從學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成

陳曉波

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決以及論證思路的形成、邏輯推理的進(jìn)行、抽象結(jié)構(gòu)的構(gòu)建都需要直觀想象這一能力的支撐，教師在具體教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)并因此使得學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到大力發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 直觀想象能力;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);變式;反思

問(wèn)題的提出

利用圖形理解、解決問(wèn)題的直觀想象是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要素養(yǎng)，很多學(xué)生因?yàn)橹R(shí)面狹窄、知識(shí)儲(chǔ)備量薄弱、運(yùn)用能力低下等原因而在直觀想象上表現(xiàn)一般. 鮑建生教授曾經(jīng)明確介紹過(guò)直觀想象這一核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，具體表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)：（1）借助圖形對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題加以描述;（2）借助圖形對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題加以理解;（3）借助圖形對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索與解決;（4）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

史寧中教授一直持?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)形成依賴于直觀、數(shù)學(xué)知識(shí)的確定依賴于推理這一觀點(diǎn)，由此可見(jiàn)，很多數(shù)學(xué)結(jié)果都是“看”出來(lái)的，此處的“看”即為直覺(jué)判斷.這種建立在長(zhǎng)期有效的觀察與思考基礎(chǔ)上的能力也就是我們所說(shuō)的直觀能力[1]. 雖說(shuō)直觀能力有先天的因素，但其養(yǎng)成卻必須借助一定的經(jīng)驗(yàn)才能實(shí)現(xiàn). 因此，也有很多專家與學(xué)者秉持直觀能力是自己“捂”出來(lái)的這一觀點(diǎn). 這些觀點(diǎn)對(duì)于高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來(lái)說(shuō)極具意義，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中要注意典型數(shù)學(xué)內(nèi)容的選擇并創(chuàng)設(shè)科學(xué)合適的探討情景，引導(dǎo)學(xué)生在充分的觀察與思考中積累直觀想象的經(jīng)驗(yàn). 筆者借助教學(xué)實(shí)踐片段在學(xué)生直觀想象能力的養(yǎng)成上做一點(diǎn)淺要的思考.

教學(xué)片段

例題：已知函數(shù)f（x）=x+1-2x-3，求不等式f（x）>1的解集.

師：這是一道經(jīng)過(guò)改編的高考題，大家從直觀上來(lái)感受一下這道題所包含的知識(shí)點(diǎn)有哪些呢？大家以為應(yīng)該如何解決此題呢？

生1：函數(shù)f（x）含有兩個(gè)絕對(duì)值，我們所要求解的不等式中含有三個(gè)絕對(duì)值，因此，我覺(jué)得可以把f（x）化成以下分段函數(shù)并進(jìn)行分類討論來(lái)解題.

師（評(píng)論）：這是一種把絕對(duì)值轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)并借助函數(shù)圖像進(jìn)行分類討論解題的巧妙方法，函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等都在這一解題方法中得到了體現(xiàn)，零點(diǎn)問(wèn)題、穿針?lè)?、分段函?shù)、作函數(shù)圖像、解絕對(duì)值不等式等諸多知識(shí)點(diǎn)也都在這一巧妙解法中得到了充分的運(yùn)用.

師：大家可有其他解法呢？

生2：可以先找零點(diǎn)再分類討論. 因?yàn)?1， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以可做以下討論來(lái)解題.當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x+1-2x-3=x-4. 因?yàn)閒（x）>1，因此x-4>1，解得x>5或x<3，因此x≤-1. 當(dāng)-11，因此3x-2>1，解得x>1或x< ，因此-11，因此4-x>1，解得x>5或x<3，因此 ≤x<3或x>5. 綜上所述，x< ，15. 因此不等式的解集為xx< ，15.

師（評(píng)論）：這是一種利用函數(shù)零點(diǎn)來(lái)分類討論解題的方法，函數(shù)零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化與化歸等知識(shí)點(diǎn)在解題中都有涉及，通過(guò)零點(diǎn)去絕對(duì)值并將其轉(zhuǎn)化為我們相對(duì)熟悉的函數(shù)形式這一解法其實(shí)也是在劃分區(qū)間，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)之后來(lái)逐個(gè)討論，事實(shí)上，我們還可以將分段函數(shù)的圖像畫出來(lái)并利用分段討論來(lái)解題. 生1、生2的解題方法以及畫圖像后進(jìn)行分段討論這三種解法的核心都是把絕對(duì)值轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，這三種解法可以說(shuō)是有異曲同工之妙的.

