兩類(lèi)代數(shù)的整體維數(shù)

楊佳佳，章 超

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

本文中，k是代數(shù)閉域，k-代數(shù)A是有限維代數(shù)，mod-A表示代數(shù)A決定的右A-有限生成模范疇。在代數(shù)表示論中，整體維數(shù)作為重要的同調(diào)不變量之一，得到了深入研究。1987年，Schelter就利用整體維數(shù)對(duì)一些代數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)，證明了整體維數(shù)為3的正則代數(shù)共分為13類(lèi)[1]。1945年，Hochschild就提出Hochschild(上)同調(diào)的概念，顯然，代數(shù)A的整體維數(shù)有限，則其高次Hochschild上同調(diào)是平凡的。Happle基于這一事實(shí)，考慮此結(jié)果的逆命題，即所謂的Happle問(wèn)題。Happle問(wèn)題對(duì)許多代數(shù)成立，如交換代數(shù)[2]，單項(xiàng)式代數(shù)[3]。后來(lái)，韓陽(yáng)研究員又提出了基于同調(diào)維數(shù)與整體維數(shù)的Han猜想[3]。由此可見(jiàn)，整體維數(shù)與代數(shù)的性質(zhì)有密切聯(lián)系。

2010年，Poettering討論路代數(shù)kQ在不同允許理想I下的整體維數(shù)，對(duì)兩類(lèi)重要的代數(shù)(Poettering分別將之稱(chēng)為Am型代數(shù)和Xm型代數(shù))作出討論，證明了在特定的允許理想I下，代數(shù)kQ/I的整體維數(shù)取決于m；當(dāng)Q包含定向圈時(shí)，g.l.dim(kQ/I)=[4]。后來(lái)，Happle和Zacharia針對(duì)此問(wèn)題也進(jìn)行了研究，進(jìn)一步地定義了集合A(Q)={kQ/I| dimk(kQ/I)<且g.l.dim(kQ/I)<}，并考慮sup{dimk(kQ/I)|kQ/I∈A(Q)}與sup{g.l.dim(kQ/I)|kQ/I∈A(Q)}之間的關(guān)系[5]。

1 代數(shù)整體維數(shù)

考慮文章的完整性，本節(jié)將給出代數(shù)整體維數(shù)的定義，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[6]。

定義1.1設(shè)M是任意的右kQ/I-模，稱(chēng)模M的投射分解是形如這樣的一條正和列P?=…→Pl→Pl-1→…→P1→P0→M→0，其中對(duì)于任意i≥0，Pi是投射模。

定義1.2對(duì)于上述定義模M的投射分解P?，若對(duì)于任意i≥l+1，Pi=0，同時(shí)對(duì)于0≤j≤l，Pj≠0，則稱(chēng)l是模M的投射長(zhǎng)度，記作l(P?)=l。特別地，M的投射維數(shù)取M的所有投射分解長(zhǎng)度的下確界infl(P?)，記作p.dim(M)。此外，代數(shù)kQ/I的整體維數(shù)g.l.dim(kQ/I)=max{p.dim(M)|M是右-kQ/I模}。

下面的定理來(lái)自于文獻(xiàn)[6]定理4.8，通過(guò)定理可以簡(jiǎn)便地計(jì)算代數(shù)kQ/I的整體維數(shù)。

定理2.1如果kQ/I是有限維k-代數(shù)，則

g.l.dim(kQ/I)=max{p.dim(S)|S是單右-kQ/I模}。

2 An型k-代數(shù)的整體維數(shù)

本節(jié)將討論箭圖為An型代數(shù)kQ/I的整體維數(shù)和理想I之間的聯(lián)系。方便起見(jiàn)，關(guān)系p=αiαi+1…αj-1記作[i,j]，其中i

定義2.1對(duì)任意關(guān)系[i,j]與[r,s]，其中i

定義2.2設(shè)允許理想I=〈ps=[is,js]|s=1,…,n〉，如果允許理想I中的m個(gè)生成元ps,…,ps+m-1滿足對(duì)任意正整數(shù)t∈{s,…,s+m-2}，pt,pt+1相交且對(duì)任意正整數(shù)l≠t-1,t,t+1，pt,pl不相交，則稱(chēng)這m個(gè)關(guān)系有效相交。理想I的有效相交關(guān)系數(shù)是滿足有效相交關(guān)系的最大個(gè)數(shù)，記作N。

定理 2.1設(shè)kQ/I是An型k-代數(shù)，其中允許理想I=〈ps=[is,js]|s=1,…,n〉，則代數(shù)kQ/I的整體維數(shù)為N+1，其中N是理想I的有效相交關(guān)系數(shù)。

