一道高考立幾解答題的解析及教學(xué)啟示

陳藝平

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

近日,在課堂上講解一道高考立幾解答試題,本以為是較為簡單的題目,因而沒有給出預(yù)設(shè),學(xué)生卻在課堂上給出了不一樣的精彩解答.現(xiàn)整理如下,以期共勉.

一、試題呈現(xiàn)

(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥面PBE,并說明理由;

(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與面PCE所成角的正弦值.(略)

二、課堂實(shí)錄

1.初步分析

師:本題的第一步是屬于存在性問題的證明,找出的點(diǎn)M必須滿足兩個(gè)條件:(1)M∈面PAB;(2)直線CM∥面PBE.請(qǐng)同學(xué)們思考:如何找出滿足上述兩個(gè)條件的點(diǎn)M?

生:思考……

師:首先,大家一起把與四邊形ABCD有關(guān)的條件理順,進(jìn)而看看能得到哪些有用的結(jié)論.

生(一起):與四邊形ABCD有關(guān)的條件是:

師:是的,按照上述條件,不妨將底面四邊形ABCD單獨(dú)分解出去,如圖2所示.可知四邊形BCDE為正方形.下面請(qǐng)同學(xué)們思考:在四邊形ABCD中,直線AB與CD的位置關(guān)系如何?

生1:同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線只有相交和平行這兩種情況,顯然直線AB與CD是相交的.

師:回答得很好.既然這兩條直線是相交的,我們把它們延長,交于一點(diǎn),如圖3所示.假設(shè)交點(diǎn)為M.請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)思考:這里的點(diǎn)M就是我們要找的點(diǎn)嗎?

生2:由于四邊形BCDE為正方形,所以CM∥BE.又BE?面PBE,CM?面PBE,所以CM∥面PBE.

師:該同學(xué)證明了CM∥面PBE,也就是點(diǎn)M滿足條件(2);還必須證明點(diǎn)M滿足條件(1).

生3:由于M∈AB,AB?面PAB,所以M∈面PAB.

師:同學(xué)們回答得很好,通過大家的共同努力,我們完成了本道題目第一步的證明.對(duì)于該步,我們并沒有采用建系法解決問題,這顯然不是命題者的初衷.命題者設(shè)計(jì)該步的目的,從知識(shí)層面來講是要考查同學(xué)們對(duì)立幾何中點(diǎn),線,面位置關(guān)系的理解以及相關(guān)性質(zhì)定理的應(yīng)用,從能力層面來講是要考查同學(xué)們對(duì)圖形整體上的直觀感知能力,通過直觀的形象和對(duì)圖形的把握,發(fā)展空間想象力.因此,對(duì)于立體幾何試題,同學(xué)們要注重基礎(chǔ),概念,公理,性質(zhì),定理,而不是一味地去追求建系,以算代證,從而扼殺了幾何方法的直觀簡潔之美,將幾何推證淪為機(jī)械計(jì)算的數(shù)字游戲.

2.思維碰撞

當(dāng)筆者總結(jié)完本步,準(zhǔn)備講解第二步時(shí),學(xué)生4給出了自己的想法.

生4:我覺得還可以這么處理.如圖4所示.過點(diǎn)P作PM∥AB且PM=AB,則此時(shí)的點(diǎn)M也是符合題意的點(diǎn).

師:該同學(xué)給出了不一樣的點(diǎn)M,說明同學(xué)們有認(rèn)真在思考.那么這樣的點(diǎn)M能滿足上述兩個(gè)條件嗎?

生5:可以.如圖4所示,按照生4的作法,可知四邊形PMBA為平行四邊形,顯然M∈面PAB,滿足條件(1).連接CM,CE,由于CE平行等于AB,PM平行等于AB,所以PM平行等于CE,因此四邊形PMCE為平行四邊形,故有CM∥PE,即CM∥面PBE,也就是點(diǎn)M滿足條件(2).

