玻恩-黃昆方程的歷史回顧
——紀(jì)念黃昆先生誕辰100周年

王炳燊 葛惟昆

(1中國科學(xué)院半導(dǎo)體研究所，北京 100083； 2北京大學(xué)物理學(xué)院，北京 100084； 3香港科技大學(xué)，香港 999077)

在黃昆先生誕辰100周年之際，作為黃先生子弟和親近后輩，我們緬懷先師的輝煌業(yè)績，重溫他對凝聚態(tài)物理學(xué)的卓越貢獻(xiàn)。

黃昆先生生前多次說過，他自己最滿意的工作有兩件，第一件就是1950年對離子晶體中的長波光學(xué)聲子和宏觀電磁場的相互作用的研究，即黃昆方程(有時(shí)也稱Born-Huang方程，即玻恩-黃方程[1])；另一件則是與晶格弛豫有關(guān)的多聲子光躍遷[Huang-Rhys參數(shù)，是黃昆與妻子A.Rhys(中文名李愛扶)合作的成果]和無輻射躍遷理論。

本文將集中討論黃昆方程出現(xiàn)的歷史背景以及這一組方程的方法和結(jié)論對固體物理學(xué)(即現(xiàn)在統(tǒng)稱的凝聚態(tài)物理學(xué))在當(dāng)時(shí)和對后來發(fā)展的重大意義。

20世紀(jì)40年代，固體的電子態(tài)理論才起步不久，對于實(shí)際材料的各種性質(zhì)的理論計(jì)算剛剛開始，此時(shí)對于固體的物理性質(zhì)的理論研究都是從理論上認(rèn)識(shí)比較清楚的離子晶體開始。黃昆先生那一代物理學(xué)家，都注意到介電函數(shù)是關(guān)鍵的物理量，因?yàn)樗粌H決定物質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)，而且決定物質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)。對許多純凈的離子晶體而言，在可見光波段它們是透明的，而在紅外波段則有許多豐富的現(xiàn)象。而這又與固體的一類晶格振動(dòng)即光學(xué)聲子譜緊密聯(lián)系。光學(xué)聲子即晶格內(nèi)原子的相對振動(dòng),在離子晶體中是正負(fù)離子的相對振動(dòng)。

黃昆方程正是把光波與光學(xué)聲子關(guān)聯(lián)起來。一開始人們沒有意識(shí)到它的重要價(jià)值。一個(gè)真實(shí)的故事是，當(dāng)黃昆方程的論文[1]1投稿時(shí)，審稿人認(rèn)為該文只是重新證明了著名的Lynddan-Sache-Teller關(guān)系，堅(jiān)稱黃昆的論文只是LST關(guān)系的另一種證明而拒稿。幸虧黃昆先生的老師莫特教授(N.F.Mott，1977年獲得諾貝爾獎(jiǎng))了解這篇文章的重要意義，親自出面推薦才得以發(fā)表(1)事實(shí)上黃先生的這一工作在公開發(fā)表之前，先發(fā)表在一個(gè)內(nèi)部報(bào)告上：K.Huang, The Phenomenological equations Motion for Ionic Crystal Lattices, E.R.A. Report(1950), Ref. L/T239)。另外 烏克蘭科學(xué)家К.Б.Толпыгоб[5]在1950年也獨(dú)立提出了相似的理論，但他的工作并未產(chǎn)生廣泛的影響。。

現(xiàn)在我們首先來看LST 關(guān)系的提出和意義。1938—1940年間，Lyddane[2]和Frohlich and Mott[3]分別獨(dú)立證明了橫光學(xué)聲子 TO(振動(dòng)方向與傳播方向垂直)的頻率ωt低于縱光學(xué)聲子 LO(沿傳播方向振動(dòng))的頻率ωl。這些研究都需要對電子和離子的微觀狀態(tài)作詳細(xì)計(jì)算，這在當(dāng)時(shí)的條件下，無論是在理論方法和計(jì)算條件上，都是極端困難的任務(wù)。1941年，Lyddane[4]引入了有效電荷的概念，通過這一概念，他們得出以下的LST關(guān)系

其中ε∞和ε0分別為高頻(頻率遠(yuǎn)高于聲子頻率)和靜態(tài)(ω=0)的介電常數(shù)。

LST關(guān)系把聲子的兩種本征頻率和作為宏觀可測量的介電常數(shù)聯(lián)系起來，并不需要離子晶體內(nèi)部相互作用的細(xì)節(jié)，因此是一個(gè)普遍的關(guān)系，具有重要的意義。