師（推進(jìn)）：假如此題出現(xiàn)在我們同學(xué)的考試中，大家以為自己的解題最有可能在哪些環(huán)節(jié)上會(huì)被扣分呢？

生3：我解題可能會(huì)漏了某個(gè)區(qū)間或區(qū)間端點(diǎn)，還有就是可能會(huì)解題不規(guī)范而導(dǎo)致扣分.

師（繼續(xù)推進(jìn)）：大家在解決此題之后，有沒(méi)有想過(guò)其中的“-”如果變成“+”又該如何求解呢？

變式1：已知函數(shù)f（x）=x- +x+ ，M是不等式f（x）<2的解集. （1）求M;（2）略.

師：之前解題中運(yùn)用的三種解法也都適用于此題的求解，大家可以逐步去掉絕對(duì)值，分x≤- ，-

師（再推進(jìn)）：大家可以闡述函數(shù)解析式所具備的幾何意義嗎？

生4：f（x）可以看成為點(diǎn)P（x，0）到A- ，0與B ，0的距離.

師（繼續(xù)推進(jìn)）：很好，現(xiàn)在我們已經(jīng)解決了含有兩個(gè)無(wú)參數(shù)絕對(duì)值的函數(shù)解析式，對(duì)于含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式我們又應(yīng)該如何來(lái)處理呢？

變式2：已知函數(shù)f（x）=x+1-2x-a，a>0，求不等式f（x）>1的解集.

試題分析：借助零點(diǎn)分析法把不等式f（x）>1轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組來(lái)解得此題.

根據(jù)函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)-1與a（a>0）分成三個(gè)區(qū)間，結(jié)合題意并列出關(guān)于x的不等式并求得x的取值范圍.

試題分析：因?yàn)?1與a（a>0）是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以可做以下討論：當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x+1-2x-a=x-2a-1. 因?yàn)閒（x）>1，所以x>2a+2，不等式無(wú)解. 當(dāng)-11，所以x> a，所以 aa時(shí)，f（x）=-x+2a+1. 因?yàn)閒（x）>1，所以x<2a，因此a0？搖.

討論到這一階段，還會(huì)有學(xué)生對(duì)含參數(shù)不等式的知識(shí)運(yùn)用不夠嫻熟，因此可以在以上三題的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行以下變式以幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)與方法.

變式3：已知函數(shù)f（x）=ax+1-2x-1，a>0，求關(guān)于x的不等式f（x）>1的解集;

變式4：已知函數(shù)f（x）=x+1-2ax-1，a>0，求關(guān)于x的不等式f（x）>1的解集;

變式5：已知函數(shù)f（x）=x+1+2x-a，a>0，求關(guān)于x的不等式f（x）<1的解集;

變式6：已知函數(shù)f（x）=ax+1+2x-1，a>0，求關(guān)于x的不等式f（x）<1的解集;

變式7：已知函數(shù)f（x）=x+1+2ax-1，a>0，求關(guān)于x的不等式f（x）<1的解集.

師：以上五個(gè)變式是在變式2的基礎(chǔ)上演變得來(lái)的，題中的函數(shù)包含了兩個(gè)絕對(duì)值的和與差，題目所求都是解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式f（x）>1和f（x）<1.

教學(xué)反思

利用學(xué)生的直觀想象來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是本堂課的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)從求絕對(duì)值不等式f（x）=x+1？搖-2x-3？搖>1的解集出發(fā)，聯(lián)想到求含參數(shù)絕對(duì)值不等式f（x）=x+1-2x-a>1，a>0的解集，并最終拓展獲得另外五個(gè)變式，題目的內(nèi)涵也在各個(gè)不同的變式中得到了充分的挖掘，學(xué)生的直觀想象能力得到不斷鍛煉與提升的同時(shí)也令其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了發(fā)展. 教師運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行變式并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法、思想進(jìn)行掌握、運(yùn)用和內(nèi)化，使學(xué)生在不同的問(wèn)題中經(jīng)歷各種不同角度的思考并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想對(duì)問(wèn)題展開分析，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、思維習(xí)慣與品質(zhì)的養(yǎng)成、提升和發(fā)展.

數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決以及論證思路的形成、邏輯推理的進(jìn)行、抽象結(jié)構(gòu)的構(gòu)建都需要直觀想象這一能力的支撐，教師在具體教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)并因此使得學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到大力發(fā)展，使學(xué)生能夠在感悟事物本質(zhì)的過(guò)程中獲得更多的數(shù)學(xué)思考與領(lǐng)悟.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?王宏賓，羅增儒. 例談解題回顧的意義[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（5）：3-6.