師:同學(xué)們真棒,給出了不同于老師的想法,并且證明了結(jié)論的正確性,非常值得贊賞.相信通過這樣的探究,同學(xué)們對(duì)立體幾何當(dāng)中直觀感知,操作確認(rèn),思辨論證，度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形與空間性質(zhì)的過程有了更深刻的體會(huì).

3.乘勝追擊

在與學(xué)生一起分析了上述新的思路之后,筆者看到學(xué)生熱情高漲,不由自主地問:還有別的想法嗎?此時(shí)又有一個(gè)同學(xué)提出了自己的看法.

生6:老師,我還有一個(gè)想法.可以延長PM,使得PM=PA.則此時(shí)的點(diǎn)M也是符合題意的點(diǎn).

師:(十分驚訝,感嘆同學(xué)們還有新的思路)這位同學(xué)又給出了一個(gè)新的思路,現(xiàn)在讓我們一起思考:這樣的點(diǎn)M能滿足上述兩個(gè)條件嗎?

眾生:(躍躍欲試,干勁十足)連接CA,交BE于點(diǎn)O,根據(jù)三角形的全等可知點(diǎn)O為CA中點(diǎn).又點(diǎn)P為AM中點(diǎn),所以CM∥PO,即CM∥面PBE,也就是點(diǎn)M滿足條件(2).又由于M∈AP,AP?面PAB,所以M∈面PAB,滿足條件(1).

師:同學(xué)們的思維十分活躍,又給出了一個(gè)不一樣的點(diǎn)M.充分說明大家真正理解了本道試題并提升數(shù)學(xué)思辨智慧以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).由于時(shí)間關(guān)系,對(duì)本道試題的討論暫時(shí)告一段落,大家如果有更好的解法可以課后繼續(xù)探討…….

三、教學(xué)啟示

1.課堂應(yīng)該要有生成的精彩

葉瀾教授說過,課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程,隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景,而不是一切都必須遵循固定而沒有激情的行程.布魯姆說過,人們無法預(yù)料教學(xué)所產(chǎn)生的成果的全部范圍,沒有預(yù)料不到的成果,教學(xué)也就不成為一種藝術(shù)了.因此,面對(duì)學(xué)生的意外,我們應(yīng)耐心聆聽,睿智追問,開啟學(xué)生的思維,讓創(chuàng)造的火花燦爛地綻放,讓教學(xué)中的節(jié)外生枝演繹出獨(dú)特的價(jià)值.教師要善于抓住這樣千金難買的教學(xué)意外,將課堂生成的資源巧妙靈活地整合到知識(shí)思維的鏈條中.也就是說,關(guān)注生成應(yīng)該成為一種教學(xué)常規(guī),高效課堂應(yīng)有精彩的生成.

2.立體幾何的教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

2014年,教育部出臺(tái)的《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》首次提出了核心素養(yǎng)體系這個(gè)概念，并且將核心素養(yǎng)定義為適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組給出了數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)分析六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).立體幾何的教學(xué)可以很好地滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀,大小和位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科.人們通常采用直觀感知,操作確認(rèn),思辨論證,度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì).在空間幾何體部分,強(qiáng)調(diào)通過大量的觀察,認(rèn)識(shí)柱,錐,臺(tái),球及其組合體的結(jié)構(gòu)特征.提倡動(dòng)手操作和分析正棱柱,正棱錐,正棱臺(tái)側(cè)面展開圖形的內(nèi)在聯(lián)系,讓學(xué)生感知其側(cè)面展開圖的關(guān)系,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,提高直觀想象素養(yǎng).

在立體幾何定理教學(xué)中,八個(gè)定理是知識(shí)目標(biāo),應(yīng)用八個(gè)定理證明一些空間位置關(guān)系的命題是技能目標(biāo).八個(gè)定理的教學(xué)思路緊密相連,均是以探究為核心,在探究的過程中讓學(xué)生實(shí)踐直觀想象,操作確認(rèn),體會(huì)數(shù)學(xué)抽象,學(xué)會(huì)邏輯推理,滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).