蕩秋千的力學(xué)原理

林引春，林輝慶

1.浙江省臨海市大田中學(xué)，浙江 臺(tái)州 317004

2.杭州市余杭高級(jí)中學(xué)，杭州 311100

1 秋千簡介

秋千的起源，可追溯到幾十萬年前的上古時(shí)代。那時(shí)，我們的祖先為了謀生，不得不上樹采摘野果、追獵或逃避野獸。在攀登和跨越中，他們往往抓住粗壯的蔓生植物，依靠藤條的搖蕩擺動(dòng)上樹或跨越溝澗，這是秋千最原始的雛形?！扒锴А钡谋疽饧礊榫局K子遷移。后來作為人們健身和游戲的設(shè)施，演變?yōu)樵谀炯芑蜩F架上系兩根長繩，下端固定一塊底板。

秋千設(shè)備簡單，蕩秋千容易學(xué)習(xí)，老少皆宜。蕩秋千既能鍛煉身體和意志、增強(qiáng)動(dòng)作協(xié)調(diào)性，又能陶冶心情、營造娛樂氛圍，是很流行的健身和游戲活動(dòng)。在中小學(xué)、幼兒園和公共活動(dòng)場所，秋千均十分常見。由于蕩秋千在少數(shù)民族地區(qū)尤為盛行，1986年開始它被列為全國少數(shù)民族體育運(yùn)動(dòng)會(huì)正式比賽項(xiàng)目。

蕩秋千方式多樣，可以一人蕩，也可以兩人甚至更多的人一起蕩；可以坐著蕩，也可以站著蕩或用其他動(dòng)作蕩；可以是別人推動(dòng)著蕩，也可以通過自身動(dòng)作蕩。通過自身動(dòng)作蕩秋千需要技巧，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)作要領(lǐng)是在秋千向下擺時(shí)迅速改變身體姿勢使重心下降，向上擺時(shí)迅速改變身體姿勢使重心上升。例如，蕩秋千的人手拉擺繩站在底板上，向下擺時(shí)下蹲，過最低點(diǎn)后向上擺時(shí)站起，就能使自己越擺越高。下面分析通過自身動(dòng)作蕩秋千的力學(xué)原理。

2 物理模型

蕩秋千的運(yùn)動(dòng)過程和能量轉(zhuǎn)化過程十分復(fù)雜，我們以上述人站在底板上蕩秋千的情況為例，先建立理想化模型，然后通過對理想化模型的分析，弄清蕩秋千的力學(xué)原理。

為了避免由于擺動(dòng)過程中擺繩彎折帶來的復(fù)雜性，我們用一根不計(jì)質(zhì)量和伸縮的擺桿代替擺繩。設(shè)人的質(zhì)量為m，底板的質(zhì)量遠(yuǎn)小于人的質(zhì)量而忽略不計(jì)。蕩秋千過程人的大小和形狀不能忽略，計(jì)算人繞懸掛點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能十分復(fù)雜，但可以將人的質(zhì)量等效地集中于一點(diǎn)。這一點(diǎn)一般不與重心重合，不過為了簡化定量分析，我們將它等同于重心，這不會(huì)影響問題的結(jié)論。

將人在下擺時(shí)下蹲的過程，理想化為擺桿在最大偏角時(shí)人瞬間下蹲，然后保持姿勢不變擺到最低點(diǎn)。將人向上擺動(dòng)時(shí)站起的過程，理想化為人在最低點(diǎn)時(shí)瞬間站起，然后保持姿勢不變擺到最高點(diǎn)。忽略運(yùn)動(dòng)過程中人、桿受到的空氣阻力和擺桿在懸掛處與固定物間的摩擦。

