培養(yǎng)學(xué)生解題能力的思考

梅堅(jiān)強(qiáng)

[摘 ?要] 學(xué)習(xí)過程是學(xué)習(xí)者在原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上所產(chǎn)生、進(jìn)行的一個(gè)過程，學(xué)習(xí)者必須結(jié)合已有的相關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)才能建立新的認(rèn)知和理解并提升解題能力. 教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的有意義學(xué)習(xí)并使學(xué)生在已有知識(shí)與能力的基礎(chǔ)上不斷獲得解題能力的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;有意義學(xué)習(xí);學(xué)習(xí)過程

有意義的學(xué)習(xí)這一現(xiàn)代認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)理論是美國(guó)心理學(xué)家奧蘇泊爾所提出的，他一直認(rèn)為學(xué)習(xí)過程是學(xué)習(xí)者在原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上所產(chǎn)生、進(jìn)行的一個(gè)過程，學(xué)習(xí)者必須結(jié)合已有的相關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)才能對(duì)新的概念、規(guī)則、命題、問題建立認(rèn)知和理解. 他認(rèn)為學(xué)習(xí)者循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)能力在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上也是螺旋上升、逐步提升的，這需要學(xué)習(xí)者具備一定的認(rèn)知與理解的基礎(chǔ).事實(shí)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠認(rèn)識(shí)、理解新的概念、規(guī)則和命題正意味著其能力的突破，這是一種具體的體現(xiàn).

每個(gè)教師在實(shí)際教學(xué)中均會(huì)追求提升學(xué)生解題能力這一目標(biāo)，這在教學(xué)環(huán)節(jié)中也是最為重要的一環(huán). 很多數(shù)學(xué)教師在高考政策下依舊在教學(xué)中重復(fù)著機(jī)械而強(qiáng)化的訓(xùn)練，但現(xiàn)實(shí)是，這種機(jī)械、重復(fù)、強(qiáng)化的訓(xùn)練并沒有對(duì)學(xué)生解題能力的提升起到積極的作用，學(xué)生的創(chuàng)造力與好奇心卻因此遭到了巨大的打擊和泯滅. 應(yīng)試教育在很多教師心目中仍舊占據(jù)著極其重要的地位，很多教師將有效提升課堂教學(xué)效率置于理論研究的范疇中，這部分教師在實(shí)際教學(xué)中很少關(guān)注學(xué)生知識(shí)的形成過程，高付出與低產(chǎn)出仍舊是這部分教師數(shù)學(xué)教學(xué)的一大特色，這都是極少關(guān)注學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)而導(dǎo)致的.

現(xiàn)在數(shù)學(xué)高考主要是針對(duì)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用上的考查，這是針對(duì)考查學(xué)生能力而設(shè)計(jì)的. 學(xué)生在缺乏數(shù)學(xué)思想的前提下解題，往往無法對(duì)知識(shí)的整體性等問題進(jìn)行全面的考慮，解題缺陷自然會(huì)表現(xiàn)得更加明顯. 因此，關(guān)注學(xué)生的有意義學(xué)習(xí)、關(guān)注學(xué)生知識(shí)形成的過程、關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思想形成是教學(xué)中不可缺少的，只有這樣，學(xué)生才能在高度緊張的環(huán)境中獲得高考的成功.

備好學(xué)生這一關(guān)是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)的第一關(guān). 了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況、心理特征以及思維差異性等方面，能使教師制定出更為明確且具針對(duì)性的教學(xué)目標(biāo). 另外，教師在實(shí)際教學(xué)中還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)問題中回歸基本的思維特征并對(duì)問題之間的聯(lián)系進(jìn)行分析，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)探尋解決問題的辦法. 教師長(zhǎng)期平衡好兩者之間的關(guān)系能有效幫助學(xué)生的知識(shí)水平、解題能力獲得有力的提升.

例1：如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠ABC為直角，AB=4，BC=3，BD為斜邊AC上的高，試求BD的長(zhǎng).

這是一道學(xué)生學(xué)習(xí)過解三角形后基本都會(huì)解決的簡(jiǎn)單題，解法也不止一種，解法之一如下：

因?yàn)镾△ABC= AB·BC，又S△ABC= BD·AC，所以BD= .

因?yàn)锳B=4，BC=3，所以AC= =5，所以S△ABC= .

運(yùn)用不同方法表示三角形的面積并建立等量關(guān)系是解決本題的基本思路，在這一等量關(guān)系中，未知量以外的其他量都是已知或比較容易求出的，因此未知量也極易求得. 這種平面幾何中的基本思路在立體幾何的相關(guān)問題中一樣適用.

例2：如圖2，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求證：PC⊥BC;

（2）點(diǎn)A至平面PBC的距離為多少？

解：（1）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC？奐平面ABCD，因此PD⊥BC.

由∠BCD=90°，得CD⊥BC.

又PD∩DC=D，PD，DC？奐平面PCD，因此BC⊥平面PCD.

因?yàn)镻C？奐平面PCD，故PC⊥BC.

（2）聯(lián)想體積法解題. 連結(jié)AC. 設(shè)點(diǎn)A至平面PBC的距離是h. 因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=90°，因此∠ABC=90°. 由AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1.

由PD⊥平面ABCD及PD=1，可得三棱錐P-ABC的體積V= S△ABC·PD= .

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC？奐平面ABCD，所以PD⊥DC.