證明：不妨假設(shè)關(guān)系pa,pa+1,…,pb的有效相交關(guān)系數(shù)為N，則存在下列不等式

ia

則對(duì)任意mod-kQ/I中單模S(ir)，其中r∈N且a≤r≤b，極小投射分解形如

0→P(jb)→P(jb-1)→…→P(jr+1)→P(jr)→P(ir+1)→P(ir)→s(ir)→0，

于是p.dim(S(ir))=b-r+2≤N+1。特別地，當(dāng)r=a時(shí)，等號(hào)成立。

若存在其他的有效相交關(guān)系pu,pu+1,…,pv，對(duì)于單模S(it)，其中t∈N且u≤t≤v，p.dim(S(it))=v-t+2≤N+1。特別地，若關(guān)系pu,pu+1,…,pv的有效相交關(guān)系等于N，此時(shí)當(dāng)t=u時(shí)，等號(hào)成立。

對(duì)于其余單模S(i)，其中i∈Q0{ir|r∈N,1≤r≤n}，極小投射分解形如

0→P(i+1)→P(i)→s(i)→0，

可知p.dim(S(i))=1。

綜上所述，

根據(jù)定理2.1，顯然有以下結(jié)論。

推論2.1設(shè)kQ/I是An型k-代數(shù)，其中I=〈ps=[is,js]|s=1,…,n〉是允許理想。對(duì)任意正整數(shù)s∈{1,…,n-1}，ps=[is,js],ps+1=[is+1,js+1]不相交，則kQ/I的整體維數(shù)為2。

證明：由定理2.1的證明可知當(dāng)i∈Q0{ir|r∈N,1≤r≤n}時(shí)，mod-kQ/I中單模S(i)的投射維數(shù)為1。又當(dāng)i=ir(r∈N,1≤r≤n)時(shí)，有i1

0→P(jr)→P(ir+1)→P(ir)→S(ir)→0，

(1)當(dāng)i

(2)當(dāng)i>j時(shí)，記號(hào)(i,j)表示長(zhǎng)度不大于n的路pi,j=αiαi+1…αj-1。

定義3.1設(shè)允許理想I=〈pr=[ir,jr],pt=(it,jt)|

1≤r≤s,s+1≤t≤n〉。

(1)若p,q∈I均包含非平凡子路γ，滿足t(p)=t(γ)，s(γ)=s(q)，則稱(chēng)p,q是相交的。

(2)如果存在m個(gè)關(guān)系pu,pu+1,…,pu+m-1滿足對(duì)任意正整數(shù)v∈{u,…,u+m-2}，pv,pv+1相交且對(duì)任意正整數(shù)l≠v-1,v,v+1，pv,pl不相交，則稱(chēng)這m個(gè)關(guān)系有效相交。理想I的有效相交關(guān)系數(shù)是滿足有效相交關(guān)系的最大個(gè)數(shù)，記作N。

(3)設(shè)理想I中存在關(guān)系pu,pu+1,…,pv是有效相交，其中u

下面給出本節(jié)中重要的定理，它揭示了理想與代數(shù)整體維數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(it,jt)| 1≤r≤s,s+1≤t≤n〉。若I是循環(huán)有效相交型允許理想，則g.l.dim(kQ/I)=；否則g.l.dim(kQ/I)=N+1，其中N是理想I的有效相交關(guān)系數(shù)。

證明：(1) 由已知假設(shè)關(guān)系pu,pu+1,…,pv是有效相交且關(guān)系pv與pu有效相交，其中1≤u

(a)若I存在關(guān)系pa=[ia,jb]，滿足ia∈{ju-1,ju+1-1,…,jv-1}，此時(shí)不妨假設(shè)ia=ju-1，則對(duì)于mod-kQ/I中的單模S(ia)，S(ia)的極小投射分解形如

…→P(ju)→P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→

P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→P(jv)→…→

P(ju+1)→P(ju)→P(jb)→P(iu-1)→S(iu-1)→0，

可得p.dim(S(ia))=。

(b)若不存在關(guān)系pa=[ia,jb]，滿足ia∈{ju-1,ju+1-1,…,jv-1}。任取mod-kQ/I中的單模S(ir)，r∈N且u≤r≤v，S(ir)的極小投射分解形如

…→P(ju)→P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→

P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→P(jv)→…→

P(jr+1)→P(jr)→P(ir+1)→P(ir)→S(ir)→0，可得p.dim(S(ir))=。

(1)允許理想取I=〈[1,5],[2,6],[3,7],[4,8],[6,9],(8,3)〉。

因?yàn)槔硐隝是循環(huán)有效相交型允許理想，所以g.l.dim(kQ/I)=。

(2)允許理想取I=〈[1,5],[3,7],[5,8],[6,9],(8,3)〉。

因?yàn)槔硐隝的有效相交關(guān)系數(shù)是6，所以g.l.dim(kQ/I)=7。