整個(gè)蕩秋千運(yùn)動(dòng)過程的模型如下：如圖1所示，擺桿在左側(cè)最大位置時(shí)與豎直方向的夾角為θ0，人的重心位于a點(diǎn)，與懸點(diǎn)O的距離為l。此時(shí)人瞬間下蹲，重心沿桿向下移動(dòng)Δl距離到達(dá)b點(diǎn)。然后人保持姿勢不變下擺到最低點(diǎn)，獲得速度v。此時(shí)人瞬間站起，重心向上移動(dòng)Δl從c點(diǎn)上升到d點(diǎn)，速度變?yōu)関'。接著人保持姿勢不變，擺到右側(cè)最高點(diǎn)，重心位置為e，擺桿偏離豎直方向的角度為θ1。接著重復(fù)上述動(dòng)作，重心沿e→f→c→d→a'到達(dá)最左側(cè)。

圖1 蕩秋千模型

3 擺角變化

重心從a到b的過程，人在初、末狀態(tài)的動(dòng)能均為0。

對重心從b到c的過程，由機(jī)械能守恒定律有

對重心從c到d的過程，人們常錯(cuò)誤地認(rèn)為人在初、末位置的速度相同。其實(shí)，在這個(gè)過程中，擺桿懸掛點(diǎn)受到的約束力R和人受到的重力G對懸點(diǎn)O的力矩都等于0，人、底板和擺桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，從而有

所以有 v'＞v

對重心從d到e的過程，由機(jī)械能守恒定律有

可以看出，θ1＞θ0

同理可得，人的重心沿e→f→c→d→a'擺到左側(cè)，擺桿的最大偏角 θ2＞θ1。 如此反復(fù)，秋千就越擺越高。

4 能量轉(zhuǎn)化

秋千越蕩越高，擺動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能不斷增大。那么，擺動(dòng)系統(tǒng)增加的機(jī)械能來自哪里？

考慮機(jī)械能時(shí)，應(yīng)該以擺桿、底板、人和地球?yàn)閿[動(dòng)系統(tǒng)。在前述理想的情況下，系統(tǒng)受到的外力只有擺桿懸掛點(diǎn)受到的約束力R；重力G是保守內(nèi)力，人身體中各部分之間的相互作用力是非保守內(nèi)力。由功能原理知道，擺動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能的變化等于外力做的功與非保守內(nèi)力做的功之和。約束力R始終不做功，人在蹲下和站起過程中人的內(nèi)力做功。我們把人從一側(cè)的最大偏角處擺到另一側(cè)的最大偏角處叫作一次擺動(dòng)。下面計(jì)算在一次擺動(dòng)中人的內(nèi)力做的總功。

重心從a到b的過程，人的內(nèi)力做負(fù)功，所做的功W人1等于人的重力勢能的變化，即

W人1=-mgΔlcosθ0

重心從c到d的過程，人的內(nèi)力做正功，所做的功W人2等于人的機(jī)械能的變化，即

人從最左側(cè)擺到最右側(cè)的過程，人的內(nèi)力做的總功 W人=W人1+W人2，把 W人1、W人2代入得到

（5）式對于人從最右側(cè)擺到最左側(cè)的過程也適用，這時(shí)θ0是人在最右側(cè)時(shí)擺桿與豎直方向的夾角?？梢钥闯?，W人始終大于零。正是在每一次擺動(dòng)中人的內(nèi)力都做正功，將體能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，才使擺動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能不斷增加。

由（5）式還可以看出，隨著擺角的增大，W人也增大。在前述理想條件下，人的最大擺角能增加到等于或大于π，這時(shí)人繞懸掛點(diǎn)在豎直面上沿一個(gè)方向做圓周運(yùn)動(dòng)，不再做來回?cái)[動(dòng)。這個(gè)結(jié)論也可以從（4）式得到。

實(shí)際蕩秋千的過程，空氣阻力、懸繩與固定物之間的摩擦力等外力做負(fù)功，懸繩的形變、懸繩與秋千板連接處的摩擦等因素也使擺動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)力做負(fù)功。一次擺動(dòng)過程中，這些功之和的絕對值W阻也隨擺角的增大而增大。當(dāng)W人＞W(wǎng)阻，秋千越蕩越高；當(dāng)W人=W阻，秋千做穩(wěn)定的擺動(dòng)。