又PD=DC=1，因此PC= = . 由PC⊥BC，BC=1，可得△PBC的面積S△PBC= . 由VA-PBC=VP-ABC， S△PBC·h=V= ，可得h= ，則點(diǎn)A至平面PBC的距離為 .

點(diǎn)到直線的距離這一類問題在最近幾年的高考中是一個(gè)考點(diǎn). 教師應(yīng)對(duì)此類問題的解題思路與方法進(jìn)行總結(jié)并及時(shí)發(fā)現(xiàn)這一解題思路在幾何范疇內(nèi)的可行性. 當(dāng)然，點(diǎn)到平面距離的此類問題的解法不止一種，下述解法一樣可行.

分別取AB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF，可得DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D，E至平面PBC的距離相等. 又點(diǎn)A至平面PBC的距離等于點(diǎn)E至平面PBC的距離的2倍.由（1）知：BC⊥平面PCD，因此平面PBC⊥平面PCD，交線是PC. 因?yàn)镻D=DC，PF=FC，因此DF⊥PC，因此DF⊥平面PBC于點(diǎn)F. 易得DF= ，故點(diǎn)A至平面PBC的距離為 .

第一種解法在解決有些問題時(shí)并不是最為簡(jiǎn)捷的，但學(xué)生如果能夠?qū)ζ渲械慕忸}思路形成透徹的理解與掌握，則該解題思路在運(yùn)用上的范圍將會(huì)更加廣泛，解題過程也會(huì)更為自然和流暢. 學(xué)生對(duì)于這種自身原有知識(shí)水平上所提煉出的解題思想并不會(huì)感覺高深莫測(cè)，因此，教師可以首先幫助學(xué)生在部分練習(xí)中對(duì)這一解題思路進(jìn)行理解與掌握. 在學(xué)生對(duì)這一解題思路獲得理解之后就不用大費(fèi)周章了，盡量避免學(xué)生在重復(fù)、機(jī)械的訓(xùn)練中喪失處理問題的能力，上課的效率也因此大大提升.

教學(xué)的有效時(shí)間對(duì)于學(xué)生能力的提升鍛煉有著積極的影響作用，在同等時(shí)間內(nèi)幫助學(xué)生掌握知識(shí)的多少是教學(xué)有效性真實(shí)而具體的體現(xiàn). 課堂教學(xué)成功與否的一個(gè)重要標(biāo)志就是學(xué)生的主體參與，但受到問題情境的創(chuàng)設(shè)、教師教學(xué)的主導(dǎo)等因素重大影響的學(xué)生主體參與是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，因此，教師在課前就應(yīng)該對(duì)各種可利用的生成性資源進(jìn)行預(yù)估，對(duì)整個(gè)教學(xué)過程進(jìn)行整體的把握并引導(dǎo)學(xué)生在主體學(xué)習(xí)中達(dá)成教學(xué)的目標(biāo). 比如，教師在數(shù)列的復(fù)習(xí)教學(xué)中可以對(duì)一些復(fù)雜問題進(jìn)行預(yù)設(shè)，以最貼近學(xué)生理解的方式幫助學(xué)生更好地參與課堂并令其解題能力得到發(fā)展.

例3：數(shù)列{an}中，已知a1=a，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1=pan+q，其中p，q為常數(shù)，且p≠1，試求{an}的通項(xiàng)公式.

直接讓學(xué)生解決這一問題顯然不會(huì)順利，很多學(xué)生甚至因?yàn)榇祟}太難而直接放棄思考，解題的積極性自然不會(huì)很高. 教師此時(shí)可以進(jìn)行如下教學(xué)以幫助學(xué)生更好地參與到課堂中來，使學(xué)生的思考由淺入深并順利實(shí)現(xiàn)解題.

問題1：已知a1=1，an+1=2an+1（n≥1），試求其通項(xiàng)公式.

問題2：已知a1=1，an+1=2an+3（n≥1），試求其通項(xiàng)公式.

問題3：已知a1=1，an+1=2an+q（n≥1），q是常數(shù)，試求其通項(xiàng)公式.

問題4：已知a1=1，an+1=3an+1（n≥1），試求其通項(xiàng)公式.

問題5：已知a1=a，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1=pan+q，其中p，q是常數(shù)，且p≠1，試求其通項(xiàng)公式.

學(xué)生在問題1～4的思考后基本能夠獨(dú)立解決問題5，教師在具體教學(xué)中可以花費(fèi)較多的時(shí)間來解決問題1，然后引導(dǎo)學(xué)生在問題2～4的探索中表達(dá)出具體的解題思路，最后引導(dǎo)學(xué)生在教師的簡(jiǎn)單小結(jié)后板書解題過程. 這種能夠有效規(guī)范解題步驟的教學(xué)能更好地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握情況.

上述能夠考慮學(xué)生實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)很好地考慮到了學(xué)生的主體作用，以學(xué)生已有的知識(shí)為背景并引導(dǎo)學(xué)生按步驟解題的教學(xué)也保障了課堂的有效性. 學(xué)生在獲得解題自信的同時(shí)也會(huì)更好地養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣并獲得思維能力的發(fā)展.

教師的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的解題能力有著直接的影響，以學(xué)生已有的知識(shí)為背景進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施能夠更好地幫助學(xué)生提升解題能力. 教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)不斷加強(qiáng)新舊知識(shí)聯(lián)系的教學(xué)并使學(xué)生能夠充分感受到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系并幫助學(xué)生更好地構(gòu)建、完善新的知識(shí)結(jié)構(gòu).