一個(gè)正三角形面積最值的求法探究

許銀伙

(福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000)

分析一以邊OA，OB所在直線分別為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)正三角形的直觀性質(zhì)三邊相等和已知條件求出OE，OG的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而求出EG的最小值.

△EFG為正三角形，所以|EF|=|EG|=|FG|,

分析二以邊OA，OB所在直線分別為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系，深入運(yùn)用正三角形性質(zhì)和已知條件求出OE，OG的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而求出EG的最小值.

即得：

分析三由圖形看出，等邊△EFG的邊長(zhǎng)與∠OEG的大小有聯(lián)系，考慮尋找它們之間的聯(lián)系，把△EFG的邊長(zhǎng)用∠OEG表示， 從而把△EFG面積化為∠OEG的函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.

評(píng)注1.本方法通過(guò)對(duì)幾何圖形深入分析，找出角的相等關(guān)系，然后利用正弦定理和已知邊的關(guān)系，快速得到所求正三角形邊長(zhǎng)關(guān)于引入的角的函數(shù)式，從而快速解決問(wèn)題.利用平面幾何知識(shí)解題，是高中同學(xué)的弱項(xiàng)，值得重視和加強(qiáng).

分析四由圖形看出，若引入直線EF的傾斜角∠AEF=α，可得直線EG的傾斜角∠AEG=α+60°，又因?yàn)镋F=EG，所以考慮利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題.

因?yàn)辄c(diǎn)G在y軸上，所以x0+rcos(α+60°)=0，即x0=-rcos(α+60°).

評(píng)注這種方法運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題，緊扣選修4-4的教材知識(shí)，但對(duì)三角函數(shù)知識(shí)要求較高，需要熟練掌握三角函數(shù)知識(shí)才能完整解答.

分析五由圖形看出，若引入直線EF的傾斜角∠AEF=α，可得直線EG的傾斜角∠AEG=α+60°，又因?yàn)镋F=EG，所以考慮利用向量知識(shí)解題.

評(píng)注這種方法與方法四類(lèi)似，但運(yùn)用的卻是必修系列教材的內(nèi)容，對(duì)知識(shí)概念的理解和三角函數(shù)公式的運(yùn)用能力要求較高.由此可知：向量與三角函數(shù)的結(jié)合可以作為解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的有力工具.

評(píng)注這種方法與方法五類(lèi)似，思路與方法一相同.所運(yùn)用的知識(shí)是原來(lái)全國(guó)大綱教材關(guān)于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義：若復(fù)數(shù)為z2對(duì)應(yīng)的向量是復(fù)數(shù)為z1對(duì)應(yīng)的向量繞逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(θ>0)得到，則z2=z1·(cosθ+isinθ)或z2=z1·[cos(-θ)+isin(-θ)]；如果復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)再變?yōu)樵瓉?lái)的r倍，只需在上面式子右端乘上r即可.它們是解決向量旋轉(zhuǎn)與伸縮的好工具.

以上方法一和方法二求正三角形面積純粹設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不設(shè)邊長(zhǎng)，思路距離問(wèn)題的解決比較遠(yuǎn)，運(yùn)算也比較復(fù)雜；方法三設(shè)了邊長(zhǎng)和角，利用平面幾何知識(shí)和正弦定理，把邊長(zhǎng)化為角的三角函數(shù)，最為扣緊高中核心知識(shí)，但平面幾何知識(shí)的運(yùn)用是高中學(xué)生的弱項(xiàng)；方法四五六都是直接針正三角形邊長(zhǎng)，分別利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，向量與三角函數(shù)知識(shí)的結(jié)合，復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義把邊長(zhǎng)化為角的三角函數(shù)，運(yùn)算量相對(duì)減少.通過(guò)這個(gè)問(wèn)題解決方法的探索，可以把高中主要知識(shí)融會(huì)貫通，有效地提高數(shù)學(xué)解題能力.