沖為3 km/s的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)，所耗燃料質(zhì)量約為航天器總質(zhì)量的0.028%，符合工程實(shí)際的合理范圍。

表2 脈沖時(shí)刻與速度增量(Vy=0)

圖5 相對(duì)位置軌跡(Vy=0)Fig.5 Time histories of relative position (Vy=0)

同理，圖5和圖6給出了跡向欠驅(qū)動(dòng)條件下重構(gòu)過程的相對(duì)位置和相對(duì)速度軌跡。圖7給出了重構(gòu)過程的相對(duì)轉(zhuǎn)移軌道，可見，從航天器從較小的編隊(duì)出發(fā)，經(jīng)過3次變軌后，到達(dá)期望的編隊(duì)，實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)重構(gòu)，驗(yàn)證了式(18)的正確性。

圖6 相對(duì)速度軌跡(Vy=0)Fig.6 Time histories of relative velocity (Vy=0)

圖7 重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌道(Vy=0)Fig.7 Transfer trajectory of formation reconfiguration (Vy=0)

4 結(jié)束語

本文研究了徑向和跡向欠驅(qū)動(dòng)條件下的圓軌道編隊(duì)重構(gòu)脈沖控制問題?；趦深惽夫?qū)動(dòng)條件下的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型，開展了系統(tǒng)能控性與重構(gòu)可行性分析，并基此解析推導(dǎo)了實(shí)現(xiàn)重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)以及對(duì)應(yīng)的脈沖速度增量。理論分析與仿真結(jié)果表明徑向或跡向欠驅(qū)動(dòng)條件下，圓軌道編隊(duì)重構(gòu)仍可行。通常條件下，徑向欠驅(qū)動(dòng)時(shí)，實(shí)現(xiàn)軌道面內(nèi)重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)為4次；跡向欠驅(qū)動(dòng)時(shí)，實(shí)現(xiàn)軌道面內(nèi)重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)為3次。相較于全驅(qū)動(dòng)重構(gòu)控制方案，本文提出的欠驅(qū)動(dòng)控制方案可有效避免由推力器故障引起的重構(gòu)任務(wù)失效。此外，若主動(dòng)采取欠驅(qū)動(dòng)控制方案，可有效減少推力器數(shù)目，減輕系統(tǒng)質(zhì)量，降低系統(tǒng)成本，滿足編隊(duì)航天器小型化、低成本的發(fā)展需求。當(dāng)前研究針對(duì)二體圓軌道，后續(xù)研究將進(jìn)一步考慮攝動(dòng)因素以及橢圓參考軌道，進(jìn)行欠驅(qū)動(dòng)編隊(duì)重構(gòu)控制設(shè)計(jì)，并對(duì)脈沖時(shí)刻與脈沖速度增量進(jìn)行優(yōu)化。