火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)建模與動力學(xué)分析

韓峰， 周嶠， 陳放

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

0 引言

火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)由小型固體火箭拖拽，布撒網(wǎng)起始位置為掛網(wǎng)箱體，火箭點(diǎn)火后牽拉后續(xù)網(wǎng)塊，經(jīng)過拖網(wǎng)飛行過程，布撒網(wǎng)最終布設(shè)到目標(biāo)區(qū)域中。此系統(tǒng)的飛行—布設(shè)過程兼具火箭的剛體運(yùn)動特性及網(wǎng)體的柔性特征，對于這兩部分的動力學(xué)建模是研究系統(tǒng)動力學(xué)特性的關(guān)鍵。

目前，國內(nèi)外針對火箭拖拽武器系統(tǒng)的研究較為有限。Frank等[1]提出了利用火箭拖拽系統(tǒng)掃雷的思想，闡述了裝甲車牽引網(wǎng)狀聚能裝藥陣列的雷區(qū)清掃裝備設(shè)計(jì)方案，并分析了系統(tǒng)各部分的作用機(jī)理，但并未研究系統(tǒng)飛行動力學(xué)行為。韓峰等[2]考慮了火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)在二維情況下的縱向展開過程，采用Kane方法建立了二維多剛體模型，完成了數(shù)值模擬與試驗(yàn)研究，為此類系統(tǒng)的動力學(xué)方程及外彈道布設(shè)過程研究打下了基礎(chǔ)；但文獻(xiàn)[2]將網(wǎng)帶離散為二維剛性桿，未考慮布撒網(wǎng)的柔性運(yùn)動。Williams等[3]研究了飛機(jī)拖拽下纜繩的動力學(xué)特性，并利用集中質(zhì)量法建立了纜繩模型，對比了不同機(jī)型拖拽作用下纜繩動力學(xué)特性。近年來，集中質(zhì)量建模方法成為研究柔性網(wǎng)塊動力學(xué)特性的熱點(diǎn)方向。陳欽等[4]利用質(zhì)點(diǎn)- 彈簧模型，建立了空間繩網(wǎng)捕獲系統(tǒng)的剛- 柔混合動力學(xué)模型。Provot[5]依據(jù)網(wǎng)帶織物的材料特性，建立了柔性網(wǎng)塊的質(zhì)子- 彈簧動力學(xué)模型，并給出了網(wǎng)上的近似空氣動力系數(shù)。Mankala等[6]建立了繩系衛(wèi)星系統(tǒng)中子星牽引繩索的連續(xù)體模型，并利用MATLAB軟件的常微分方程(ODE)求解器對系統(tǒng)動力學(xué)行為進(jìn)行了分析。此后，其他學(xué)者[7-10]繼續(xù)運(yùn)用并發(fā)展集中質(zhì)量建模思想，主要思路是將其研究對象中的柔性繩網(wǎng)離散為有限個(gè)質(zhì)點(diǎn),以無質(zhì)量連桿代替質(zhì)點(diǎn)間的繩段,構(gòu)成模擬繩索運(yùn)動的多體系統(tǒng)模型。在求解動力學(xué)方程時(shí)，文獻(xiàn)[7-10]應(yīng)用4階Runge-Kutta法對仿真結(jié)果的速度失真問題進(jìn)行了修正，不斷縮小計(jì)算誤差，得到了精度更高的網(wǎng)塊質(zhì)點(diǎn)位置及速度歷程。Takagi等[11]基于質(zhì)點(diǎn)- 彈簧模型，建立了一套網(wǎng)體外形構(gòu)造和載荷分析(NaLA)系統(tǒng)，研究了刺網(wǎng)在海流作用下的外形變化和載荷特性。高慶玉等[12]采用有限繩段方法對4點(diǎn)、6點(diǎn)兩種牽拉模式下的飛網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行了建模仿真，研究了飛網(wǎng)牽拉模式對系統(tǒng)展開性能的影響。隨后，高慶玉等[13]繼續(xù)運(yùn)用小彈性模量分析方法對空間飛網(wǎng)構(gòu)型設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究，優(yōu)化了繩網(wǎng)中內(nèi)力分布的均衡性。

火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)在布設(shè)過程中的動力學(xué)行為較為復(fù)雜，兼具火箭的剛體擺動運(yùn)動特征及布撒網(wǎng)帶的柔性振動特性。本文為研究其空中飛行的動力學(xué)特性，首先在韓峰等[2]研究基礎(chǔ)上，運(yùn)用改進(jìn)集中質(zhì)量建模原理，并與彈箭外彈道學(xué)相結(jié)合，分別對火箭及布撒網(wǎng)塊進(jìn)行建模，建立了該多體系統(tǒng)動力學(xué)方程,并采用4階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解計(jì)算；其次提出了系統(tǒng)的試驗(yàn)樣機(jī)，完成了系統(tǒng)的外場飛行試驗(yàn)。最后通過仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比，驗(yàn)證了本文提出的集中質(zhì)量模型的準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步與文獻(xiàn)[2]中的多剛體模型進(jìn)行比較，闡述了本文模型的改進(jìn)之處。

