核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)

魯建橋

[摘 ?要] 在今天的核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學(xué)建模依然有著重要的地位. 已經(jīng)公布的高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，數(shù)學(xué)建模列數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理之后，成為體現(xiàn)承上啟下作用的關(guān)鍵要素之一. 在核心素養(yǎng)的背景下認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)建模，需要堅(jiān)持歷史認(rèn)識(shí)與現(xiàn)代定位. 數(shù)學(xué)建模并不是一個(gè)孤立的過程，其需要數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析的參與，數(shù)學(xué)建模在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，確實(shí)起著牽一發(fā)而動(dòng)全身的作用. 學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，一個(gè)重要的基礎(chǔ)就是其中有形象的思維對(duì)象，這是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)建模需要教師自身在知識(shí)結(jié)構(gòu)與情感態(tài)度與價(jià)值觀上做出積極的改變.?

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);建模教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)優(yōu)秀傳統(tǒng). 大概在三十多年前，我國(guó)基礎(chǔ)教育界曾經(jīng)有一次關(guān)于學(xué)科建模的系統(tǒng)研究與成果總結(jié)，其中數(shù)學(xué)建模起著重要的基礎(chǔ)作用和引導(dǎo)作用. 其后無(wú)論是在課程改革的過程中，還是在今天的核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學(xué)建模依然有著重要的地位. 已經(jīng)公布的高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，數(shù)學(xué)建模列數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理之后，成為體現(xiàn)承上啟下作用的關(guān)鍵要素之一. 既然高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)已經(jīng)邁向核心素養(yǎng)時(shí)代，那我們要思考的基礎(chǔ)性問題之一，就是在核心素養(yǎng)背景下如何實(shí)施有效的建模教學(xué). 對(duì)于這個(gè)問題的思考與回答，筆者以為，既需要繼承傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)，同時(shí)也需要有一些創(chuàng)新的認(rèn)識(shí)，只有這樣才能將傳統(tǒng)繼承與現(xiàn)代創(chuàng)新較好地結(jié)合起來(lái)，以讓高中數(shù)學(xué)建模在核心素養(yǎng)背景下依然能夠呈現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力.

核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

在核心素養(yǎng)的背景下認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)建模，需要堅(jiān)持歷史認(rèn)識(shí)與現(xiàn)代定位. 關(guān)于數(shù)學(xué)建模，目前公認(rèn)的認(rèn)識(shí)是數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)活動(dòng)，而建模活動(dòng)又是一項(xiàng)創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，在建模活動(dòng)的過程中能有效地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立、自覺運(yùn)用所學(xué)理論知識(shí)，探索解決問題的最優(yōu)策略. 在構(gòu)建模型、解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能訓(xùn)練得到加強(qiáng)，運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間觀念等能力能夠得到提高，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)能夠得到逐步增強(qiáng)[1]. 實(shí)際上，從數(shù)學(xué)教學(xué)開始的那一天起，數(shù)學(xué)建模就已經(jīng)種下了種子并開始發(fā)芽，而學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的那一天開始，數(shù)學(xué)建模也就已經(jīng)進(jìn)入了他們的思維，成為他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方式.

就拿高中數(shù)學(xué)中的“平面與平面平行的判定”教學(xué)來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)教學(xué)中通常有這樣一些基本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)：一是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活當(dāng)中存在的諸多的平面與平面平行的例子;二是讓學(xué)生對(duì)這些例子進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象;三是基于數(shù)學(xué)抽象的過程形成數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)模型. 在這樣的過程中，盡管數(shù)學(xué)建模的過程常常以隱性的形式存在，但是不可否認(rèn)的是，數(shù)學(xué)建模的過程是存在的，這也說(shuō)明數(shù)學(xué)建模是傳統(tǒng)教學(xué)的一個(gè)基本途徑.