現(xiàn)在我們來分析黃昆先生的工作[1]與Lyddane等人的LST關(guān)系的工作有什么不同。從具體的物理圖像對應(yīng)的基本原理出發(fā)，而不是跟隨別人已有的工作，是黃昆科研實(shí)踐的一個(gè)顯著特點(diǎn)，也是他能夠成功原始創(chuàng)新的重要因素。黃昆天才地把電場E和磁場H所滿足的麥克斯韋方程和光學(xué)聲子的振幅w的動(dòng)力學(xué)方程聯(lián)合起來，他所提出的光學(xué)聲子振幅的動(dòng)力學(xué)方程為

這就是著名的黃昆方程，它把光學(xué)聲子的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)與晶體的極化和外加電場(即光波中的電矢量)巧妙而合理地聯(lián)系起來。這組方程在本質(zhì)上與許多重要的物理方程一樣，不是推導(dǎo)的結(jié)果，而是基于高度的洞察力和對物理原理的抽象概括。物理學(xué)中最重要的牛頓方程和薛定諤方程也是這樣產(chǎn)生的。首先將這個(gè)方程與麥克斯韋方程中的電位移矢量的散度方程相聯(lián)合，

k·(E+4πP)=0

其中P是極化矢量，k為波矢，ω為頻率，c為光速。經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和物理分析，把黃昆方程中4個(gè)b系數(shù)用物理上宏觀測量可以得到的靜電介電常數(shù)ε0和高頻介電常數(shù)ε∞，橫波光學(xué)聲子頻率ωt，縱波光學(xué)聲子頻率ωl表達(dá)出來，就得出，對于縱波，有k∥E∥w，同時(shí)k·D=k·(E+4πP)=0，進(jìn)而得出：

這個(gè)結(jié)果與LST關(guān)系式完全一致，但出發(fā)點(diǎn)完全不同，而且不是黃昆方程最重要的意義。

黃昆的新貢獻(xiàn)更在于，他進(jìn)一步引入了電磁波傳播的遲滯(retardation)效應(yīng)，即離子之間庫侖相互作用不是瞬時(shí)發(fā)生的。此時(shí)必須考慮麥克斯韋方程組中的其他幾個(gè)與磁場有關(guān)的方程：

再代入LST關(guān)系，即得到一種全新的介電函數(shù)的色散關(guān)系：

這是前人從未得到過的結(jié)果。用這個(gè)介電函數(shù)來研究電磁波在固體中的傳播時(shí)頻率和波矢的關(guān)系，結(jié)果如圖1所示。橫向光學(xué)聲子的特殊性，恰好反映了光波的橫波性質(zhì)。

圖1 離子晶體中光的色散

讓我們具體來分析黃昆的工作與LST工作的區(qū)別和革命性進(jìn)展。首先，這里考慮了遲緩效應(yīng)，這是LST完全沒有考慮的，而這一個(gè)非常明顯的區(qū)別，在物理上的差異是很大的；其次，LST對縱向電場和橫向電場的極化效應(yīng)的處理，是采用普通物理中對于靜電場極化的冗長的討論，雖然其結(jié)果是正確的，但邏輯并不嚴(yán)密，而黃昆利用的是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)(他的原始論文“On the interaction between the radiation field and ionic crystals”中推導(dǎo)長達(dá)14頁)，簡潔而優(yōu)美地闡明了橫向電場和縱向電場的區(qū)別(2)嚴(yán)格來講,在晶格動(dòng)力學(xué)中,只有在Brillioun區(qū)高對稱方向,縱模和橫模才可以完全分開。但在長波情況下,晶體完全可以用連續(xù)介質(zhì)來描述,這一點(diǎn)在黃昆先生的原始文章中已經(jīng)說明。在嚴(yán)格意義上，介電函數(shù)和介電屏蔽也分為縱向和橫向，但當(dāng)波矢趨于零時(shí)，兩者是相等的，因此本文中不再區(qū)分。此外，黃昆方程中雖然沒有包括由于聲子散射導(dǎo)致的聲子壽命和譜線展寬，但這個(gè)效應(yīng)很容易加入方程中以便與實(shí)驗(yàn)比較，在此不再詳述。；第三，黃昆的結(jié)果完美地表現(xiàn)了離子晶體的紅外色散特性，明了地解釋了剩余射線(reststrahlen)[3]帶的物理起因，他指出，如果把圖1旋轉(zhuǎn)90度，就直觀地解釋了色散現(xiàn)象。

黃昆方程最重要的意義，可以用美國著名物理學(xué)家E.Burnstein[6]在第17屆國際拉曼會(huì)議上對黃昆的評價(jià)來概括：“Huang has changed our way of thinking about propagating EM mode in crystalline mediums”，即：“黃昆改變了我們關(guān)于電磁模在晶體介質(zhì)中傳播的思維方式”。其實(shí)這里的介質(zhì)，不止是離子晶體，而是包含了一切有光在其中傳播的介質(zhì)。由于黃昆方程直接利用了電場與偶極子的相互作用，它也同樣適用于一切具有偶極矩的元激發(fā)與光波的相互作用，具有普遍意義。這也正是后來光波與激子(exciton)耦合的極化激元(polariton)的原始物理基礎(chǔ)。