1 火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1 火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)綜述

火箭拖拽布撒網(wǎng)是一套大型雷區(qū)清障武器系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，組成部件繁多?；鸺献Р既鼍W(wǎng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意簡圖如圖1所示。

圖1 火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意簡圖Fig.1 Rocket towed net system

火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)中的布撒網(wǎng)塊部分為最終布設(shè)對象。布撒網(wǎng)總長30.8 m，由6塊單元網(wǎng)組成，每塊單元網(wǎng)由4根縱向織帶和24根橫向織帶裝配而成，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)上均裝配有效載荷、用于清障。網(wǎng)塊之間由7根剛性橫向桿連接。其余部分中，連接火箭與布撒網(wǎng)的牽拉鋼索長3 m，用于緩沖及調(diào)整布撒網(wǎng)布設(shè)姿態(tài)的回拉繩長6 m.

火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)完整飛行布設(shè)過程主要分為如下4個(gè)階段：

1) 火箭自發(fā)射點(diǎn)火至牽拉鋼索完全拉直；

2) 布撒網(wǎng)開始受力被拉出至火箭停止工作；

3) 整個(gè)系統(tǒng)在慣性作用下的飛行過程；

4) 回拉主索開始作用，布撒網(wǎng)系統(tǒng)在其作用下逐漸減速，最終在目標(biāo)區(qū)域完成布設(shè)。

1.2 拖網(wǎng)火箭剛體動力學(xué)模型

對火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)中的拖網(wǎng)火箭進(jìn)行建模。將拖網(wǎng)火箭視為剛體，首先提出如下假設(shè)：

1) 火箭推力始終沿軸線方向，不考慮推力偏心效應(yīng)；

2) 忽略火箭發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)的非對稱細(xì)節(jié)，認(rèn)為其質(zhì)心位于幾何中心；

3) 火箭旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定行為對整體系統(tǒng)的布設(shè)過程影響甚微，忽略火箭剛體的繞軸自旋轉(zhuǎn)；

4) 相對火箭總質(zhì)量，其推進(jìn)劑質(zhì)量占比較低，忽略火箭在布撒網(wǎng)系統(tǒng)工作過程中的質(zhì)量變化。

1.2.1 外彈道坐標(biāo)系統(tǒng)

采用包括地面坐標(biāo)系Oxyz、基準(zhǔn)坐標(biāo)系cxcyczc、彈軸坐標(biāo)系cξηζ和彈道坐標(biāo)系cxryrzr在內(nèi)的外彈道學(xué)常用坐標(biāo)系統(tǒng)[14-15]對火箭運(yùn)動進(jìn)行描述。本文建立的外彈道坐標(biāo)系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 火箭外彈道坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate systems of exterior ballistics of rocket

令φ1、φ2分別為彈軸坐標(biāo)系與基準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的方位角；θr、ψr分別為彈道坐標(biāo)系與基準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的方位角；δr1、δr2分別為彈道坐標(biāo)系與彈軸坐標(biāo)系之間的方位角。各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣Aφ1φ2、Aθrψr和Aδr1δr2可由經(jīng)典外彈道理論推導(dǎo)而得[14]。

進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前，需得到各坐標(biāo)系相對方位角的轉(zhuǎn)換關(guān)系((1)式～(3)式)：

(1)

(2)

式中：vy、vz分別為火箭質(zhì)心速度v沿基準(zhǔn)坐標(biāo)系y軸、z軸的2個(gè)分量；wz為風(fēng)阻沿基準(zhǔn)坐標(biāo)系的z軸分量；

(3)

δr為火箭攻角；同時(shí)，為便于推導(dǎo)與書寫，(3)式中定義了以δr1、δr2、δr表示的中間角υr.

火箭自點(diǎn)火發(fā)射至拉出布撒網(wǎng)，再到停火后自由飛行落地，整個(gè)外彈道過程受力情況復(fù)雜(見圖3)?；鸺|(zhì)心位置受火箭推力F、牽拉鋼索拉力Tw、空氣阻力Rd、氣流升力Rl及重力Gr的綜合影響，火箭姿態(tài)受到空氣阻力靜力矩Ma及牽拉鋼索力矩Mw的擾動。

圖3 火箭受力分析Fig.3 Dynamical analysis of rocket

下面逐一推導(dǎo)上述外力及力矩的表達(dá)式及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

1.2.2 空氣動力

本系統(tǒng)選用的火箭發(fā)動機(jī)屬于無尾翼的旋成體彈箭。在攻角平面內(nèi)，火箭受到的總空氣動力R可以分解為空氣阻力Rd與氣流升力Rl. 兩類空氣動力的數(shù)值為

(4)

式中：ρ為空氣密度，ρ=1.293 kg/m3；Sm為火箭迎風(fēng)面積；Cd、Cl分別為彈體阻力系數(shù)和彈體升力系數(shù)。

轉(zhuǎn)換至基準(zhǔn)坐標(biāo)系，得到氣動力矢量為

(5)

(6)