今天我們?cè)诤诵乃仞B(yǎng)的背景下再來(lái)理解數(shù)學(xué)建模及其教學(xué). 筆者以為，要將更多的存在于教師的教學(xué)思路當(dāng)中且在課堂上以隱性形式存在的數(shù)學(xué)建模，變成存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)思路當(dāng)中且在課堂上以顯現(xiàn)形式存在的數(shù)學(xué)建模. 這就意味著對(duì)于學(xué)生而言，在課堂上要學(xué)習(xí)的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還有數(shù)學(xué)建模這一重要的思想方法. 當(dāng)然我們也知道，數(shù)學(xué)建模并不是一個(gè)孤立的過程，其需要前期數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的參與，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，這樣才能形成較準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型. 對(duì)于一些需要運(yùn)算參與的模型（如函數(shù)模型等）形成過程而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析也是必不可少的. 如此一理解，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，確實(shí)起著牽一發(fā)而動(dòng)全身的作用，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素，可以說(shuō)都是圍繞著數(shù)學(xué)建模而進(jìn)行的，當(dāng)然數(shù)學(xué)建模反過來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素也起著促進(jìn)或者引領(lǐng)作用. 從這個(gè)角度講，只要數(shù)學(xué)建模教學(xué)抓好、抓實(shí)，那核心素養(yǎng)的落地就有了保證.

核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵

由于傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)一直重視建?；顒?dòng)，因此在核心素養(yǎng)背景下研究數(shù)學(xué)建模教學(xué)，要抓住關(guān)鍵. 而抓住關(guān)鍵的過程，常常也是難點(diǎn)突破的過程，如果說(shuō)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的難點(diǎn)是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)[2]，突破了數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，也就實(shí)現(xiàn)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，那數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵又是什么呢？對(duì)于這個(gè)問題，我們?nèi)匀豢梢砸浴捌矫媾c平面的平行判定”這個(gè)例子來(lái)進(jìn)行分析. 在教學(xué)的過程中我們發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在形成平面與平面平行的表象時(shí)會(huì)出現(xiàn)困難，而進(jìn)一步分析之后，筆者發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生在建立平面與平面平行的模型時(shí)，走了彎路：他們思維所加工的對(duì)象居然就是問題本身，數(shù)個(gè)學(xué)生都說(shuō)無(wú)法根據(jù)“平面與平面平行”的表述，清晰地想象出平面與平面平行是什么樣子. 而無(wú)論是另外一部分已經(jīng)順利地建構(gòu)出平面與平面平行表象的學(xué)生而言，還是筆者所預(yù)設(shè)的學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，都是建立在學(xué)生能夠從生活實(shí)例基礎(chǔ)上抽象出平面與平面平行的認(rèn)識(shí)之上的. 筆者預(yù)設(shè)的最簡(jiǎn)單的情形，也是學(xué)生能夠想象兩片紙（比如一本平放著書的前后兩個(gè)封面）之間的關(guān)系，然后形成平面與平面平行的認(rèn)識(shí). 這樣一個(gè)看似匪夷所思的情形，實(shí)際上在好多知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)過程中，在相當(dāng)一部分學(xué)生的身上都會(huì)出現(xiàn).

由此我們也應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，一個(gè)重要的基礎(chǔ)就是其中有形象的思維對(duì)象. 尤其是在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，無(wú)論是平面幾何的點(diǎn)、線、面，還是立體幾何中的線、面、體，多借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具，多取生活中的實(shí)例，尤其是培養(yǎng)學(xué)生利用實(shí)際物體建立數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的習(xí)慣，顯得非常重要. 這可謂是數(shù)學(xué)建模的重要基礎(chǔ). 關(guān)于這一點(diǎn)，相信同行們易于理解，在此不再贅述.

需要重視的是另外一種情形，那就是高中數(shù)學(xué)中有相當(dāng)一部分知識(shí)在生活中是無(wú)法尋找到原型的，比如函數(shù)，這個(gè)時(shí)候模型的建立就需要另辟蹊徑. 比如在“函數(shù)的單調(diào)性”這一知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們就注意到好多學(xué)生對(duì)這一知識(shí)的理解會(huì)出現(xiàn)不同程度的困難，這種困難的根源就在于學(xué)生大腦當(dāng)中沒有一個(gè)清晰的，與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的基本模型. 而之所以出現(xiàn)這種情況，恰恰是因?yàn)閿?shù)學(xué)教師常常感覺函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)比較簡(jiǎn)單，建立函數(shù)單調(diào)性認(rèn)識(shí)的時(shí)候往往就是過程短暫，學(xué)生沒有足夠的加工時(shí)間與空間. 針對(duì)這一不足，筆者在教學(xué)中進(jìn)行了這樣一些努力：

