“列一元一次不等式解決問題”教學(xué)思考

王曉明 李軍

教學(xué)過程是動(dòng)態(tài)的雙邊活動(dòng)過程，筆者結(jié)合在 “列一元一次不等式解決問題”教學(xué)中對(duì)課堂生成的引申，談?wù)勛约簩?duì)于處理預(yù)設(shè)與生成關(guān)系的思考。

一、問題呈現(xiàn)

蘇科版教材第131頁的問題1：一只紙箱質(zhì)量為1kg，當(dāng)放入一些蘋果后，箱子和蘋果的總質(zhì)量不超過10kg，假設(shè)每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25kg，這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果？

分析此題數(shù)量關(guān)系知本題中共涉及五個(gè)量：紙箱質(zhì)量、蘋果個(gè)數(shù)、每個(gè)蘋果的質(zhì)量、蘋果總質(zhì)量、箱子和蘋果總質(zhì)量。這五個(gè)量之間有等量關(guān)系：蘋果總質(zhì)量=每個(gè)蘋果的質(zhì)量×蘋果個(gè)數(shù);有不等關(guān)系：紙箱質(zhì)量+蘋果總質(zhì)量≤10 kg.

說明：在教學(xué)此題時(shí)，由于教者的疏忽把問題中的“這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果？”寫成了“這只紙箱內(nèi)能裝多少個(gè)蘋果？”教學(xué)中，在分析完題中數(shù)量關(guān)系后，具體解答如下：

解：設(shè)這只紙箱內(nèi)能裝x個(gè)蘋果。根據(jù)題意，得： 1+0.25x≤10，解得x≤36。

答：這只紙箱內(nèi)最多能裝36個(gè)蘋果。

二、課堂生成

此時(shí)有學(xué)生提出不同答案，該生說：“答案有36種，是1至36的36個(gè)整數(shù)中任意一個(gè)整數(shù)個(gè)蘋果，而不是只有一種答案36個(gè)。”當(dāng)時(shí)教師正按照自己的預(yù)設(shè)進(jìn)行教學(xué)，該生這么一說教師立刻意識(shí)到是自己把問題中的“最多”兩字漏掉了?！按藛栴}是這只紙箱內(nèi)能裝多少個(gè)蘋果？”沒有“最多”兩字，答案就為不等式解集中所有正整數(shù)中的任意一個(gè)（36種）。

變式1：“一只紙箱質(zhì)量為1kg，當(dāng)放入一些蘋果后，箱子和蘋果的總質(zhì)量為10kg。假設(shè)每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25kg，這只紙箱內(nèi)能裝多少個(gè)蘋果？”通過分析，此題中的有等量關(guān)系：紙箱質(zhì)量+蘋果總質(zhì)量=10 kg。具體解答為：

解：設(shè)這只紙箱內(nèi)能裝x個(gè)蘋果。 根據(jù)題意，得： 1+0.25x=10，解得x=36。

答：這只紙箱內(nèi)能裝36個(gè)蘋果。

把例題中體現(xiàn)不等關(guān)系的詞“不超過”改成“為”，剛才的不等關(guān)系就變成了等量關(guān)系， 36種不同答案就只有一種答案了。

比較例題與變式1，兩題的解題方法不一樣，一個(gè)是列一元一次不等式求解，取的是不等式的特殊解，另一個(gè)是列一元一次方程求解，但最后答案都是36個(gè)。不同的問題，不同的解法，卻得到相同的結(jié)果，自然而然地引發(fā)學(xué)生的思考。

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出不等式是教學(xué)難點(diǎn)，取符合實(shí)際意義的解同樣是教學(xué)難點(diǎn)。因此就此題來進(jìn)行變式訓(xùn)練，形成問題組，使所學(xué)知識(shí)縱向串聯(lián)、橫向并聯(lián)，以達(dá)到融會(huì)貫通，化解難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。正是“一花引來萬花開，一題問出萬題來”。

變式2：“一只紙箱質(zhì)量為1kg，當(dāng)放入一些蘋果后，箱子和蘋果的總質(zhì)量小于10kg.假設(shè)每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25kg，這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果？”此時(shí)將“不超過10kg”改為“小于10kg”其他條件不變，如何求解？分析后解答如下：