若忽略火箭飛行中的攻角，則彈道與彈軸坐標(biāo)系重合，此時(shí)氣流升力不存在，空氣阻力矢量在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下可表達(dá)為

(7)

1.2.3 火箭推力

根據(jù)前文假設(shè)，火箭推力始終沿軸線方向，設(shè)mp、Is、ta分別為推進(jìn)劑質(zhì)量、發(fā)動機(jī)比沖以及工作時(shí)間，可得火箭推力大?。?/p>

(8)

(8)式轉(zhuǎn)換至基準(zhǔn)坐標(biāo)系，得

(9)

1.2.4 牽拉鋼索拉力

牽拉鋼索與火箭尾端連接，在本系統(tǒng)工況下可視為線彈性材料。由胡克定律可得牽拉鋼索拉力大小Tw為

(10)

式中：ΔLw為鋼索伸長量；Lw為鋼索原長；Ew為彈性模量；Aw為鋼索橫截面積。

(10)式轉(zhuǎn)換至基準(zhǔn)坐標(biāo)系，得

(11)

式中：(x1,y1,z1)為火箭尾端與牽拉鋼索連接點(diǎn)；(x2,y2,z2)為鋼索與布撒網(wǎng)前端連接點(diǎn)；(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分別為鋼索兩端點(diǎn)的位置；兩點(diǎn)之間的距離即為牽拉鋼索實(shí)時(shí)長度lw.

1.2.5 重力

根據(jù)前文假設(shè)，火箭質(zhì)量m不變，取重力加速度g=9.8 m/s2，火箭所受重力在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中可表示為

(12)

1.2.6 氣動力矩

火箭壓心與質(zhì)心的位置差異形成了擾動彈體姿態(tài)的氣動力矩。經(jīng)典彈箭外彈道學(xué)理論在分析氣動力矩時(shí)，一般通過彈體阻力系數(shù)求得氣動力的分量Rd、Rl后，將氣動力作用點(diǎn)移至彈體質(zhì)心，并添加空氣阻力靜力矩Ma，用來表述氣動力對彈體姿態(tài)的擾動：

Ma=Rdhsinδr+Rlhcosδr，

(13)

式中：h為0.1倍彈長[16]。從而有空氣阻力靜力矩Ma在彈軸坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

(14)

(3)式代入(14)式，得

(15)

1.2.7 牽拉鋼索力矩

牽拉鋼索拉力Tw同樣產(chǎn)生力矩，將(11)式中的Tw,cxyz轉(zhuǎn)換至彈軸坐標(biāo)系表達(dá)[17]：

(16)

牽拉鋼索力矩在彈軸坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

(17)

式中：MTwζ、MTwη、MTwξ為牽拉鋼索拉力Tw在彈軸坐標(biāo)系下的分量對火箭質(zhì)心的力矩；L0為牽拉鋼索拉力Tw對火箭質(zhì)心的作用力臂，即火箭尾端的牽拉鋼索連接點(diǎn)(x1,y1,z1)與火箭質(zhì)心的距離。

推導(dǎo)得到火箭所受外力及力矩后，其質(zhì)心運(yùn)動方程為

ma=F+Rd+Rl+Tw+Gr.

(18)

(18)式在地面坐標(biāo)系中可表示為

(19)

火箭繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動可用動量矩定理描述，火箭轉(zhuǎn)動方程[14]為

(20)

式中：G為火箭對質(zhì)心的動量矩；ω為火箭角速度；M為作用于火箭的合外力對其質(zhì)心的合力矩，即氣動力矩Ma和牽拉鋼索力矩Mw的合矢量。

角速度ω為彈軸方位角的變化率：

(21)

其在彈軸坐標(biāo)系的表述為

(22)

火箭剛體在彈軸坐標(biāo)系下的角動量為

(23)

式中：Gζ、Gη、Gξ分別為火箭對質(zhì)心的動量矩G在ζ、η、ξ軸上的分量；J為火箭以彈軸坐標(biāo)系為基的慣性張量；ωζ、ωη、ωξ分別為火箭角速度ω在ζ、η、ξ軸上的分量；Jζ、Jη、Jξ分別為慣性張量J在ζ、η、ξ軸上的分量，Jζ為極轉(zhuǎn)動慣量，Jη、Jξ為赤道轉(zhuǎn)動慣量，Jη=Jξ.

由此可以看到，由于前文假設(shè)中忽略了火箭自旋對系統(tǒng)布設(shè)過程的影響，火箭極轉(zhuǎn)動慣量Jζ=0，(23)式可寫為

(24)

對矩陣G取時(shí)間t的1階偏導(dǎo)數(shù)，得到

(25)

則

(26)

(25)式、(26)式代入(20)式，得到火箭轉(zhuǎn)動方程為

(27)

通過上述推導(dǎo)與分析得到了火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)中火箭發(fā)動機(jī)部分的動力學(xué)方程，分別為描述火箭位置變化的質(zhì)心運(yùn)動方程(19)式及表述火箭姿態(tài)變化的轉(zhuǎn)動方程(27)式。