首先，給學(xué)生提供生活中的相關(guān)數(shù)據(jù)，如某地區(qū)某一天的氣溫隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)，讓學(xué)生去做出函數(shù)圖像. 要注意的是，這里筆者不是直接提供圖像，而是讓學(xué)生自己去作圖. 作圖本身并不困難，根據(jù)數(shù)據(jù)用描點(diǎn)法即可，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷作圖這么一個(gè)過程，感受該地區(qū)的氣溫隨時(shí)間的變化并非線性的，而是有“轉(zhuǎn)折”（學(xué)生描述的用詞）的. 這里所形成的認(rèn)識(shí)，是下一步建立函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ).

其次，讓學(xué)生通過小組合作或者組間合作，去交流自己的發(fā)現(xiàn). 如果不出意外的話，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)也就會(huì)自然集中在函數(shù)圖像的“轉(zhuǎn)折”上. “轉(zhuǎn)折意味著什么”“如果要描述一天當(dāng)中氣溫隨著時(shí)間的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)怎樣描述”……當(dāng)學(xué)生形成這些問題的時(shí)候，就是函數(shù)單調(diào)性模型近乎成立的時(shí)候.

再次，教師給予學(xué)生的問題，對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行分段解析，而分段之后，函數(shù)就在某個(gè)“范圍”（對(duì)應(yīng)著函數(shù)單調(diào)性模型中的“區(qū)間”）內(nèi)，呈現(xiàn)出單一變化的特征（對(duì)應(yīng)著函數(shù)單調(diào)性模型中的“單調(diào)增”或者“單調(diào)減”）. 而有了這樣的分析，就意味著學(xué)生在大腦當(dāng)中對(duì)函數(shù)的圖像進(jìn)行了高效的精加工. 正是這樣一個(gè)精加工的過程，使得學(xué)生通過邏輯推理以及直觀想象，形成了關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)，也就意味著該數(shù)學(xué)模型的初步形成. 如果教師在此之后，再通過一些變式問題的提出，以促進(jìn)學(xué)生在大腦當(dāng)中即時(shí)形成相應(yīng)的單調(diào)增或者單調(diào)減的表象，那這個(gè)數(shù)學(xué)模型也就愈加鞏固了.

由此可見，對(duì)于生活中缺乏原型的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，數(shù)學(xué)建模的過程主要依靠學(xué)生的思維（主要是邏輯推理的思維）與想象（主要是直觀想象），當(dāng)然也常常包括數(shù)學(xué)運(yùn)算或者數(shù)據(jù)分析等. 總的來(lái)說(shuō)，有了這樣一個(gè)過程，數(shù)學(xué)建模也就驅(qū)動(dòng)了核心素養(yǎng)的落地.

核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)建模的保障

在研究中我們還發(fā)現(xiàn)，教師自身的因素對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的過程有著重要的影響. 其實(shí)也早有同行通過研究發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中教師的問題有兩個(gè)層面：一是知識(shí)結(jié)構(gòu)層面;二是情感、態(tài)度和價(jià)值觀層面[3]. 既然稱之為問題，也就意味著教師在這兩個(gè)層面有所不足.

也因此我們應(yīng)當(dāng)提醒自己：一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)不斷地更新自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，盡快接受并理解核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表述與內(nèi)涵，重點(diǎn)思考數(shù)學(xué)建模在其中的作用. 同時(shí)應(yīng)當(dāng)將研究的視角轉(zhuǎn)向?qū)W生，思考如何以自己積極的情感態(tài)度與價(jià)值觀，以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與自己的教學(xué)研究過程發(fā)生共振，只有達(dá)到這樣的效果，才能在一個(gè)和諧的氛圍中，完成數(shù)學(xué)建模的過程，從而為核心素養(yǎng)的落地提供有力的保障.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?彭慧. 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之建模能力的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（06）.

[2] ?趙亮. 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之“數(shù)學(xué)模型”能力培養(yǎng)案例探析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)， 2018（05）.

[3] ?劉衛(wèi)鋒，何霞，王尚志. 高中數(shù)學(xué)建模中教師問題初探[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（10）.