在人們傳統(tǒng)的理解中，光進(jìn)入固體以后，就以真空光速除以(介電常數(shù))的速度傳播，再通過電場的極化作用，激發(fā)光學(xué)聲子或其他元激發(fā)。而黃昆指出，事實(shí)并非如此，光進(jìn)入固體后，就與貢獻(xiàn)介電常數(shù)的元激發(fā)(不只限于橫偏振光學(xué)聲子)相互作用而耦合在一起傳播，且對同一個(gè)波矢，會(huì)存在兩個(gè)頻率的波，其中每一個(gè)波的電磁波和機(jī)械振動(dòng)成分和相應(yīng)的能量所占的比例隨頻率變化。特別是，橫、縱元激發(fā)的頻率不同，而在這兩個(gè)頻率之間，電磁波不能傳播。這是一個(gè)全新的物理圖景，徹底顛覆了光波獨(dú)立傳播、不與元激發(fā)耦合的傳統(tǒng)觀念。這一思維方式的轉(zhuǎn)變，在各種物理現(xiàn)象中具有普遍的和重要的意義。黃昆方程也使人們對介電常數(shù)的意義有了更深入的理解并達(dá)到一個(gè)新的高度。這樣表示的介電常數(shù)，也與后來由嚴(yán)格的線性響應(yīng)理論導(dǎo)出的結(jié)果完全一致。

必須指出，盡管黃昆方程組是以經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)來表述的，但是其實(shí)質(zhì)內(nèi)容和結(jié)論與量子力學(xué)和量子方法的表述完全一致。J.J.Hopfield[7]在1958年關(guān)于光子與激子耦合的工作就證明了這一點(diǎn)：激子與光子耦合的色散曲線與圖1所表示的完全一致，只是縱橫聲子變成縱橫激子。事實(shí)上，把黃昆方程開創(chuàng)的這種電磁波(光子)與晶格振動(dòng)(聲子)的耦合予以量子化，就成為一種新的準(zhǔn)粒子。S.Pekar (Пекар)[8]在1957年將其命名為polariton(3)polariton 一般翻譯成極化激元，有人提議翻譯成電磁耦合子，黃先生自己在私下則表示應(yīng)當(dāng)稱為色散子，因?yàn)樗暾孛枋隽斯腆w的色散。，中文一般譯為為極化激元(有人提議翻譯成電磁耦合子，黃先生自己在私下則表示應(yīng)當(dāng)稱為色散子，因?yàn)樗暾孛枋隽斯腆w的色散)，現(xiàn)在甚至出現(xiàn)了polaritonics的名詞，儼然已經(jīng)成為一門新的子學(xué)科，可見其在學(xué)術(shù)和應(yīng)用上的巨大影響。由于黃昆在論述過程中已經(jīng)成功地把宏觀電場和微觀電場分離，之后幾十年間雖然固體中電子和聲子態(tài)的理論研究已經(jīng)有了非常大的改變和發(fā)展(4)介電函數(shù)理論現(xiàn)代形式,即動(dòng)力學(xué)非局域介電矩陣,其中微觀場和宏觀場的聯(lián)系是其在倒格子空間的非對角元來體現(xiàn)的，而黃昆方程得出的介電函數(shù)，通過高頻介電常數(shù)和靜態(tài)介電常數(shù)和縱橫光學(xué)聲子頻率，完美地描述了聲子態(tài)對長波下宏觀介電函數(shù)的貢獻(xiàn)，而不用去關(guān)心宏觀場與微觀場關(guān)系的細(xì)節(jié)。而在實(shí)際問題中，人們只會(huì)涉及長波下宏觀介電函數(shù)。感興趣的讀者可以參看有關(guān)的文獻(xiàn)。，但黃昆方程仍然保持著它旺盛的生命力。

物理學(xué)本質(zhì)上是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，這樣一種物理上全新的圖景，不僅引起理論工作者的注意，也理所當(dāng)然地激發(fā)了實(shí)驗(yàn)工作者以極大熱情用各種實(shí)驗(yàn)來證實(shí)polariton的存在。如C.H.Henry 和J.J.Hopfield[9]在磷化鎵(GaP)中用拉曼散射證明了polariton的存在，準(zhǔn)確測量了其中polariton上下兩支的色散曲線，證明了polariton理論的正確性(見圖2)。