1.3 布撒網(wǎng)集中質(zhì)量模型

近年來，集中質(zhì)量建模方法一直是繩網(wǎng)動力學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)方向。與傳統(tǒng)有限段方法相比，集中質(zhì)量方法建模后的多體系統(tǒng)總自由度下降。由于將繩網(wǎng)單元的內(nèi)力假設(shè)為作動單元施加在系統(tǒng)的外力，建立動力學(xué)方程時(shí)不用考慮單元的慣性張量，方程質(zhì)量陣的非線性程度大幅度降低，模型的數(shù)值性能顯著提升。作動單元等效后的力元方向總是沿著相鄰質(zhì)點(diǎn)的方向，與有限段方法相比，采用集中質(zhì)量模型依舊能得到理想的計(jì)算結(jié)果。該方法的核心思想是將繩網(wǎng)系統(tǒng)的質(zhì)量均勻離散至特征點(diǎn)上，利用離散質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)變化矩陣描述原連續(xù)體系統(tǒng)的動力學(xué)行為。對于網(wǎng)目系統(tǒng)，特征點(diǎn)通常與網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)重合。在建立動力學(xué)方程時(shí)，通常通過分析目標(biāo)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，建立隨體坐標(biāo)系，分析各特征點(diǎn)坐標(biāo)間的相對位置關(guān)系，最后得到獨(dú)立方程組。

在將系統(tǒng)質(zhì)量離散到質(zhì)點(diǎn)后，自然要考慮相鄰質(zhì)點(diǎn)間的位置約束，處理兩點(diǎn)間約束的方法也在不斷發(fā)展。等距約束法[2-3]首先被提出，該方法視兩點(diǎn)間存在無質(zhì)量剛性連桿，認(rèn)為特征點(diǎn)之間不存在相互移動。隨后，考慮到繩網(wǎng)柔性動力學(xué)行為，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出質(zhì)點(diǎn)- 彈簧模型[4-5]對集中質(zhì)量方法進(jìn)行改進(jìn)，在仿真中進(jìn)一步表征了繩網(wǎng)張力。

1.3.1 考慮能量耗散的網(wǎng)帶集中質(zhì)量模型

在對火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)中的布撒網(wǎng)部分進(jìn)行力學(xué)建模時(shí)，不僅要表征網(wǎng)帶張力，而且考慮到本文所選用的織帶材料以及網(wǎng)帶雙面縫制的結(jié)構(gòu)屬性，還要求模型能體現(xiàn)飛行過程中網(wǎng)帶材料內(nèi)摩擦造成的結(jié)構(gòu)阻尼與能量耗散。

本節(jié)在質(zhì)點(diǎn)- 彈簧模型的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出改進(jìn)，將網(wǎng)帶質(zhì)量均勻集中到網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)上后，集中質(zhì)點(diǎn)記為eij，即第i(i=1,2,3,4)條縱向帶與第j(j=1,2,…,144)條橫向帶連接處的網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)，將相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的柔性部分描述為彈簧- 阻尼器作動單元。布撒網(wǎng)集中質(zhì)量模型如圖4所示。

彈簧- 阻尼器作動單元實(shí)際上是作用于相鄰兩質(zhì)點(diǎn)之間的無質(zhì)量力元，相對于彈簧- 質(zhì)點(diǎn)模型描述的線彈性力元，更能體現(xiàn)網(wǎng)帶的介質(zhì)阻尼。當(dāng)兩點(diǎn)距離小于網(wǎng)帶原長時(shí)，作動器不施加作用力，體現(xiàn)網(wǎng)帶的柔性松弛特性；當(dāng)兩點(diǎn)距離大于原長時(shí)，由彈簧作動器表征網(wǎng)帶張力，阻尼作動器表征結(jié)構(gòu)阻尼和能量耗散，且假定阻尼力正比于相鄰質(zhì)點(diǎn)間的速度差[18]。

圖4 布撒網(wǎng)集中質(zhì)量模型Fig.4 Lumped mass of towed net model

單個(gè)作動單元的作用力記為Tn，表示圖4中相鄰網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)間的子網(wǎng)帶作用力：

(28)

式中：L、ΔL和Δv分別為作動單元兩端相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的子網(wǎng)帶原長、伸長量及相鄰質(zhì)點(diǎn)速度差；cd為阻尼系數(shù)；En、An分別為網(wǎng)體材料的彈性模量及截面積，計(jì)算時(shí)均為常量。

根據(jù)圖4中的網(wǎng)體結(jié)構(gòu)，集中質(zhì)點(diǎn)eij受到多條子網(wǎng)帶作用力的影響。對于整體矩形網(wǎng)塊上的質(zhì)點(diǎn)eij，位于4個(gè)角點(diǎn)處、4條邊界處及內(nèi)部的集中質(zhì)點(diǎn)分別受到2條、3條及4條子網(wǎng)帶的張力作用。

對于內(nèi)部的集中質(zhì)點(diǎn)eij，根據(jù)(28)式，其所受周邊4條子網(wǎng)帶的合作用力為Tij，其在地面坐標(biāo)系下可表達(dá)為

(29)