解：設(shè)這只紙箱內(nèi)能裝x個(gè)蘋果。根據(jù)題意，得： 1+0.25x<10，解得x<36。

答：這只紙箱內(nèi)最多能裝35個(gè)蘋果。

由于是“小于”，所以列得的不等式應(yīng)是“1+0.25x<10”，根據(jù)實(shí)際意義應(yīng)從不等式解集中取最大的整數(shù)35。依據(jù)實(shí)際意義把解的不確定性轉(zhuǎn)化為確定的值，是一元一次不等式實(shí)際應(yīng)用中解題的又一關(guān)鍵點(diǎn)。

變式3：一只紙箱質(zhì)量為1kg，當(dāng)放入一些蘋果后，箱子和蘋果的總質(zhì)量不小于10kg。假設(shè)每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25kg，這只紙箱內(nèi)至少能裝多少個(gè)蘋果？分析后解答如下：

解：設(shè)這只紙箱內(nèi)能裝x個(gè)蘋果。根據(jù)題意，得： 1+0.25x≥10，解得x≥36。

答：至少能裝36個(gè)蘋果。

教師追問：如果去掉“至少”答案是多少？你對(duì)此時(shí)的解有異議嗎？

學(xué)生：去掉“至少”答案是大于36的任意整數(shù)。因?yàn)橄渥拥娜莘e是有限的，而不可能放下無數(shù)個(gè)的蘋果，所以答案不符合生活中的實(shí)際意義。

三、教學(xué)反思

1.“適時(shí)變式”源于教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的精準(zhǔn)理解

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的載體是教學(xué)內(nèi)容及其由內(nèi)容而反映的思想方法。本節(jié)課由于問題表述的疏忽而出現(xiàn)預(yù)設(shè)與生成的矛盾，由此開展問題變式教學(xué)。生成的教學(xué)內(nèi)容不是教師課前預(yù)設(shè)，但沒有偏離教學(xué)整體目標(biāo)，是圍繞教學(xué)目標(biāo)開展的，由生成而進(jìn)行的教學(xué)，突出教學(xué)重點(diǎn)化解了教學(xué)難點(diǎn)，高效的實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)。課堂上教師的精力放在觀察學(xué)生、傾聽學(xué)生、并與學(xué)生積極互動(dòng)。教師能夠這樣適時(shí)改變問題中體現(xiàn)等量或不等量的關(guān)鍵詞，而列出相應(yīng)的方程或不等式，對(duì)教學(xué)突變情況的機(jī)智處理，源于教師對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的掌握，源于教師豐厚的學(xué)科知識(shí)底蘊(yùn)、對(duì)教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)確的理解、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含內(nèi)在聯(lián)系的深入挖掘。

2.順勢引思凸顯教師的課堂教學(xué)智慧

教學(xué)有法但無定法，教學(xué)有法說明教學(xué)是科學(xué)，有普遍適應(yīng)的基本規(guī)律，教無定法，是教學(xué)中表現(xiàn)的那些“可以意會(huì)，不可言傳”的成分，這就是教師的教學(xué)智慧和行為習(xí)慣。教為學(xué)服務(wù)是新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的要求，機(jī)智的處理課堂生成折射著教師教學(xué)智慧。想方設(shè)法挖掘?qū)W生的體驗(yàn)，從學(xué)生的想法中發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)他們深入思考的契機(jī)，回歸數(shù)學(xué)思維，才能實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的和諧統(tǒng)一。重視學(xué)生的課堂感受，把握課堂學(xué)生思維節(jié)奏，激發(fā)學(xué)生的思維落到實(shí)處。課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的發(fā)展過程，無論課前預(yù)設(shè)的多么充分，還是不可避免的會(huì)出現(xiàn)課堂的各種節(jié)外生枝。面對(duì)課堂生成，教師的及時(shí)把握，因勢利導(dǎo)，做到預(yù)設(shè)與生成同屏共重，達(dá)到問題與思維共振之效，以達(dá)到培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的。

（作者單位：江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）