對(duì)一道關(guān)于流體壓強(qiáng)中考題的思考

王金偉，嚴(yán) 慶

南京市上元中學(xué)，南京 211100

1 問題由來

2016年沈陽中考第16題：利用U形管液面高度差的大小關(guān)系，可以幫助我們比較一些物理量的大小。速度是v1和v2的氣流，分別經(jīng)過與U形管左端相連的管子時(shí)，U形管液面的高度差如圖 1 所示，則 v1____v2。 （填“＞”“=”或“＜”）

圖1 題目示意圖

此題給的參考答案是“＞”，考查的知識(shí)點(diǎn)是“流體的流速越大壓強(qiáng)越小”。此題表面上看難度不大，一般學(xué)生都會(huì)做；但如果真正去做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與推理卻不盡相同。我們選擇的實(shí)驗(yàn)管道為一個(gè)三通玻璃管，對(duì)于氣流，題目沒有說明，可能首先想到是用嘴吹提供氣流，然后通過改變吹力的大小來改變氣流的速度?？僧?dāng)做第一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)（如圖2所示），發(fā)現(xiàn)與三通管相連的液面不是上升而是下降，與題目所給現(xiàn)象相反。

圖2 實(shí)驗(yàn)圖

2 實(shí)驗(yàn)分析

在流體力學(xué)中，人們把無粘性且不可壓縮的流體稱作理想流體。當(dāng)理想流體在細(xì)流管中做定常流動(dòng)時(shí)（見圖 3），流體微團(tuán)的壓強(qiáng) p、流速v→、位置高度h之間存在如下關(guān)系：

此即流體力學(xué)中非常好用的伯努利方程。其中ρ為流體的密度，對(duì)于不可壓縮的理想流體，它是一常量。

圖3 流體微團(tuán)在流管中流動(dòng)

對(duì)于氣體，重力一般可忽略不計(jì)，伯努利方程又可改寫成

（2）式便是通常所說“流體的流速越大，壓強(qiáng)越小”的理論依據(jù)[1]。初中物理常用此結(jié)論來定性地解釋一些相關(guān)的物理現(xiàn)象。伯努利方程適用于沿流線、定常、無粘性、不可壓縮的流體流動(dòng)。如果氣體的流速低于0.3倍的聲速，密度變化很小，可以按不可壓縮處理。由于人吹氣的氣流速度一般不超過這個(gè)限度，所以此種流體的流動(dòng)符合伯努利方程的不可壓縮條件。

人在吹氣時(shí)，嘴與肺泡相通，肺泡內(nèi)的附加壓強(qiáng)至少要大于大氣壓2～3 mmHg（一般人正常呼氣時(shí)肺內(nèi)氣壓高于大氣壓2～3 mmHg[2]），即三通管進(jìn)口端的壓強(qiáng)大于大氣壓，根據(jù)流量連續(xù)Q=SV，橫截面積S是常數(shù)，所以氣流在整個(gè)玻璃管內(nèi)速度都是勻速的，出口端（與大氣相通的那一端）的壓強(qiáng)等于大氣壓。為什么從出口端射向空氣中的氣流壓強(qiáng)等于大氣壓呢？因?yàn)樵诳諝鈩?dòng)力學(xué)中，射到無限空間的亞音速自由射流的壓強(qiáng)與外界環(huán)境壓強(qiáng)相等，外界氣壓等于大氣壓，所以出口端的氣壓也就等于大氣壓。而實(shí)際情況中，空氣的粘性肯定存在。如果考慮粘性，這種粘性會(huì)引起壓強(qiáng)損失，沿流動(dòng)方向壓強(qiáng)逐漸降低，所以從嘴這端到通大氣那端壓強(qiáng)是不斷降低的，但都大于大氣壓。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果拔掉軟管直接從三通管一端向另一端吹氣，會(huì)在垂直的出口端感覺到明顯的向外射流。所以，與軟管連接的這一端液面下降，就是由于三通內(nèi)的壓強(qiáng)大于大氣壓引起的。

有人覺得吹氣只是其中一種情況，如果換成鼓風(fēng)機(jī)出來的氣流，情況是否會(huì)不一樣呢？一般鼓風(fēng)機(jī)出來的氣流也屬于亞音速的射流。即使這些氣流有旋轉(zhuǎn)，由于離心力，中心壓強(qiáng)比大氣壓稍小一點(diǎn)，不過也和大氣壓差不多，所以一般鼓風(fēng)機(jī)出來的氣壓也等于大氣壓。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，把這個(gè)三通的管道順流向放在鼓風(fēng)機(jī)出來的射流中，和用嘴吹的效果相同。原因是氣流在進(jìn)入管道之前，由于受到管子的阻礙減速增壓，這是由于壓差力而不是摩擦力引起的減速，流體的流速減小壓強(qiáng)增大還是適用的。射流以明顯低于原風(fēng)機(jī)的速度進(jìn)入管道，接下來在管道內(nèi)的流動(dòng)情況與用嘴吹氣相同，三通內(nèi)壓強(qiáng)高于大氣壓，與三通相連的U形管液面還是下降。