式中：Tijx、Tijy和Tijz分別為集中質(zhì)點(diǎn)eij所受網(wǎng)帶合作用力的x軸、y軸和z軸方向分量；Tij,(i-1)j為連接質(zhì)點(diǎn)eij與質(zhì)點(diǎn)e(i-1)j的子網(wǎng)帶作用力大??；ΔLij,(i-1)j為此條子網(wǎng)帶的伸長量，其他變量含義依次定義類推。對于角點(diǎn)及邊界處的集中質(zhì)點(diǎn)eij，其所連接的子網(wǎng)帶條數(shù)相應(yīng)減少，網(wǎng)帶合作用力方程的列寫原理與(29)式相同，不再贅述。

同理，對于布撒網(wǎng)體前端與火箭連接的牽拉鋼索段以及后端與地面固連的回拉繩段，同樣采用集中質(zhì)量方法進(jìn)行離散建模。

對于牽拉鋼索，考慮到其抗彎剛度遠(yuǎn)大于柔性布撒網(wǎng)帶，本文忽略鋼索在飛行過程中的彎曲與振動，結(jié)合1.2.3節(jié)中的線彈性材料假設(shè)，認(rèn)為牽拉鋼索僅發(fā)生軸向拉伸變形。在此前提下，可將其直接離散成首尾兩質(zhì)點(diǎn)，牽拉鋼索拉力Tw見(10)式。

回拉繩也采用集中質(zhì)量方法建模，由于它是在火箭停止工作后的布撒網(wǎng)系統(tǒng)布設(shè)末段提供緩沖和限位作用，使布撒網(wǎng)主體落地姿態(tài)能夠保持撐開并張緊，回拉繩采用的是拉伸模量較小、延伸率較大的繩索材料，因此假設(shè)繩索的張力與應(yīng)變滿足線彈性關(guān)系，略去作動單元中的阻尼器，采用傳統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)- 彈簧模型離散回拉繩。記相鄰質(zhì)點(diǎn)間的回拉力為Tt，

(30)

式中：Lt、ΔLt分別為網(wǎng)帶原長、伸長量；Et、At分別為回拉繩材料的彈性模量及截面積。

1.3.2 布撒網(wǎng)空氣動力分析

柔性網(wǎng)體在飛行過程中，受空氣動力的影響較大。在布撒網(wǎng)系統(tǒng)中，每段子網(wǎng)帶的選材、原長及縫制結(jié)構(gòu)完全相同，其空氣動力系數(shù)均為C. 在雷諾數(shù)Re<200時(shí)，C隨著流場的雷諾數(shù)不斷變化[19]，相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系[20]可表示為

(31)

(32)

式中：根據(jù)實(shí)際工況，取空氣密度ρ=1.293 kg/m3，流場速度va=4 m/s，動力黏性系數(shù)μ=1.8×10-5Pa·s，網(wǎng)體空氣動力系數(shù)如表1所示。

由于布撒網(wǎng)部分被離散為一系列集中質(zhì)點(diǎn)，在列寫系統(tǒng)動力學(xué)方程時(shí)，空氣動力對質(zhì)點(diǎn)eij的作用力Rij在地面坐標(biāo)系下可表示為

表1 布撒網(wǎng)空氣動力系數(shù)

(33)

式中：vij為網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)eij的速率值；Ax、Ay、Az分別為網(wǎng)帶沿不同方向的截面積。

至此，集中質(zhì)點(diǎn)eij的動力學(xué)方程可表示為

mijaij=Tij+Gij+Rij，

(34)

式中：mij、aij、Gij分別為網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)eij的質(zhì)量、加速度及重力。

(34)式在地面坐標(biāo)系下可表示為

(35)

式中：xij、yij、zij分別為網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)eij的位移分量；vijx、vijy、vijz為其速度分量。

1.4 橫向桿模型

為使布撒網(wǎng)能在橫向能夠撐開并張緊，在網(wǎng)的前后兩端和中間等距設(shè)置7根剛性橫向桿，將布撒網(wǎng)分成6塊，橫向桿質(zhì)量均為mb. 橫向桿主要受網(wǎng)帶拉力Tkb(k=1,2,…,8)及自身重力的作用，受力分析如圖5所示。

圖5 橫向桿受力分析示意圖Fig.5 Force analysis of lateral bars

將橫向桿簡化為剛體建模，進(jìn)行動力學(xué)分析時(shí)的坐標(biāo)系與1.2節(jié)中剛體火箭的坐標(biāo)系類似，分別以橫向桿質(zhì)心cb為坐標(biāo)原點(diǎn)建立隨體坐標(biāo)系(cbζηξ)和基準(zhǔn)坐標(biāo)系(cbxyz)。設(shè)ε1b、ε2b為兩坐標(biāo)系之間的方位角，二者的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(36)

橫向桿的剛體建模方法與火箭類似，過程不再贅述，地面坐標(biāo)系下的質(zhì)心運(yùn)動方程為

(37)

式中：xb、yb、zb分別為橫向桿質(zhì)心的位移分量；vbx、vby、vbz為其速度分量；ΔLk為第k條網(wǎng)帶的伸長量；Δxk、Δyk、Δzk分別為ΔLk在地面坐標(biāo)系下的3個(gè)分量。

描述橫向桿姿態(tài)的轉(zhuǎn)動方程為

Mb=(T1b+T2b+T7b+T8b)Lb1+
(T3b+T4b+T5b+T6b)Lb2，

(38)

式中：Mb為作用在橫向桿上的合外力對其質(zhì)心的合力矩；Lb1、Lb2為網(wǎng)帶拉力對橫向桿質(zhì)心的力臂。由圖5可知，由于網(wǎng)帶在橫向桿上等距分布，力臂長度有Lb1=3Lb2.

