制勝中考，解決壓軸數(shù)學(xué)題

安徽省臨泉縣第三中學(xué) 張俊峰

對(duì)于中考而言，一分之差就能造成天壤之別，很多學(xué)生可能就會(huì)因?yàn)橐环侄c心儀的高中失之交臂，因而在實(shí)際教學(xué)中，我們不能以滿足的眼光看待學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展，而是應(yīng)該學(xué)會(huì)運(yùn)用合適的方法幫助學(xué)生取得更滿意的數(shù)學(xué)成績，基于此，在九年級(jí)階段，我們除了要繼續(xù)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)以外，還要將目光適當(dāng)放在壓軸題上。

一、壓軸題的數(shù)學(xué)教學(xué)方法

1.緩解學(xué)生畏難心理

中考數(shù)學(xué)壓軸題一般分為三個(gè)小問題，在實(shí)際教學(xué)中，我們就可以運(yùn)用壓軸題模擬訓(xùn)練的方法，通過分層教學(xué)的方式，對(duì)不同學(xué)生提出不同要求，以此為學(xué)生數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展奠定基礎(chǔ)。如我們可以要求低層次的學(xué)生將目光放在第一問上，中考數(shù)學(xué)壓軸題的第一小問一般就是對(duì)已知條件的分析，這一問實(shí)際上并不困難，所以我們就可以要求低層次的學(xué)生盡量完成第一個(gè)小問題；對(duì)中間層次的學(xué)生，我們可以讓其在解決完第一個(gè)問題以后，嘗試解決第二個(gè)小問題，中考數(shù)學(xué)壓軸題的第二小問一般是在分析完已知條件以后，運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想就能解決的問題，在這種問題的解答中，只要我們平常多加訓(xùn)練，那么其難度也并不會(huì)很大；在中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題中，難就難在第三個(gè)小問題，在這個(gè)問題的解答中，我們可以要求學(xué)生再讀題目并對(duì)已知條件進(jìn)行更深度的分析，然后結(jié)合自己所學(xué)知識(shí)及第一、第二問的答案考慮題目的解決思路。要想制勝中考?jí)狠S題，我們就必須先努力緩解學(xué)生的數(shù)學(xué)畏難心理。

2.教會(huì)學(xué)生解題技巧

當(dāng)我們將壓軸題掰開揉碎了分析完以后，學(xué)生在心理上就能更好地接受這種題目，但是光是心理接受沒有知識(shí)基礎(chǔ)也是不夠的，因而在實(shí)際教學(xué)中，我們還應(yīng)該適當(dāng)教給學(xué)生一定的壓軸題解題技巧。

如在以二次函數(shù)為主要考查點(diǎn)的數(shù)學(xué)壓軸題中，一般需要我們先根據(jù)題目中給出的已知條件求各項(xiàng)系數(shù)，并以此列出二次函數(shù)的解析式，然后再利用如數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題。

再如在幾何題目的解析中，我們就需要充分利用題設(shè)條件，并對(duì)題目中給出的已知條件進(jìn)行分析，思考在這一條件下我們還能獲得哪些第二已知條件，繼續(xù)慢慢地讓復(fù)雜的幾何題目變成我們熟悉的習(xí)題，然后再對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和作答。

二、案例分析——以安徽2019 中考數(shù)學(xué)壓軸題為例

當(dāng)我們具備了一定的壓軸題解題心理和解題技巧以后，就應(yīng)該嘗試著進(jìn)行壓軸題解題訓(xùn)練，本部分我將以2019 年安徽省中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題解題分析為例，淺談壓軸題的解題方法。

1.題目

如 圖1，Rt △ABC中， ∠ACB=90 °，AC=BC，P為 △ABC內(nèi) 部 一 點(diǎn)， 且∠APB=∠BPC=135°。

圖1

（1）求證：△PAB∽△PBC；

（2）求證：PA=2PC；

（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h3。

2.第一小問

第一問主要考查的就是對(duì)已知條件的把握，是關(guān)于三角形相似的證明問題，在看到這個(gè)問題時(shí)，我們首先應(yīng)該想到如何證明相似。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，證明兩個(gè)三角形相似的方法主要有三種：證明兩角對(duì)應(yīng)相等；證明兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等；證明三邊對(duì)應(yīng)成比例。在這個(gè)問題的解答中，題設(shè)條件中明顯關(guān)于角大小的條件較多，因而在解題時(shí)我們就可以根據(jù)題設(shè)條件，用第一種證明方法，通過求△PAB與△PBC這兩個(gè)三角形中兩個(gè)角的度數(shù)相等，證明三角形相似。故此題的答案應(yīng)為：

∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC。

又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB。

又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC。

3.第二小問

在這個(gè)問題中，我們要考慮到勾股定理的用法，即等腰直角三角形中斜邊等于直角邊的 倍，然后利用第一小問中的相似結(jié)論，根據(jù)勾股定理對(duì)題目進(jìn)行簡單分析。此題的正確解題流程應(yīng)為：

4.第三小問

一般來說，數(shù)學(xué)壓軸題的第三小問才屬于真正的壓軸題，但是在今年安徽卷的中考數(shù)學(xué)壓軸題中，第三個(gè)小問題的難度較往年而言并不算特別大，在這道題目中，只要我們能找準(zhǔn)輔助線的作法，并合理利用題設(shè)條件及在第一小問、第二小問的解答中獲得的第二已知條件，那么解答起來就比較容易。這道題目的正確做法應(yīng)為：

如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點(diǎn)D，E。

∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，

∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°。

又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，

∴∠EAP=∠PCD，

∴Rt △AEP∽R(shí)t △CDP，

∵△PAB∽△PBC，

圖2

即h12=2h22=2h2·h3=h2·h3。

總之，壓軸題是為了讓學(xué)生的考試成績更有區(qū)分度，所以在實(shí)際教學(xué)中，我們并不用要求每個(gè)學(xué)生都能將其解答出來，但是不能做出整道題不代表一點(diǎn)不會(huì)，因而在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該努力為學(xué)生梳理清楚數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生最大限度地發(fā)揮出自己的實(shí)際水平，盡可能得到數(shù)學(xué)高分。