當(dāng)然，也不是不能演示題目中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們可以用個(gè)簡單的方法，即變吹氣為吸氣。當(dāng)吸氣開始時(shí)，在進(jìn)口附近會(huì)形成一個(gè)低壓區(qū)如圖4，四周的空氣都會(huì)在壓差力的作用下向進(jìn)口端加速流動(dòng)。對(duì)于亞聲速流動(dòng)來說，這種匯聚的流動(dòng)使空氣的壓強(qiáng)降低，符合實(shí)際流動(dòng)情況，因此這個(gè)低壓區(qū)可以一直保持[3]。出口端與肺泡相通，吸氣時(shí)肺泡內(nèi)的壓強(qiáng)低于大氣壓，即出口端的壓強(qiáng)也低于大氣壓，那么三通內(nèi)的氣壓肯定低于大氣壓，則與三通相連的這一端液面就會(huì)上升了。可這種情況也不能說明流體壓強(qiáng)與流速的關(guān)系。

圖4 吸氣時(shí)的流動(dòng)形式

3 錯(cuò)因歸納

綜上所述，此題完全是錯(cuò)誤的。

（1）氣流在等直管道內(nèi)流動(dòng)時(shí)，壓強(qiáng)沿軸線是降低的，這就是流體力學(xué)中粘性流體的管流沿程壓力損失。根據(jù)質(zhì)量守恒，速度沿軸線是不變的，所以這個(gè)情況是壓強(qiáng)降低而速度不變，完全不符合伯努利方程。這種壓強(qiáng)降低是粘性力造成的，不是壓差力，根本不能用伯努力方程解釋。

（2）此實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況比較復(fù)雜，與三通端相連的液面可能是上升也可能是下降，主要看進(jìn)口端、出口端的氣壓大小。如果出口端的氣壓等于大氣壓，則與三通端相連的液面下降，如果進(jìn)口端的壓強(qiáng)小于或等于大氣壓，則與三通端相連的液面上升，所以不一定是題目所示現(xiàn)象。

（3）題目認(rèn)為進(jìn)口端的氣流無論速度大小，壓強(qiáng)都小于大氣壓，這是本題錯(cuò)誤的根本，即認(rèn)為所有的氣流都滿足“流速越大壓強(qiáng)越小”的關(guān)系，這是對(duì)伯努利方程的誤用。對(duì)氣體而言，“流速越大壓強(qiáng)越小”這個(gè)結(jié)論一般用于同一流線上的氣體，主要因?yàn)樽陨韷翰盍Φ脑颍ㄓ捎诖嬖谡承?，一般還有粘性力，但壓差力占主導(dǎo)），導(dǎo)致流體的流速跟原來相比變大或變小，壓強(qiáng)也隨之變小或變大。如果流體的流動(dòng)不滿足伯努利方程，那么流體的流速和壓強(qiáng)就沒有固定的關(guān)系了。比如，氣流通過電風(fēng)扇，這個(gè)過程風(fēng)扇要對(duì)氣流做功，壓強(qiáng)和速度都同時(shí)增加；高壓氣瓶向空氣中放氣，一開始在噴口內(nèi)部氣流壓強(qiáng)比大氣壓大，也有較大的速度，但噴入大氣后，氣體的壓強(qiáng)變?yōu)榈扔诖髿鈮海瑝簭?qiáng)和速度都同時(shí)減??；人用嘴直接向空中吹氣，在空中的氣流速度會(huì)逐漸被靜止空氣摩擦而降為零 ，但壓強(qiáng)一直都是大氣壓，氣流噴出后，由于慣性而流動(dòng)，沒有壓差力的作用，這里流速減小，壓強(qiáng)不變。

4 實(shí)驗(yàn)改進(jìn)

如用此題背景來演示伯努利方程，單就圖中一個(gè)實(shí)驗(yàn)而言，我們可以改三通的形狀變成如圖5所示，將三通中間變窄，這樣出口端的氣壓仍等于大氣壓，但氣流經(jīng)過中間時(shí)流速增大壓強(qiáng)減小，氣壓小于大氣壓，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與圖中所給現(xiàn)象相同。雖然這種改進(jìn)也存在粘性作用，但伯努利方程描述的“流速增大壓強(qiáng)降低”占主導(dǎo)作用，這樣才能說明“流體壓強(qiáng)與流速的關(guān)系”。

圖5 實(shí)驗(yàn)改進(jìn)圖

如把前、后兩個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比考查，即使做了上面的改進(jìn)，也不能互相比較壓強(qiáng)大小。因?yàn)榇祟}還不滿足伯努利方程的另一個(gè)條件 “沿流線”，因此還必須把這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的管道連接起來，這樣就滿足了“沿流線”的條件，“流體壓強(qiáng)與流速的關(guān)系”才可能適用。

5致謝

感謝《我所理解的流體力學(xué)》這本書的作者，北京航天航空大學(xué)王洪偉老師在此文撰寫過程中給予的指導(dǎo)。