與上文推導(dǎo)火箭繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的原理相同，應(yīng)用動量矩定理，橫向桿的轉(zhuǎn)動微分方程為

(39)

式中：Mbζ、Mbη為合力矩Mb在彈軸坐標(biāo)系下的分量；Ab為橫向桿的徑向橫截面積。

綜上所述，已經(jīng)逐一對包括火箭發(fā)動機(jī)、布撒網(wǎng)、回拉繩和橫向桿在內(nèi)的火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)各部分完成了力學(xué)建模，并得到了相應(yīng)的動力學(xué)方程。將(19)式、(27)式、(35)式、(37)式和(39)式聯(lián)立，即可得到系統(tǒng)動力學(xué)方程組，共包含[80+6(i×j)]個(gè)方程，其中i=144,j=4,i×j的值等于集中質(zhì)點(diǎn)數(shù)。方程個(gè)數(shù)與系統(tǒng)總自由度相等，此常微分方程組可由Runge-Kutta等常用數(shù)值方法解算。

2 火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)動力學(xué)仿真

根據(jù)第1節(jié)推導(dǎo)的動力學(xué)方程組，利用MATLAB軟件編制計(jì)算程序，對火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)的三維展開布設(shè)工作過程進(jìn)行仿真模擬。

采用數(shù)值方法對常微分方程組進(jìn)行求解時(shí)，先給出系統(tǒng)各待求坐標(biāo)的初始值。布撒網(wǎng)懸掛式的初始位置構(gòu)造相對復(fù)雜，橫向桿受到固定約束，而柔性網(wǎng)體部分則處于自然懸垂?fàn)顟B(tài)，即在重力和張力作用下處于平衡狀態(tài)。因此，構(gòu)造懸掛式初始狀態(tài)時(shí)，無法根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)尺寸直接計(jì)算各廣義坐標(biāo)的初始值，需要對布撒網(wǎng)的自然懸垂?fàn)顟B(tài)進(jìn)行求解，從而得到網(wǎng)體質(zhì)點(diǎn)的初始位置[21]。根據(jù)實(shí)際工況，仿真中采用的計(jì)算參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)

注：結(jié)合圖4中建立的布撒網(wǎng)集中質(zhì)量模型，網(wǎng)帶總質(zhì)量mn由網(wǎng)目節(jié)點(diǎn)質(zhì)量mij乘以節(jié)點(diǎn)總數(shù)i×j求得。

仿真得到的系統(tǒng)工作過程如圖6～圖11所示，其中x為縱向距離，y為高度，z為橫向距離。

圖6 網(wǎng)體被拉出瞬間Fig.6 Pull-out moment of net

圖7 火箭彈道上升階段Fig.7 Ascending stage of rocket trajectory

圖8 火箭彈道最高點(diǎn)瞬間Fig.8 Moment of rocket trajectory reaching a peak point

圖9 回拉繩受力瞬間Fig.9 Tripping line starting working

圖10 火箭停止工作Fig.10 Rocket stopping working

圖11 火箭著陸瞬間Fig.11 Moment of rocket landing at ground

圖6～圖11給出了系統(tǒng)三維展開布設(shè)過程的6個(gè)特征時(shí)刻：

1)t=0.129 2 s，首根橫向桿開始受力，布撒網(wǎng)被拉出瞬間，此時(shí)牽拉鋼索拉力Tw將發(fā)生突變，并迅速達(dá)到其峰值2 956 N；

2)t=0.581 7 s，火箭處于彈道上升階段，其持續(xù)受到自身發(fā)動機(jī)的推力驅(qū)動，飛行高度不斷上升，布撒網(wǎng)體被陸續(xù)拉出發(fā)射箱體；

3)t=1.094 4 s，火箭達(dá)到彈道最高點(diǎn)5.39 m，此時(shí)，已有4塊子網(wǎng)被完整拉出進(jìn)入空中飛行階段；

4)t=1.301 6 s，回拉繩出現(xiàn)彈性形變，開始對布撒網(wǎng)體起到緩沖、限位作用；

5)t=1.800 0 s，火箭停止工作，整個(gè)系統(tǒng)開始自由飛行；

6)t=1.907 2 s，火箭著陸，布撒網(wǎng)系統(tǒng)到達(dá)布設(shè)距離。

3 火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)飛行試驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 外場飛行試驗(yàn)

為進(jìn)一步研究布撒網(wǎng)系統(tǒng)的展開規(guī)律并驗(yàn)證計(jì)算模型的可靠性，本文設(shè)計(jì)了火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)的試驗(yàn)樣機(jī)，完成了外場飛行試驗(yàn)。試驗(yàn)中使用高速攝像機(jī)記錄了全部過程。