圖2 GaP中聲子polariton的色散曲線理論值和Raman散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由于半導(dǎo)體中絕大部分激子(exciton)也有偶極距，因此也能形成polariton，由于激子具有明顯的色散，盡管原始的黃昆方程中沒有包括色散(光學(xué)聲子一般色散比較小，通?？梢院雎?，這也是晶格振動(dòng)Einstein模型的由來)，但是方程完全可以不加改變地?cái)U(kuò)展到包括色散的情形。J.L.Birman等人[10,11]發(fā)展了exciton-polariton的布里淵散射理論，1977年C.Weisbush等[12]在砷化鎵(GaAs)中進(jìn)行布里淵散射實(shí)驗(yàn)，結(jié)果完全與理論符合(見圖3)，進(jìn)一步證明了Polariton理論的正確性。

說到激子的色散，Polariton理論還預(yù)示了一個(gè)新的物理現(xiàn)象，即某一頻率的光進(jìn)入固體后，在一定條件下會(huì)變?yōu)閮芍Э炻煌牟ǎ环Q為附加波(additional wave)[13]，同時(shí)引出了所謂附加邊界條件ABC(additional boundary condition) 問題，在一段時(shí)間內(nèi)成為研究熱點(diǎn)。而光學(xué)聲子的色散所引起的半導(dǎo)體超晶格中與電磁波相互耦合所產(chǎn)生的復(fù)雜現(xiàn)象，直到20世紀(jì)80年代末才由黃昆先生本人和朱邦芬[14]提出的黃-朱模型予以闡明。

實(shí)際上，固體中能與電磁波耦合的元激發(fā)不限于聲子和激子，而涉及的相互作用也不限于光與電偶極子。在電偶極子被禁戒的情況下，與磁偶極子等都可以形成polariton，因此在現(xiàn)代物理中，有各種各樣的polariton，如自旋波polariton等。polariton這一概念已經(jīng)深入到物理學(xué)的許多領(lǐng)域。比如plasmon、表面plasmon與電磁波的耦合，光子晶體等領(lǐng)域，都是這一理論的擴(kuò)展。1972年，在意大利的Taormira召開了第一屆polariton國際學(xué)術(shù)會(huì)議，由于時(shí)值“文化大革命”，黃昆沒能參加會(huì)議，但他在1951年的開創(chuàng)性工作得到與會(huì)者的高度評價(jià)，而他那篇20多年前的文章被列入會(huì)議文集[15]，這幾乎是史無前例的。黃昆先生是當(dāng)之無愧的polariton理論的開創(chuàng)者。

1905年，玻恩把長聲學(xué)聲子的微觀參量和宏觀參量即彈性系數(shù)和泊松比聯(lián)系起來，35年后黃昆方程把長光學(xué)聲子的微觀參量和宏觀的介電常數(shù)與色散性質(zhì)聯(lián)系起來。這是一個(gè)偉大的傳承和發(fā)展。同時(shí)，黃昆方程把縱光學(xué)長波振動(dòng)與宏觀電場相聯(lián)系，也為后來H.Frohlich[16]提出著名的電聲子極性相互作用理論奠定了基礎(chǔ)。從更廣闊的視野來看，黃昆先生這件工作的重大意義還不止于此。一般來說，相互耦合的兩個(gè)系統(tǒng)是同質(zhì)的，而polariton是由聲子和光子兩種不同的玻色子耦合而成的，這是量子力學(xué)態(tài)疊加原理的體現(xiàn)，具有啟發(fā)性的意義。

圖3 GaAs中激子polariton的Brillioun散射. (a) 計(jì)算出的polariton色散曲線; (b) Brillioun散射的理論曲線(實(shí)線); (c) 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)(空心和實(shí)心園點(diǎn); 散射光強(qiáng)度隨入射光頻率的變化)

時(shí)至今日，如果以“polariton”作為搜索詞來檢索，將會(huì)得出成千上萬的結(jié)果?？梢院敛豢鋸埖卣f，任何與物質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)相關(guān)的研究和技術(shù)應(yīng)用，都與以黃昆命名的方程或遠(yuǎn)或近地相關(guān)聯(lián)。黃昆方程和同樣由黃昆先生開創(chuàng)的與晶格弛豫相聯(lián)系的多聲子光躍遷理論和無輻射躍遷理論，以及黃散射等一系列原始創(chuàng)新的理論成果，都是凝聚態(tài)理論發(fā)展道路上光輝的豐碑，是值得我們永遠(yuǎn)紀(jì)念和學(xué)習(xí)的！

先生的音容笑貌依然歷歷在目，先生的諄諄教誨永遠(yuǎn)牢記心中。謹(jǐn)以此文，獻(xiàn)給敬愛的黃昆老師和李愛扶(A.Rhys)師母！

作者對朱邦芬院士的寶貴意見深表謝意。