圖12所示為系統(tǒng)發(fā)射前的部署情況，圖13所示為發(fā)射- 飛行- 布設(shè)的完整工作歷程,t=0 s為火箭點(diǎn)火發(fā)射時(shí)刻。

圖12 發(fā)射前部署情況Fig.12 Rocket towed net system before test

3.2 試驗(yàn)結(jié)果與仿真對比分析

將試驗(yàn)現(xiàn)象與本文的集中質(zhì)量模型仿真結(jié)果相比較，由于文獻(xiàn)[2]中的計(jì)算工況與本文相同，引入文獻(xiàn)[2]提出的多剛體模型作為參照。為方便敘述，將本文提出的集中質(zhì)量模型稱為模型1，將文獻(xiàn)[2]中的多剛體模型稱為模型2. 將三者體現(xiàn)的系統(tǒng)工作歷程進(jìn)行對比，評估計(jì)算模型的可靠性。

首先對火箭外彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，取火箭外彈道軌跡(火箭質(zhì)心縱向飛行距離x、高度y)、彈體俯仰角θ和質(zhì)心速度(水平速度vx、鋁垂速度vy)作為評估參數(shù)。比較結(jié)果如圖14～圖17所示。

圖15 彈體俯仰角對比Fig.15 Comparison of rocket pitch angles

圖16 彈體質(zhì)心水平速度對比Fig.16 Comparison of horizontal velocities of rocket mass center

圖17 彈體質(zhì)心鉛垂速度對比Fig.17 Comparison of longitudinal velocities of rocket mass center

從圖14中可見：從最終布設(shè)距離來看，模型1(33.55 m)相對于模型2(39.01 m)更接近試驗(yàn)結(jié)果(33.12 m)，誤差為1.39%；在外彈道初期，模型1、模型2與試驗(yàn)的彈道發(fā)展趨勢相同，但模型1的彈道更高；在彈道最高點(diǎn)方面，相比試驗(yàn)結(jié)果(4.72 m)，模型1(5.39 m)與模型2(5.19 m)都偏高，誤差分別為14.19%和9.96%.

受后續(xù)不斷從箱體拉出的布撒網(wǎng)塊影響，火箭尾部擾動較大，彈體俯仰角變化劇烈。實(shí)際試驗(yàn)時(shí)，火箭俯仰角前期(0.4 s前)振蕩劇烈，然后趨于平緩。圖15中，模型2的俯仰角總體振蕩幅度明顯低于模型1與試驗(yàn)，且0.4 s后的俯仰角變化較小，出現(xiàn)失真現(xiàn)象。實(shí)際試驗(yàn)中，0.4 s前火箭俯仰角的變化范圍為-38.70°～55.04°，模型1吻合程度較好，最大誤差為7.93%.

圖16體現(xiàn)了火箭質(zhì)心水平速度的對比。從整體趨勢看，模型1速度低于實(shí)際值，模型2高于實(shí)際值，但模型1的誤差量較小，符合程度較好；從速度曲線極值看，模型2(25.73 m/s)與試驗(yàn)(27.10 m/s)幾乎同時(shí)在0.2 s左右達(dá)到最大速度，而模型1(25.57 m/s)較之晚0.1 s，模型1、模型2的誤差分別為5.65%、5.06%；火箭在彈道末端著地，模型1和試驗(yàn)結(jié)果的水平速度出現(xiàn)劇烈下降并趨于平穩(wěn)的現(xiàn)象，模型2在這一階段描述失真。

圖17體現(xiàn)了火箭質(zhì)心鉛錘方向速度的對比。從整體趨勢看，三者在0.58 s前變化幅度較大，且都在0.23 s附近達(dá)到極值；從速度曲線極值看，模型1、模型2的最大速度(分別為6.64 m/s、9.79 m/s)均小于實(shí)際情況(17.58 m/s)；在彈道末端，模型1和試驗(yàn)結(jié)果的鉛錘速度出現(xiàn)強(qiáng)烈正向反彈并在最后趨于0，這一結(jié)果符合彈體著地后回彈向上并最終停止的實(shí)際現(xiàn)象，模型2在這一階段描述失真。

通過對火箭外彈道的比較，可知模型1描述的外彈道與試驗(yàn)結(jié)果更加吻合，相對于模型2，本文的仿真結(jié)果未出現(xiàn)失真，誤差率整體較小。本文模型誤差出現(xiàn)的關(guān)鍵原因在于假設(shè)火箭推力為恒值不變。而實(shí)際工況中，火箭推力隨時(shí)間變化，存在上升、穩(wěn)定、下降等不同階段，且存在一定波動，將推力視為恒值本身將產(chǎn)生誤差。

在驗(yàn)證本文模型的可靠性后，繼續(xù)分析本文仿真結(jié)果，研究布撒網(wǎng)系統(tǒng)其他要素的動力學(xué)特性。

圖18 牽拉鋼索拉力時(shí)程曲線Fig.18 Tension on wire rope

圖18所示為牽拉鋼索的拉力時(shí)程變化。由圖18中可以看出，拉力Tw的變化頻率很高，在布撒網(wǎng)首根橫向桿被拉出后不久，鋼索拉力在0.3 s時(shí)達(dá)到最大值3 kN，此峰值約為火箭發(fā)動機(jī)推力的3倍。0.5 s后，拉力穩(wěn)定在0～1 kN. 由于鋼索拉力的作用線一般不經(jīng)過火箭質(zhì)心，其對火箭還有轉(zhuǎn)矩作用。該轉(zhuǎn)矩一方面與拉力大小有關(guān)，另一方面與火箭俯仰角和拉力方向角有關(guān)。因此，圖18中高峰值、高變化頻率的牽拉鋼索拉力Tw將大幅度降低火箭姿態(tài)的穩(wěn)定性。考慮到火箭推力合力方向始終沿彈體軸線方向，牽拉鋼索對彈體的擾動同時(shí)將造成火箭推力方向的劇烈變化，進(jìn)而影響布撒網(wǎng)系統(tǒng)的空中展開姿態(tài)。從對布撒網(wǎng)系統(tǒng)的工程設(shè)計(jì)角度來看，圖18所體現(xiàn)的數(shù)值仿真結(jié)果表明，牽拉鋼索的選材是決定火箭及布撒網(wǎng)體的空中姿態(tài)及最后布設(shè)效果的重要因素。不同于布撒網(wǎng)體與回拉繩索，其彈性模量Ew遠(yuǎn)大于前二者，選材稍有不同，將造成鋼索拉力的巨大差異，Tw的峰值甚至能達(dá)到十幾倍火箭推力，導(dǎo)致火箭姿態(tài)嚴(yán)重失穩(wěn)、在主動段提前下墜觸地甚至反向飛行等異常現(xiàn)象。在今后設(shè)計(jì)不同尺寸型號的布撒網(wǎng)系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)結(jié)合本文提出的模型，由數(shù)值模擬得到牽拉鋼索的拉力變化，謹(jǐn)慎選擇不同彈性模量的鋼索材料。

圖19體現(xiàn)了火箭的角速度ω變化歷程，由于火箭姿態(tài)主要受牽拉鋼索影響，角速度變化趨勢也接近于鋼索拉力。0.5 s前，角速度在-30～30 rad/s之間劇烈變化；0.5 s后，由于拉出網(wǎng)塊增多，角速度變化趨于平緩(-10～10 rad/s)。

圖19 火箭角速度變化歷程Fig.19 Rocket angular velocity

圖20給出了火箭攻角δr的變化歷程(-0.6～0.6 rad)，可見當(dāng)彈體著地后攻角驟降至0°.

圖20 火箭攻角變化歷程Fig.20 Rocket angle of attack

4 結(jié)論

本文提出了內(nèi)含彈簧- 阻尼器作動單元的集中質(zhì)量模型，運(yùn)用彈箭外彈道理論完成了火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)中的柔性布撒網(wǎng)塊和火箭等部分的三維動力學(xué)建模，推導(dǎo)得到了系統(tǒng)動力學(xué)方程組。結(jié)合MATLAB軟件仿真計(jì)算及外場飛行試驗(yàn)，分析了包括火箭角速度、攻角、俯仰角、質(zhì)心外彈道及速度和鋼索拉力在內(nèi)的一系列系統(tǒng)要素，全面考察了系統(tǒng)動力學(xué)特性。所得主要結(jié)論如下：

1) 仿真與試驗(yàn)的火箭射程均達(dá)到33 m以上，布撒網(wǎng)布設(shè)到位率達(dá)到90%以上。

2) 本文模型能夠反映火箭末端牽拉鋼索對彈體的高頻強(qiáng)擾動現(xiàn)象，在對布撒網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行工程設(shè)計(jì)時(shí)，通過數(shù)值模擬得到的拉力時(shí)程曲線可作為鋼索選材的理論依據(jù)。

3) 通過仿真結(jié)果與試驗(yàn)現(xiàn)象的對比分析，驗(yàn)證了彈簧- 阻尼器集中質(zhì)量模型的可靠性，并與基于Kane方法的多剛體模型進(jìn)行比較，指出本模型在描述火箭拖拽布撒網(wǎng)系統(tǒng)各要素變化趨勢及極值情況時(shí)的準(zhǔn)確度更高，仿真結(jié)果未出現(xiàn)失真。與多剛體模型相比，彈簧- 阻尼器作動器的加入補(bǔ)充了對網(wǎng)帶軸向變形的描述，描述了網(wǎng)體的部分柔性體性質(zhì)。

本文模型仍有許多可以改進(jìn)之處。如假定火箭推力為恒值，而實(shí)際工況下的點(diǎn)火延遲以及推進(jìn)劑燃燒不均勻現(xiàn)象不可避免，因此仿真結(jié)果在外彈道初期與試驗(yàn)現(xiàn)象的誤差較大。在今后工作中應(yīng)進(jìn)一步將上述因素考慮到建模過程中。